CHIMIE LE 1 Octobre 2011 - PCSI

Optique géométrique
Octobre
Samedi 1ier
DEVOIR DE PHYSIQUE N°1
CORRECTION
Problème 1 : Propagation de la lumière dans les fibres
optiques
A. Phénomène de réflexion totale
A.1 Une lumière monochromatique n’est composée que d’une seule longueur
d’onde.
A.2 Premières lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction : les rayons
incidents, réfléchis et réfractés sont dans le plan d’incidence (plan formé par le
rayon incident et la normale au dioptre). On nomme r l’angle de réflexion et t
l’angle de réfraction.
Deuxième loi de Descartes pour la réfraction : n1.sin i = n2 sin t
Deuxième loi de Descartes pour la réflexion : r = i.
A.3 Lorsqu’on fait passer un faisceau de lumière blanche à travers un prisme de
verre, la lumière est décomposée en sortie du prisme. On observe sur un écran un
spectre coloré continu. Il s’agit d’un phénomène de dispersion dû à la dépendance
de l’indice de réfraction du verre avec la longueur d’onde de la lumière. L’arc-enciel est un autre exemple de dispersion de la lumière (par des gouttes d’eau et non
plus par le verre).
A.4 Lorsqu’on augmente l’angle d’incidence i, t augmente également d’après la
loi de Descartes pour la réfraction. On sait de plus d’après cette loi que t > i car n1
> n2. Lorsque t atteint sa valeur maximale (90°), i atteint donc également sa valeur
maximale notée ici i0. Au delà, il ne peut plus y avoir de réfraction. Seule la
réflexion existe ; on parle de réflexion totale.
On a alors dans le cas limite : n1sini0 = n2sin(90°) d’où sini0 = n2/n1.
A.5 On trouve numériquement : i0 = 78,52°.
A
B
0,5
1
0,5
1
0,5
B. Fibre à saut d’indice
B.1 Il faut d’après la question A.4 que sin i > sin iL avec sin iL = ng/nc.
0,5 0,5
B.2 Au niveau du dioptre air-cœur, l’application de la seconde loi de Descartes
pour la réfraction permet d’écrire : sin θ = nc sin (90° - i) = nc cos i.
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C
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A
B
C
Il y a réflexion totale si sin i > sin iL ou si cos i < cos iL donc si sin θ < nc cos iL.
On en déduit l’ouverture numérique de la fibre :
ON = sin  L  nc cos i L  nc 1  sin i L  nc 1 
2
ng
2
nc
2
 nc  n g
2
2
2
B.3 ON = 0,2985
B.4 Dans le cœur de la fibre, la lumière se déplace à la vitesse v = c/nc.
B.5 Le rayon qui traverse le plus rapidement la fibre est celui qui se propage
suivant son axe
L L.nc
(θ = 0) ; La durée du parcours serait  1  
v
c
B.6 Le rayon qui met le plus de temps pour traverser la fibre correspond à l’angle
θL. Lorsque ce rayon parcourt une longueur L de fibre, la distance effectivement
parcourue est supérieure
L
; elle vaut d =
.
sin i L
D’autre part : d = v.τ2 où τ2 est la durée de ce parcours.
L.nc
d d .nc
On obtient donc :  2  

v
c
c. sin i L
B.7 L’intervalle de temps δτ entre le temps de parcours minimal et maximal
est donné par :
2
L.nc
L.nc L.nc
L.nc L.nc nc
   2   1 




(  1)
c. sin i L
c
c.n g
c
c ng
B.8 L’impulsion lumineuse en sortie dure environ t0 + δτ.
0,5
0,5
0,5
1
1
0,5
B.9 La diffraction de la lumière par des ouvertures ou des obstacles dont les
dimensions deviennent comparables à la longueur d’onde permet de mettre en
évidence son caractère ondulatoire.
Problème 2 : Etude d’un téléobjectif
0,5
5
0,5 5,5
A. Objectif standard
A.1 Le rayon passant par O n’est pas dévié.
0,5
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Octobre
A.2 L’objet est situé à une distance de l’objectif très supérieure à sa distance
focale. On peut donc considérer qu’il est à l’infini. Son image se forme alors dans
le plan focal image de l’objectif. La distance D entre la lentille et la pellicule doit
donc être égale à f’ = 50 mm.
A.3 On applique le théorème de Thales dans les triangles OAB et OA’B’ et on en
déduit h1 la hauteur de l’image de la tour Eiffel sur la pellicule :
f'
h1  h  8,1mm
d
A
B
C
2
0,5
0,5
B. Réalisation d’un téléobjectif par association de deux
lentilles
B.1 On détermine littéralement la position de F’ en fonction de f’1, f’2 et e :
F’ est l’image d’un point à l’infini sur l’axe à travers le doublet de lentilles. Un
point objet à l’infini sur l’axe a pour image à travers la lentille L1 est en F’1. F’ est
l’image de F’1 à travers la lentille L2. On applique la relation de conjugaison de
Newton à la lentille L2 :
2
F2 F '1 .F2 ' F '   f ' 2
On en déduit :
2
f '2
F '2 F '  
f ' 2 e  f '1
On en déduit l’expression de l’encombrement O1 P :
O1 P  O1O2  O2 F ' 2  F ' 2 F '  e  f ' 2 
2
 e. f ' 2  f '1 . f ' 2
f '2
e
 11cm
f ' 2 e  f '1
 e  f '1  f ' 2
2
B.2 On cherche l’expression de h3, hauteur de l’image de la tour Eiffel sur la
pellicule en fonction de f’1 , f’2 , e, d et h :
h3 = h.γ1.γ2
O P
f '2
f'
On a  1   1 et  2  2 
d
Ö2 F '1  e  f '1  f ' 2
1
f '1 . f ' 2 .h
On en déduit : h3  
 32mm
d .(e  f '1  f ' 2 )
B.3
Le téléobjectif ainsi constitué possède un grandissement comparable à celui du
téléobjectif réalisé avec une lentille unique de focale 200 mm. Il possède
cependant l’avantage d’avoir un encombrement réduit : 11 cm contre 20 cm.
0,5
0,5 0,5
Problème 3 : Etude de miroirs sphériques
A. Caractère
sphérique
convergent
ou
divergent
d’un
miroir
A.1 Un miroir convexe est un système optique divergent (il éloigne les rayons de
l’axe optique).
A.2 Un miroir sphérique divergent est modélisé par :
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0,5
0,5
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A
A.3 Le miroir est divergent (figure : principe du rétroviseur)
B.1 Relation de conjugaison de Descartes
B.1.1 Dans le cadre de l’approximation de Gauss, on peut écrire :
HI
HI
HI
tan     
; tan  '   '  
; tan     
SA
SA'
SC
B.1.2 L’application de la seconde loi de Descartes pour la réflexion en I permet
décrire que :
     ' 
On en déduit :    '  2 
B.1.3 Des deux questions précédentes, on déduit que :
1
1
2


