contraintes elementaires

CHAPITRE 3
CONTRAINTES ELEMENTAIRES
1: But de la résistance des matériaux
Etant donnée une construction à laquelle est appliqué un certain système de charges, la
résistance des matériaux se propose de vérifier si la construction peut effectivement supporter
ces charges.
En d’autres termes, elle a pour objet de vérifier la solidité, la stabilité de la construction sous
l’effet des charges appliquées.
On peut dire que la résistance des matériaux étudie deux problèmes essentiels :
-Le problème de la recherche des dimensions de la section sachant que la nature du matériau
qui compose cette pièce et les forces appliquées sur elle sont connus.
- le problème de la vérification c’est à dire la recherche des forces dont la pièce peut les
supporter et vérifier si ces forces ne dépassent pas les forces admissibles.
2 : Déformations des corps solides
Sous l’effet des forces appliquées, les corps solides se déforment et cette déformation est liée à
la nature du matériau du corps solide, à l’intensité de la force appliquée et à la durée
d’application de cette force etc..
Cette déformation peut être définitive ou temporaire.
Pour concrétiser la déformation des corps solides , nous considérons l’expérience de la
traction simple d’une tige cylindrique d’acier doux, terminée par deux parties renforcées de
l’éprouvette ( fig. 1 )la section de la tige est de l’ordre de 150 mm 2, cette section est constante
le long de la tige.
A environ 50 mm des têtes, on tracé deux traits de repère 1 et b, dont l’écartement l, de l’ordre
de 100 mm.
Chacune des têtes est serrée fortement dans une mâchoire : l’une est fixe ( M ) et l’autre peut
prendre des mouvements ( M’ ).
l
F
a
M
b
M’
Fig. 1
On fait subir à la pièce un allongement proportionnel au temps, et pour cela l’appareil exerce
sur la mâchoire M’ une force F, exactement centrée sur l’axe du barreau.
On trace le diagramme en portant en abscisse le quotient
l
( allongement relatif ) et en
l
ordonnée le quotient F .alors le diagramme aura l’allure illustré par la ( fig. 2 ).
S
Partie OA : elle est linéaire c’est la partie élastique, le phénomène dans cette partie est
réversible, et on peut dire que l’allongement est proportionnel à la force appliquée.
Partie ABC : la phase plastique, dans cette partie dés que l’effort unitaire F dépasse une
S
certaine valeur appelée e ( limite d’élasticité) , le diagramme comporte au point A , un palier,
très nettement marqué dans le cas de l’acier doux, et qui correspond à un allongement brusque
de l’éprouvette.
Dans cette partie l’augmentation d’une petite valeur de F donne un allongement considérable
et au point B il y’a l’apparition du phénomène de la striction. Enfin il y’a séparation des deux
tronçons (la rupture ).
Dans la phase plastique, les déformations ne sont pas réversibles.
En conclusion, pour ne pas avoir des déformations permanentes, il suffit de rester dans la
phase élastique , c’est à dire ne pas dépasser la limite élastique du matériau. D’autre part, nous
concluons que la limite élastique d’un matériau est une propriété très importante.
F
S
B
C
e
A
FIG. 2
tg = E
O
l
l
3 : Forces intérieures- contraintes
3 -1: Forces intérieures
Chaque corps solide est constitué d’un ensemble d’éléments infiniment petits liés entre eux
par des forces de liaison, et chaque élément est en équilibre sous l’influence des éléments
voisins.
Alors lorsque , on applique en un point donné de ce corps une force F, l’élément concerné par
cette force subit une déformation et cette dernière sera transmise aux éléments voisins sous la
forme d’une onde de déplacement et qui ne s’arrête que lorsqu’on arrive à une nouveau état
d’équilibre de ce corps. C’est à cause de ces déformations que les efforts intérieures se
forment (fatigue du matériau ).
3 -2 : Contraintes
Considérons une pièce soumise à l’action d’un certain système de forces extérieures toutes
connues et nous supposons que toutes ces forces sont en équilibre statique.
Coupons cette pièce par un plan de section droite appelée ( S ) ( fig. 3 ), alors la partie située à
gauche de la section n’a aucune raison pour que les forces extérieures appliquées sur cette
seule partie se fassent équilibre.
Forces extérieures
(S)
A
Partie de
gauche
ds
df
dft
df
Partie de
droite
ds
dfn
A
Fig. 3
Si cette partie de gauche restait en équilibre, c’est parce que la partie de droite lui interdit
tout déplacement d’ensemble.
On peut conclure, que en chacun des points de la surface de séparation ( S ) des forces
intérieures df, qu’on appelle également forces élastiques, et qui remplacent l’action de la partie
de droite de la pièce.
Ces forces, en nombre infini, sont telles :
- qu’elles équilibrent les forces extérieures appliquées sur la partie de gauche de la pièce.
- qu’elles maintiennent l’état de déformation de la partie de gauche, c’est à dire en
équilibre élastique.
La force df peut être décomposée en deux composantes
dfn : appelé force élastique normale et dft : appelé force élastique tangentielle
alors et puisque l’ensemble de la pièce est en équilibre, sur le même élément ds agit une force
élastique df’ égale et opposée à df.
On appelle contrainte au point A le quotient de
on aura une contrainte normale égale à
L’unité des contraintes est
dfn
ds
df
( quand ds tend vers 0 ), et par conséquent
ds
et une contrainte tangentielle égale à
force
( daN/m2 ,etc.
surface
df t
ds
.
).
3 -3 : Equilibre élastique
Nous avons un équilibre élastique lorsque l’ensemble des forces extérieures appliquées à la
section de gauche par rapport à ( s) représenté par M, T, et N soit en équilibre avec
l’ensemble des efforts intérieures appliqués en tout pont de la section ( s ). ( fig. 4 )
dft
y
ds
G
df
dfn
T
M
N
Axe neutre
x
Fig. I-4
S
N +  n . ds = 0
T +  t . ds = 0
( 1)
( t sera remplacée par 
(2 )

