Exercice 2

Mathématiques
Durée : 2h
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Numérique
Exercice 1 :
2
On donne l’expression A   x  32 x  3  2 x  3 .
1) Développer, réduire et ordonner A.
2) Factoriser A.
3) Résoudre l’équation 2x  36  x  0 .
4) Calculer A pour x  2 , puis pour x 
2.
Exercice 2 :
1) Mettre sous la forme la plus simple possible les expressions suivantes, en détaillant toutes les
étapes des calculs :
2
1
A   4
5
15
1
4
B
2 1
 
3 6

3
5  10 5  2  10 1
C
24  10 2

6  10 5  10 2
2) Donner l’écriture scientifique de D 
15  10 2


3
4
, en détaillant les étapes.
Exercice 3 :
1) Mettre sous la forme a b avec b le plus petit possible :
E  8  3 50  2 32
F  5 80  3 20  2 125
2) Mettre sous la forme a 7 l’expression G  7 15  2 35  3
et
Exercice 4 :
On donne : H  3  2 5 et I  3  2 5
Calculer H  I ,
H  I puis H 2 .
Exercice 5 :
Un club de kayak doit renouveler son matériel pour la nouvelle saison. Lors d 'une première
commande, trois kayaks et cinq pagaies sont achetés pour la somme de 1 293 €. On décide de
compléter l'équipement du club par une nouvelle commande : le club achète deux autres kayaks et
trois autres pagaies pour la somme de 852 €.
Calculer le prix d'un kayak et le prix d'une pagaie.
Exercice 6 :
Voici un tableau donnant la population de la Polynésie Française par classe d'âge en 1996.
1) Compléter le tableau ci-dessous : (les fréquences seront exprimées en pourcentage, arrondies au
dixième )
Age
[0;20[
[20;40[
[40;60[
60 et plus
Total
Effectif
94 651
75 537
37 940
13 193
Fréquence
2) Calculer le nombre de personnes qui ont moins de 40 ans.
3) Calculer le pourcentage de personnes âgées de 40 ans ou plus.
Géométrie :
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, placer les points A( 2 ; 6) B( - 3 ; 3 ) C( 2 ; 0) et D( 7 ; 3 ).
1) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC . Montrer que le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme.
2) Calculer les distances AB et AD ( on donnera les valeurs exactes )
Que peut-on alors dire du parallélogramme ABCD ? Justifier.
3) Construire le point M, centre du parallélogramme ABCD. Calculer les coordonnées de M.
4) a) Quelle est l’image du triangle AMD par la symétrie centrale de centre M ?
b) Citer une transformation qui permet de passer du triangle ACD au triangle ABC.
Exercice 2 :
C est un cône de sommet S, de rayon HB = 12 cm et de hauteur
SH = 10 cm.
1) Calculer la valeur exacte de la longueur SB.
2) Calculer le volume exact puis arrondi au cm3 près du cône C.
3) I est un point de [SH] tel que SI = 4 cm. SI est la hauteur d'un
cône C ' de rayon ID.
a) Justifier que (ID) et (HB) sont parallèles.
b) Calculer la valeur exacte de ID.
c) Calculer le volume arrondi au cm3 près du cône C '.
S
I
D
A
H
Problème
La figure sera faite sur une feuille à part.
Les questions sont indépendantes, si on se sert des réponses
données par l’énoncé.
1) Reproduire en vraie grandeur la figure ci-dessus en tenant compte des renseignements suivants :
 l'unité de longueur est le centimètre ;
 les points A, O, F, C sont alignés dans cet ordre ;
 AC =15 ; AO = OF = 3 ; BO = 6 ;
 les droites (BO) et (AC) sont perpendiculaires.
On complétera la figure au fur et à mesure des questions.
2) Calculer BÂO au degré près.
3) Prouver que AB = 3 5 cm et que BC = 6 5 cm.
4) Démontrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
5) a) Construire le cercle (C) de diamètre [FC] qui recoupe la droite (BC) en H.
b) Démontrer que le triangle FHC est rectangle.
c) Démontrer que les droites (AB) et (FH) sont parallèles.
d) Calculer CF puis CH.
6) Démontrer que le triangle ABF est isocèle.
7) a) Tracer par A la parallèle à la droite (BF), elle coupe la droite (HF) en G.
b) Démontrer que le quadrilatère ABFG est un losange et préciser son périmètre.
8) Montrer que le triangle OBC a la même aire que le losange ABFG.
B
Problème (12 points)
1,5 points pour la présentation, l’orthographe et la rédaction.
1)
2)Je sais que : AOB est rectangle en O
AB hypoténuse
OB
Propriété : tan BÂO 
AO
6
tan BÂO   2
3
BÂO  63
Conclusion : BÂO  63 °
3)Je sais que : ABO rectangle en O
AB hypoténuse
Propriété : d’après le théorème de Pythagore, on a
AB² = AO² + OB²
AB² = 3² + 6²
AB= 45  9  5  3 5
Conclusion : AB= 3 5 cm
Je sais que : CBO rectangle en O
CB hypoténuse
Propriété : d’après le théorème de Pythagore, on a
CB² = CO² + OB²
CB² = (15-3)² + 6² = 12² + 6²
AB= 180  36  5  6 5
Conclusion : AB= 6 5 cm
4)Je sais que : ABC est un triangle
AC est le plus grand côté
AC² = 15² = 225
AB² + BC² = (3 5 )² + (6 5 )² = 9  5 + 36  5 = 45 +180 = 225
Donc AC² = AB² + BC²
Propriété : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle
Conclusion : ABC rectangle en B donc (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
5) a)
b) Je sais que : ABC est un triangle
FC est un diamètre du cercle (C)
H est un point du cercle (C)
Propriété : Si un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point sur
le cercle alors il est rectangle en ce point.
Conclusion : FCH est rectangle en H
c) Je sais que : (AB)  (BC)
(AB)  (FH)
Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles
sont parallèles.
Conclusion : (AB) // (FH)
d) Les points A, F et C sont alignés.
FC = AC – AF = 15 – 6 = 9cm
Je sais que : (AB) // (FH)
(AF) et (BH) sécantes en C
Propriété : d’après le théorème de Thalès, on a
CF CH FH


