ETUDE D`UN SOLIDE EN CHUTE VERTICALE DANS UN FLUIDE

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TP ETUDE DU MOUVEMENT VERTICAL D’UNE BILLE DANS UN LIQUIDE
I-OBJECTIFS :
1-réaliser l’enregistrement d’un mouvement avec un logiciel de pointage (Avimeca ou Avistep) et
exploiter les mesures dans un tableur.
2-Elaborer un modèle mathématique du mouvement à partir des lois de la mécanique.
3-Résoudre l’équation du mouvement par une méthode numérique (méthode non exigible)
3-Confronter les points expérimentaux avec le modèle.
2-ETUDE EXPERIMENTALE :
Une bille est lâchée sans vitesse initiale dans un liquide visqueux.
Pour faire la manipulation, cliquer sur le lien : Dossier vidéo
Dans ce dossier, sélectionner le clip vidéo « 02 chute bille glycérol », et pointer les positions successives
de la bille avec le logiciel de pointage « Avimeca »
Transférer les données dans le « presse papier » de l’ordinateur.
Ouvrir Excel, classeur « chute dans glycérol », feuille «eleve » et transférer les données expérimentales
stockées dans le« presse papier » à l’emplacement désiré dans la feuille de calcul. Faire la représentation
graphique de la vitesse au cours du temps.
Constater l’existence d’une vitesse limite. Que peut-on dire de la somme vectorielle des forces qui
s’exercent sur la bille ; avant et dés que la vitesse limite est atteinte ?
VIDEO « chute dans glycérol »
LOGICIEL DE POINTAGE « AVIMECA »
TRANSFERT DES VALEURS EXPERIMENTALES ET TRAITEMENT DANS EXCEL…
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Pour accéder directement au tableur prérempli, cliquer sur le :
Lien vers tableur d'exploitation
II-ETUDE THEORIQUE DU MOUVEMENT :
Une bille est lâchée sans vitesse initiale (vo=0) dans un liquide visqueux.
Nous recherchons une équation qui permette de prévoir comment varie la vitesse du centre d’inertie de la
bille au cours du temps.
Le système étudié est la bille, en chute verticale sur la droite x’O x .
Référentiel choisi : le référentiel terrestre considéré galilén.
Forces exercées sur la bille :

-son poids
P , de valeur P = m.g = V.g
( est la masse volumique de la bille)

-La poussée d’Archimède F , de valeur F = m’.g = ’.V.g

-La force de frottement fluide f
de valeur f=k.v
Appliquons la 2ème loi de Newton :

f

+


P = m. a
F +
G
.
Cette relation projetée sur l’axe vertical x’Ox devient :



fx i +Fx i +Px i =

m aG i
avec fx=-f ; Fx=F ; Px=P
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(m  m' ) g  k.v x  m
dv x
dt
dv x
k
(m  m' ) g
  vx 
dt
m
m
soit :
dv x
 A.v x  B avec A=-k/m et B= (m-m’)g/m.
dt
C’est l’équation différentielle du mouvement.
Cette équation peut s’écrire :
Vitesse limite :
Tant que la vitesse augmente, la force de frottement proportionnelle à v augmente, jusqu’à ce que les
forces se compensent.
dv x
0
Alors, (m-m’)g = k.vx
et
dt
(m  m' ) g (    ' )Vg

k
k
(Remarque : Dans le cas de la chute d’une bille dans l’air la force serait du type f=k.v2.)
La vitesse atteint alors la valeur limite : vlim 
III-RESOLUTION DE L’EQUATION PAR UNE METHODE NUMERIQUE (méthode d’Euler):
Avertissement : cette méthode ne fait pas partie des connaissances exigibles en TC et TD. Elle
intéressera cependant le lecteur qui voudra approfondir les possibilités de l’outil informatique pour
résoudre un problème de mécanique. Pour une information plus complète sur la méthode d’Euler,
consulter le dossier :
Pratiquer Excel (4). Résolutions numériques d'équations
1-Principe :
Nous allons décomposer la durée du mouvement en intervalle de temps élémentaires t aussi petits que
possible.
Connaissant la valeur de la vitesse et de l’accélération (dv/dt) à la date ti , il est possible d’estimer la
valeur de v à une date ultérieure ti+1 en supposant la dérivée (dv/dt) constante dans l’intervalle t=ti+1 –ti.
à la date ti+1 :
vi+1= vi+ (dv/dt)ti . t (égalité proche)
On calcule alors la nouvelle valeur de (dv/dt)ti+1 par application de la relation
(dv/dt)ti+1 = A+ B . vi+1
(relation en accord avec de l’équation différentielle du mouvement)
à la date ti+2 :
vi+2=vi+1+(dv/dt)ti+1 . t.
Etc…
La méthode est d’autant plus précise que le pas d’itération t est petit.
Un programme en boucle dans Excel permettra de faire ces calculs très rapidement.
2-Mise en œuvre de la méthode d’Euler dans Excel (voir copie page d’écran ci-dessous)
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On complétera la feuille de calcul « eleve » préremplie .
Deux types d’informations sont à renseigner :
-les données qui concernent l’objet, le fluide et les conditions initiales du mouvement sont à introduire
dans les cellules orangées.
-les formules de calcul dans les cellules de couleur bleue.
Les formules de calcul à rentrer :
En D6
A10
B10
F10
A13
B13
C13
A14
B14
=3*PI()*$C$6*$B$6*0.001
=9.8*(1-$F$6/$E$6)
=-$D$6/($A$6*0.001)
=$L$2*0.001
=$C$10
=$E$10
=$A$10+$B$10*B13
=$F$10+A13
=B13+C13*$F$10
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Remarque : pour entrer une adresse absolue($), cliquer sur la cellule correspondante suivie de la touche F4.
Réaliser une barre de défilement permettant de faire varier de façon continue t . Pour cela cliquer droit avec la
souris en dehors de la feuille de calcul et choisir la barre « formulaires ».Choisir l’icône « barre de
défilement ».Etendre l’icône sur les cellules H2 I2, J2, K2 comme indiqué sur la copie d’écran ci-dessus.
Cliquer droit sur l’icône et sélectionner « format de contrôle » .Remplir la rubrique « contrôle »: valeur mini :1 ;
valeur maxi :150 ; pas :1 ;cellule de contrôle :L2.
Tracer le graphe veuler en fonction du temps .Constater que le tracé de la courbe est plus précis pour les
valeurs de t les plus faibles.
IV EXPLOITATION :
Confronter le modèle théorique et l’étude expérimentale : choisir k pour faire coïncider au mieux les deux
courbes théorique et expérimentale (fig1).
Utiliser le modèle théorique pour observer l’influence des différents paramètres sur le mouvement :
masse de la bille , masse volumique du liquide. On pourra ajouter une colonne dans Excel pour évaluer la
valeur de l’accélération du mouvement de la bille. En cas d’absence de frottement (k=0) et de masse
volumique du fluide nulle, on vérifiera que l’on retrouve le mouvement de chute libre avec accélération
constante égale à g .
1,000
0,900
0,800
0,700
vitesse
FIG1
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
t(s)
0,6
0,7
0,8
0,9
1
6