Utilisation du principe de superposition
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DM5 électrostatique TSI 2015-2016 Propriétés électriques des nanotubes de carbone Le carbone cristallise sous différentes variétés allotropiques. Dans le cas du carbone graphite : il s’agit de « feuillets » d’atomes de carbone (plans A et B en alternances) organisés dans un réseau hexagonal. A noter la possibilité d’isoler cette structure en feuillets appelée graphène. Les graphènes sont des molécules dont on peut fixer la croissance et l’enroulement éventuel afin de créer des tubes de carbone : c’est cette structure tubulaire (dont le diamètre est de l’ordre de quelques nanomètre) qui confère aux nanotubes de carbone leurs propriétés intéressantes. La production Graphène mondiale de nanotubes atteint aujourd’hui plusieurs centaines de tonnes par an pour plusieurs utilisations : • Ils sont présents dans les écrans plats car leur géométrie permet d’avoir un effet de pointe important et donc des champs forts à leurs extrémités. • Dans l’industrie automobile pour le renfort des pièces de carrosserie. L’analyse de leurs propriétés mécaniques montre qu’ils possèdent une résistance mécanique comparable à celle de l’acier tout en étant extrêmement légers. • Les nanotubes peuvent être utilisés dans la fabrication de composants électroniques hautes fréquences pouvant fonctionner jusqu’30 GHz Nanotube de carbone DM5 électrostatique TSI 2015-2016 Ce devoir explique la capacité des nanotubes de carbone à pouvoir produire des champs électrique forts. 1) On considère une spire circulaire de rayon 𝑅 sur laquelle est répartie uniformément, avec une densité linéique 𝜆 alors constante, une charge totale notée 𝑄. Cette spire est de centre 𝑂 et on note 𝑂𝑧 sont axe de symétrie de révolution. a) Donner la relation entre 𝑄 et 𝜆 b) On considère un élément de longueur 𝑑𝑙 de la spire centré autour du point 𝑃. Quelle est la charge élémentaire, notée 𝑑𝑞(𝑃), contenue sur 𝑑𝑙 ? ⃗⃗⃗⃗𝑠 (𝑀) créé par cette charge élémentaire 𝑑𝑞(𝑃) en c) Donner alors l’expression du champ élémentaire 𝑑𝐸 un point 𝑀, de côte 𝑧𝑀 , appartenant à l’axe de symétrie de révolution 𝑂𝑧. d) En analysant la symétrie de la distribution complète, déterminer la direction du champ en un point 𝑀 appartenant à l’axe de symétrie de révolution 𝑂𝑧. e) Montrer alors que l’expression du champ total ⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑆 (𝑀) est ⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑆 (𝑀) = 𝑄𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 𝑒 ⃗⃗⃗ 4𝜋𝜀0 𝑧𝑀 2 𝑧 où 𝛼 est l’angle sous lequel est vue la spire depuis le point 𝑀. 2) Le calcul précédent va nous permettre, en utilisant le principe de superposition, d’exprimer le champ créé par un nanotube de carbone. On considère un nanotube comme une distribution constituée de 𝑛∗ spires par mètre et la longueur totale du tube est notée 𝑙. Chaque spire de rayon 𝑅 porte une charge 𝑄. a) Donner l’expression