Mouvement d`une pièce de monnaie sur un disque en rotation

Mouvement d'une pièce de monnaie sur un disque en rotation.
Pour les applications numériques, on prendra :
- g = 10 N kg-l
- R=lm
- h=lm
- a = 0,1 m
- m = 0,01 kg
- s = 0,53
- d = 0,36
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On donne : chx   e x  e x  ; shx   e x  e  x 
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Soit un référentiel terrestre galiléen o = Oo , e xo , e yo , e z , où e z représente la verticale ascendante. Par


rapport à ce référentiel, on considère un disque horizontal en acier, D, de rayon R et de centre O. Le
disque peut tourner autour de l'axe vertical e z passant par son centre O et se situe à une hauteur h du sol


horizontal. On considère le référentiel  = O, e x , e y , e z lié au disque. Le mouvement de rotation du


disque par rapport à o est repéré par l’angle   e xo , e x , orienté de e xo vers e x (cf. figure). Les axes
e xo et e xo sont confondus à l'instant de la mise en mouvement du disque qui sera pris comme origine des
temps. Le mouvement donné au disque (à t = 0) est un mouvement de rotation uniforme caractérisé
par   / o     e z . Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme g   ge z .
Une pièce de monnaie en cuivre est posée sur le disque. Elle est assimilée à un point matériel M, de masse
m. Elle est placée sur le disque avant sa mise en mouvement en A (a, 0, 0) avec 0 < a < R. Le contact
entre M et D est caractérisé par un coefficient de frottement solide statique s > 0 et un coefficient de
frottement solide dynamique d (0 < d < s).
On note :
R  N  T la force de contact exercée par le disque sur le point M.
N  Ne z sa composante normale au disque.
T  Tx e x  Ty e y sa composante dans le plan du disque. On pourra aussi écrire : T  Tu où u est un
vecteur unitaire défini par la vitesse de M dans  soit T  T
vM / 
 T
vM / 
v
v
OM  xe x  ye y  ze z le vecteur position du point M.
A. Equilibre de la pièce dans R.
On suppose dans un premier temps la pièce en équilibre dans le référentiel  du disque.
1. Donner l'expression des forces d'inertie dans  . Les exprimer en fonction de m, a, et.
2. Rappeler les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides.
3. Ecrire les équations d'équilibre de M dans sa position initiale A.
4. Donner la condition que doit vérifier    pour que M soit à l’équilibre dans  . Faire
l’application numérique. On note l cette valeur particulière.
B. Mouvement sur le disque.
La vitesse de rotation du disque est réglée sur la valeur   l . Le point M se met alors en mouvement.
5. Etablir les équations différentielles exactes du mouvement de M vérifiées par x, y et z en
fonction de d , g , , x, y, x, y .
A partir de maintenant et pour toute la suite du mouvement sur le disque, la pièce est contrainte à se
déplacer suivant e x .
6. Etablir l’équation horaire du mouvement de M. On exprimera x, y et z en fonction de a,  , t et
 = d /s.
7. Déterminer alors, en fonction de , r = R/a et , l'instant ts où la pièce arrive au bord du disque.
Faire l’application numérique.
8. Dans les conditions du mouvement guidé, exprimer v M /  vitesse de M dans  . Quelle est sa
valeur à la date ts . Faire l’application numérique.
9.
Soit vo  vM / o la vitesse de M par rapport à o . Exprimer cette vitesse. Quelle est sa valeur à
la date ts . Faire l’application numérique.
10. Donner l'expression de l'évolution temporelle de la force de contact R en fonction de
m, g , d , , a,  .
DTL6.CB. 05/06.