Corrigé

Corrigé : Spécialité : 5 points (d'après Amérique du Nord mai 2002)
Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme abba. a est un chiffre
supérieur ou égal à 2 et b un chiffre quelconque. Exemples d'éléments de (E) : 2002, 3773, 9119.
Les parties A et B du sujet peuvent être traitées séparément.
Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur.
1.
a) Décomposer 1001 en produit de facteurs premiers.
1001 = 7*11*13.
b) Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.
Un élément n=abba de E s'écrit 1001*a+110*b = 11(91a+10b). Or 91a+10b est entier, donc 11|n.
2.
a) Montrer que (E) possède exactement 80 éléments.
Il faut choisir a et b, de manière indépendante: il y a 8 choix pour a et 10 pour b, ce qui fait
8x10=80 possibilités (car deux nombres abba et a'b'b'a' sont distincts ssi a≠a' ou b≠b').
b) Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2, ni par 5 ?
On élimine les éléments finissant par 0,2,4,5,6 ou 8 : donc a ne peut prendre que les valeurs 3,7
et 9. Cela fait au total 3x10=30 éléments.
3.
Soit n un élément de (E), écrit sous la forme abba.
a) Montrer que « n est divisible par 3 » équivaut à « a+b est divisible par 3 ».
Supposons que 3|n : alors la somme des chiffres de n est divisible par 3 (propriété connue),
donc 3|2(a+b). Or 2 et 3 sont premiers entre eux, donc par le théorème de Gauss, 3|a+b.
b) Montrer que « n est divisible par 7 » équivaut à « b est divisible par 7 ».
Supposons que 7|n : alors 7 divise 1001a+110b. Or 7 divise 1001, donc 7|110b. Comme
110 = 2x5x11, 7 est premier avec 110, donc par le théorème de Gauss, 7|b.
4.
Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments de (E) qui admettent 11 comme plus petit
facteur premier.
On sait que 11 divise tout n de (E). Pour que n soit le plus petit diviseur premier de n, il faut que 2, 3, 5
et 7 ne divisent pas n. Décomptons les éléments de (E) divisibles par 2, 3, 5 ou 7 :
- nombres pairs : a=2,4,6 ou 8 et b quelconque : 40 nombres.
- multiples de 5 impairs : a=5 et b quelconque : 10 nombres.
- multiples de 3 impairs, ne se terminant pas par 5. a peut donc valoir 3, 7 ou 9. D'autre part
a+b vaut 3, 6, 9, 12, 15 ou 18. Si a=3, b=0, 3, 6 ou 9 : 4 choix. Si a=7, b=2,5 ou 8 : 3 choix. Si a=9, b=0, 3,
6 ou 9 : 4 choix. Au total, on a 11 nombres.
- multiples de 7 non déjà rencontrés : 7 divise b, a est impair différent de 5, et a+b n'est pas
divisible par 3. On a donc b=7 ou b=0. Si b=0, a=7 convient. Si b=7, a=3 ou 7 ou 9 conviennent. Au
total, 4 nombres.
Ainsi 65 nombres sur 80 ne conviennent pas : la réponse est donc 15.
Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.
Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile.
On admet que pour tout élément n de (F), il existe des entiers naturels p et q tels que :
n = 2000 + 4p et
n = 2002 + 11q.
1.
On considère l'équation (e) : 4p – 11q = 2, où p et q sont des entiers relatifs.
Vérifier que tous les couples (11k+6; 4k+2), où k est un entier relatif, sont solutions de (e). On admettra qu'il
n'y a pas d'autre solution à (e).
Soit k un entier. 4(11k+6)-11(4k+2) = 44k+24-44k-22=24-22=2. (e) est vérifiée.
2.
En déduire que tout entier n de (F) peut s'écrire sous la forme n = 2024 + 44 k, où k est un entier
relatif.
D'une part n=2000+4p, d'autre part n = 2002+11q. Ainsi, on a 2000+4p=2002+11q, d'où 4p11q=2. Donc (p,q) est solution de (e) : il existe donc un entier k tel que p=11k+6 et q=4k+2 ; on a donc n
= 2000 + 4p = 2000 + 4(11k + 6) = 2024 + 44k.
3.
On considère l'algorithme suivant, écrit en pseudo-langage informatique (la fonction Mod renvoie le
reste dans la division euclidienne ; par exemple 76 Mod 9 renvoie 4 et 21 Mod 7 renvoie 0).
Pour k de 0 à 181 Faire
2024+44k → N ;
N Mod 1001 → R ;
R Mod 110 → S ;
Si (S = 0)
Afficher «k= », k ;
Afficher « Année », N ;
Fin Si
Fin Pour
Questions : expliquer à quelle condition sur N on obtient S=0 ? Que fait ce programme d'après vous ?
Il n'est pas nécessaire, ni demandé, de programmer cet algorithme pour répondre.
Pour obtenir S=0, il faut nécessairement que R ≡ 0 [110], donc R est un multiple de 110 :
R = 110s avec s entier.
Or R = N – 1001q, où q est entier, par définition de la division euclidienne par 1001.
On en déduit que N = 1001q+110s. Comme k va de 0 à 181, N est dans l'intervalle
[2024, 9999], donc N s'écrit qssq, ce qui prouve que N est élément de (E).
Ce programme détecte donc des entiers appartenant à (E). Mais comme les nombres N
parcourus par l 'algorithme sont de la forme 2024+44k, ces nombres définissent des années
bissextiles(*), sauf certains qui se terminent par 100 et non multiples de 400, comme : N=2200
obtenu pour k=4. Mais ces nombres, multiples de 100, ne peuvent appartenir à (E), car a>1 :
l'algorithme détermine donc exactement l'ensemble (F).
(*) les années bissextiles sont dans notre calendrier les multiples de 4, sauf les multiples de
100, à l’exception des multiples de 400 qui sont bissextiles.