CA CB AB
9
CH
FH


15 6 5 3 5
6 5  9 18 5

15
5
18 5
Conclusion : CH =
cm
5
6) Je sais que : AB = 3 5 cm.
OBF rectangle en O
BF hypoténuse
Propriété : d’après le théorème de Pythagore, on montre que BF = 3 5 cm
CH =
Conclusion : BF = 3 5 cm
Je sais que : AB = BF
Propriété : un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle.
Conclusion : ABF isocèle en B
7) A)
b) Je sais que : (AB) // (FG)
(AG) // (BF)
Propriété : un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 2 à 2 est un
parallélogramme.
Conclusion : ABFG parallélogramme.
Je sais que : AB = BF
ABFG parallélogramme
Propriété : un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueur est un
losange.
Conclusion : ABFG losange.
Je sais que ABFG losange et AB = 3 5 cm
Propriété : un losange a 4 côtés de même longueur
Conclusion : P = 4 3 5 = 12 5 cm.
8)A (OBC) = OB  OC 2 = 6  12 2 = 36 cm²
A (ABFG) = (AO  OB 2)  4 = 3  6 2  4 = 36 cm²
Les deux aires sont égales.
Exercice n°1 :
Remarque : on peut traiter la question 4) sans
avoir fait les questions 1), 2) et 3).
[AB] et [CD] sont deux diamètres perpendiculaires
E
de C.
L
La droite (d) est perpendiculaire à (CD) en E un
point de [OC].
On note F le deuxième point d’intersection de C et
(AE) et L le point d’intersection de (OF) et (d).
A
O
H
B
1) a) Démontre que (EL) et (AO) sont
parallèles.
b) Démontre que FÊL et EÂO sont égaux.
2) a) Démontre que AO et OF sont égales.
b) Justifie que AOF est isocèle et déduis-en que
D
FÂO et AF̂O sont égaux.
3) Démontre que FÊL et EF̂L sont égaux et déduis-en la nature de EFL.
4) Sachant que AOE est rectangle en O et que OA = 3cm et OE = 1,4 cm
a) Calcule la tangente de EÂO et déduis-en la mesure de EÂO arrondie au
degré.
b) En remarquant que EÂO et FÂB sont égaux, déduis la mesure de
FÔB arrondie au degré.
c) Sachant que OFH est rectangle en H et que OF = 3 cm, calcule la hauteur du
triangle AOF relative à [AO] arrondie au dixième de millimètre.
C
F
Exercice n°1 :
(9,5 points)
1) a) Je sais que : (EL)  (CD)
(AO)  (CD)
Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles
sont parallèles.
Conclusion : (EL) // (AO)
1 pt
b) Je sais que : (EL) // (AO)
(EL) et (AO) sont coupées par (AF)
Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une troisième droite alors les
angles correspondants déterminés par ces droites sont égaux.
Conclusion : FÊL = EÂO
1 pt
2) a) Je sais que : A et F sont 2 points du cercle C qui a pour centre O.
Propriété : deux points d’un cercle sont à égale distance du centre.
Conclusion : AO = OF
0,5 pt
b) Je sais que : AO = OF
Propriété : un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle.
Conclusion : AOF est un triangle isocèle en O.
0,5 pt
Je sais que : AOF est un triangle isocèle en O
Propriété : un triangle isocèle a ses angles de base égaux.
Conclusion : FÂO  AF̂O
0,5 pt
3) Je sais que : FÂO  AF̂O
E  [AF]
Conclusion : EÂO  EF̂L
Je sais que : FÊL = EÂO
EÂO  EF̂L
Conclusion : FÊL = EF̂L
1 pt
Je sais que : FÊL = EF̂L
Propriété : un triangle qui a deux angles de même mesure est isocèle.
Conclusion : EFL est un triangle isocèle en L.
0,5 pt
4) a)Je sais que : AOE triangle rectangle en O ; [AE] hypoténuse
OE
1,4
Propriété : tan EÂO =
0,5 pt
tan EÂO =
0,5 pt
3
AO
1,4
Conclusion : tan EÂO =
3
0,5 pt
EÂO  25°
b) Je sais que : FÂB est un angle inscrit de C, FÔB est un angle au centre et ils
interceptent le même arc.
0,5 pt
Propriété : la mesure d’un angle inscrit est la moitié de celle d’un angle au centre qui
intercepte le même arc.
0,5 pt
1
Conclusion : FÔB =  FÔB
0,5 pt
FÔB = 2 FÔB  2  25  50°
2
c)H est le pied de la perpendiculaire à (AO) issue de F donc, par définition, FH est la
hauteur du triangle AOF relative à [AO]. 0,5 pt
Je sais que : FOH est rectangle en H, OF hypoténuse
FH
Propriété : sin FOˆ H =
0,5 pt
OF
FH
sin 50 
FH  2,30
3
Conclusion : FH  2,30 cm
0,5 pt
Exercice 2
ABCD est un rectangle dont on connaît la longueur et la largeur. On trace la hauteur [AM] du
triangle ABD et la hauteur [CN] du triangle BCD . Calculer MN.
A
B
M
D
N
C
Exercice 3 :
1
ABCD est un parallélogramme. Placer E tel que CE  CD . Placer le point F tel que
3
3
AF  AE .
2
Montrer que B, C et F sont alignés.