SA SA' SC
Et donc k1 = 2.
B.1.4 Les foyers objet et image d’un miroir sont confondus.
SC
f '  SF '  SF  f 
2
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
.
A’
A
I
S
Axe
F’=F
C
J
B’
Par application du théorème de Thales dans les triangles ABF et SJF :
f'
SJ
AB
A' B'

or : SJ  A' B' et : SF  f ' il vient :

SF
FA
AB
FA
Par application du théorème de Thales dans les triangles A’B’F’ et SIF’ :
F ' A'
SI
A' B'
A' B'

or : SI  AB et : SF '  f ' il vient :

f'
SF '
F ' A'
AB
On en déduit :
A' B'
AB

f'
FA

F ' A'
f'
et
C
0,5
B. Relation de conjugaison et grandissement
B.2 Relation de conjugaison de Newton
B.2.1 et B.2.2
B
B
F ' A' . FA  f ' 2
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A
B
C
La relation de conjugaison avec origine au foyer, pour un couple de points
conjugués (A,A’) s’écrit : F ' A' . FA  f ' 2 , appelée relation de conjugaison de
Newton.
B.3 Grandissement
B.3.1 On peut exprimer le grandissement en fonction de SA et SA' :
On applique le théorème de Thales dans les traingles ABS et A’B’S :
A' B'

AB

SA'
0,5
SA
B.3.2 Le raisonnement de la question B.2.2 donne le grandissement :
 
A' B'

f '

F ' A'
f'
et
F ' A' . FA  f ' 2
AB
FA
B.3.3 On peut exprimer le grandissement en fonction de CA et CA' :
0,5
On applique le théorème de Thalès dans les triangles ABC et A’B’C :

A' B'
AB

CA'
CA
0,5
.
C. Système réflecteur : le télescope de Cassegrain
C.1.1 La Lune se trouve à l’infini. L’image de la Lune à travers le miroir M se
forme dans le plan focal image du miroir.
C.1.2 Le diamètre apparent de la lune est donné par
D
  L  9,000.10 3 rad
DTL
C.1.3 On en déduit la taille de l’image A’B’ :
SC
A' B '   .SF   .
2
C.2.1 La Lune se trouve à l’infini. La lumière issue de la Lune se réfléchit sur le
miroir M1 et l’image de la lune à travers le miroir M1 se situe dans le plan focal
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0,5
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image du miroir M1. L’image de la Lune à travers le miroir M1 est virtuelle, située
en arrière du miroir M2 au point F’1.
C.2.2 F’ est l’image d’un point à l’infini sur l’axe à travers les deux miroirs. A
travers le miroir M1, l’image d’un point à l’infini sur l’axe est F’1. F’ est l’image
de F’1 à travers le miroir M2. La position du foyer image F’, de l’association des
miroirs M1 et M2, s’obtient en appliquant la relation de conjugaison de Descartes
au miroir M2 :
1
1
2


S 2 F '1 S 2 F ' S 2 C 2
On en déduit :
R2 .(2d  R1 )
où R1 et R2 sont négatifs.
S2 F' 
2(2d  R1  R2 )
C.2.3 On en déduit le grandissement :
S F'
R2 .(2d  R1 )
  2 
(d  R1 )( 2d  R1  R2 )
S 2 F '1
C.2.4 On en déduit : S 2 F '  30cm et A’’B’’ = 0,675 cm.
C.2.5 Si on utilise une lentille, l’image de la Lune se formera dans le plan focal
image de la lentille :
A' ' B' '
fL 
 75cm

Le montage de Cassegrain est plus compact (30 cm au lieu de 75 cm).
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1
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