de la charge 𝑑𝑞 comprise sur la spire élémentaire d’épaisseur 𝑑𝑧𝑃′ (représentée ci-dessus) en fonction de 𝑛∗ , 𝑑𝑧𝑃′ et 𝑄 ⃗⃗⃗𝑡 (𝑀) créé par b) En utilisant le résultat de la question 1)e), donner l’expression du champ élémentaire 𝑑𝐸 la distribution élémentaire 𝑑𝑞 en fonction, entre autre, de 𝑛∗ , 𝑄, 𝑃′ 𝑀, 𝑑𝑧𝑃′ et 𝛼 (𝑃′ est le centre de la spire élémentaire étudiée) c) Montrer proprement que 𝑑𝑧𝑃′ = 𝑃′𝑀2 𝑑𝛼 𝑅𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 et trouver alors l’expression du champ électrostatique au point 𝑀 situé à l’extrémité droite du tube, en fonction, entre autre, de 𝛼1 qui est l’angle sous lequel est vu l’extrémité gauche du tube depuis 𝑀. d) On suppose que 𝑙 ≫ 𝑅, montrer que le champ électrique est alors approché par l’expression suivante : ⃗⃗⃗ 𝐸𝑡 (𝑀) ≈ 𝑛∗ 𝑄 𝑒 ⃗⃗⃗ 4𝜋𝜀0 𝑅 𝑧 e) Le champ maximal 𝐸𝑚,𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒 rayonné par une spire de rayon 𝑅 portant une charge 𝑄 est de l’ordre 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑅 2 Comparer ⃗⃗⃗ 𝐸𝑡 (𝑀) à 𝐸𝑚,𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒 sachant que 𝑅 = 10𝑛𝑚 et 𝑛∗ = 109 𝑚−1 . DM5 électrostatique TSI 2015-2016 1)a) 𝑄 = 2𝜋𝑅𝜆 1)b) 𝑑𝑞(𝑃) = 𝜆𝑑𝑙 /1 /1 /1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑞(𝑀)𝑃𝑀 ⃗⃗⃗⃗𝑠 (𝑀) = 1)c) 𝑑𝐸 4𝜋𝜀0 𝑃𝑀3 1)d) On peut proposer une infinité de plans de symétrie de la distribution contenant alors l’axe Oz et le point M : le champ électrostatique en M est sur l’axe Oz 1)e) La projection du champ élémentaire suivant la direction Oz donne :𝑑𝐸⃗ = 2𝜋 𝐸⃗ = ∫ 0 2)a)𝑑𝑞 = 𝑛∗ 𝑑𝑧𝑃′ 𝑄 ⃗⃗⃗𝑡 (𝑀) = 2)b) 𝑑𝐸 2)c)𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑅 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 𝑒 ⃗⃗⃗ 4𝜋𝜀0 𝑃′𝑀2 𝑧 = 𝑛∗ 𝑄𝑑𝑧𝑃′ 𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 4𝜋𝜀0 𝑃′𝑀2 𝑑𝛼 et donc 𝑑𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑃′ 𝑀 𝑃′ 𝑀2 𝑑𝛼 D’où : 𝑑𝑧𝑃′ = 𝑅𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 𝜆𝑅𝑑𝜗 𝜆𝑅𝑧𝑀 𝑞𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑒⃗⃗⃗𝑧 = 𝑒𝑧 = ⃗⃗⃗ 𝑒 ⃗⃗⃗ 2 3 4𝜋𝜀0 𝑃𝑀 2𝜀0 𝑃𝑀 4𝜋𝜀0 𝑧 2 𝑧 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 𝜆𝑅𝑑𝜗 4𝜋𝜀0 𝑃𝑀2 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑒⃗⃗⃗𝑧 . /4 /1 /2 𝑒𝑧 ⃗⃗⃗ = /2 −𝑅𝑑𝑃′ 𝑀 𝑃 ′ 𝑀2 or 𝑑𝑃′ 𝑀 = 𝑑(𝑧𝑀 − 𝑧𝑃′ ) = −𝑑𝑧𝑃′ donc 𝑑𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 𝑅𝑑𝑧𝑃′ 𝑃 ′ 𝑀2 𝑛∗ 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑒 ⃗⃗⃗ 4𝜋𝜀0 𝑅 𝑧 ∗ ∗ 𝑛 𝑄 𝑛 𝑄 𝑅 ⃗⃗⃗ (1 − 𝑠𝑖𝑛𝛼1 )𝑒⃗⃗⃗𝑧 = 𝐸𝑡 (𝑀) = (1 − )𝑒⃗⃗⃗𝑧 2 4𝜋𝜀0 𝑅 4𝜋𝜀0 𝑅 √𝑙 + 𝑅2 /4 ⃗⃗⃗𝑡 (𝑀) = 𝑑𝐸 ⃗⃗⃗𝑡 (𝑀) ≈ 2)d)𝐸 2)e) 𝑛∗ 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑅 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑅2 𝑛∗ 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑅 𝑅 (1 − )𝑒⃗⃗⃗𝑧 ≈ 𝑙 𝑛∗ 𝑄 𝑒 ⃗⃗⃗ 4𝜋𝜀0 𝑅 𝑧 = 𝑛∗ 𝑅 = 10 soit un champ 10 fois plus fort. Ces structures tubulaires créent des champs très intenses. Elles sont utilisées dans certains écrans plasmas comme électrode permettant de claquer le gaz. /1 /2