M +  y. n . ds = 0
(3 )
Ces trois équations sont insuffisantes pour calculer et t, et c'est pour cela il nous faut tenir
compte du fait que les forces élastiques maintiennent l’état de déformation de la pièce. pour
cela nous ferons appel aux deux lois de déformations de la matière.
4-1 : La loi de HOOKE
La déformation en un point est proportionnelle à la force élastique agissant en ce point. Nous
revenons au diagramme qui a été tracé à la figure 2 et on peut tirer que :
F
F = tg (. l , d’où on aura tg ( S      E .   
l

S
l
l
le coefficient E s’appelle le coefficient d’élasticité longitudinal ou le module de YOUNG du
matériau.
De la même manière dans le sens transversal, la déformation unitaire dans le plan de section
droite est proportionnelle à la contrainte tangentielle.
 Gt ( t peut être appelé 1 )
(5)
le coefficient G s’appelle le coefficient d’élasticité transversal ou le module de COULOMB du
matériau.
I –4-2 : la loi de NAVIER-BERNOULLI
Au cours de la déformation d’une pièce, une section droite reste :
- plane
- identique à elle même
- normale à la fibre moyenne déformée
4-3 : Conditions d’applications des lois de HOOKE et NAVIER-BERNOULLI
a) : conditions relatives à la forme des pièces
- les diverses dimensions de la section droite doivent être du même ordre de grandeur, et
petites devant la longueur de l’axe.
- Si la section de la pièce est variable, le contour d’une section droite doit se déformer
peu quand on passe d’une section à la section voisine.
- Le rayon de la courbure de la fibre moyenne doit être grand devant les dimensions
transversales de la pièce.
b) : conditions relatives à la matière constituant le corps
- la matière doit être réellement continue.
- la matière doit être homogène.
- la matière doit être isotrope transversalement
- la matière doit pouvoir présenter des déformations parfaitement élastiques.
c) : conditions relatives aux forces appliquées
- les forces doivent être appliquées très lentement ( éviter le choc ).
- Les forces doivent être appliquée sur un étendue du corps telle qu’elles n’entraînent pas
de déformations permanentes locales ( éviter le poinçonnement ).
- Les forces appliquées ne doivent gêner en rien les déformations transversales que
pourraient prendre les diverses sections transversales dans leurs plan.
I – 5 : Principe de l’indépendance de l’effet des forces
Il est aussi appelé le principe de la superposition des effets élastiques des forces.
" Toute force nouvelle agissant sur un corps déjà sollicité et déjà déformé produit les mêmes
déformations et engendre les mêmes contraintes que si cette force agissait seule."
Nous pouvons donc, pour étudier une pièce soumise à l'action d'un système de forces
complexe, étudier séparément l'action de chacune des forces du système ( ou de chacun des
groupes de forces plus simples, en lesquels on peut décomposer le système de force donné ),
puis cumuler les résultats obtenus.
En particulier, le système de forces extérieures ( directement appliquées et réactions d'appuis )
peut être défini par trois grandeurs N,T et M. nous étudierons séparément l'effet de chacune de
ces grandeurs, c'est à dire :
- de l'effort normal N ( traction ou compression )
- de l'effort tranchant T ( cisaillement )
- du moment fléchissant M ( flexion ).
REMARQUES :
- la déformation longitudinale des pièces soumises à la traction ou à la compression est
toujours accompagnée par une déformation transversale.
- .il suffit de connaître la déformation de la fibre moyenne du corps , pour avoir celle du
corps tout entier, d'où on peut représenter une pièce simplement par un axe ( sa fibre
moyenne) sur lequel nous supposons que sont appliquées les forces extérieures.
-  l  b 

l
- G 
b
E

2 . ( 1  )

  
-
 1 coefficient de poisson avec 

(8)
S = 2.
S
V = 
V


- A titre indicatif, soit le tableau I-1ci-dessous de quelques matériaux :
matériaux
Acier
Plomp
Aluminium
Béton armé
Coefficient poisson : 
0,25 – 0,33
0,42
0,33
/
Tableau 1
Module de YOUNG : E ( kgf/cm2 )
( 1,9 – 2,2 )x 10 6
( 0,15 – 0,20 )x 10 6
( 0,7 – 0,72 )x 10 6
( 0,11 – 0,43 )x 10 6