TRIGONOMETRIE Sommaire I – Rappels et définitions II – Formules de transformation III – Equations trigonométriques IV – Etudes des fonctions circulaires I - RAPPEL ET DEFINITIONS : Figure : AB AB' AC AC' BC B' C' sin AC AC' BC B' C' tan AB AB' cos 1. Cercle trigonométrique : Une unité de longueur étant choisie, on appelle cercle trigonométrique un cercle centré en un point 0, de rayon 1, et sur lequel on a choisi un point A comme origine pour la mesure des arcs, On lui associe le repère (O; OA; OB) avec OA OB orienté dans le sens direct. On prend l’axe (OA) comme origine de la mesure des angles. Figure : 2. Mesure d’arcs – Mesure d’angles : Prenons un point M du cercle trigonométrique. AM désigne un arc orienté. Le radian est l’arc dont la longueur est égale au rayon. Un angle de 1 radian est un angle au centre qui intercepte un arc de 1 radian. La mesure l de la longueur d’un arc est donnée par l R où R est le rayon et la mesure en radian de l’angle correspondant. 3. Angles de deux vecteurs (OA; OM) désigne un angle orienté des vecteurs OA et OM Figure : C’est aussi l’angle des deux demi-droites de même origine O. 4. Quelques propriétés des angles orientés : Deux angles orientés (OA; OM) et (OA;ON) sont dits opposés si M et N sont symétriques par rapport à la droite (OA) Figure : Relation de Chasles : Soient u et v deux vecteurs Quel que soit w (u; w) (w; v) (u; v) 5. Fonctions circulaires : On considère l’application qui, à tout angle , fait correspondre le point M(x ; y) du cercle trigonométrique tel que (OA; OM) Figure : () M (OA; OM) On a alors OP OP x OM PM sin PM OQ y OM cos OM (cos ) i (sin ) j PM AR tan AR OP OA ( 2) M ( 2k) M cos( 2) cos sin( 2) sin En appliquant le théorème de Pythagore au triangle OPM, on a OM²=OP²+PM² 1 (cos )² (sin )² ou cos2 sin2 1 et 1 sin 1 et 1 cos 1 6. Angles associés : i. Angles opposés : Deux angles et ' sont opposés si leurs images M et M’ par sont symétriques par rapport à l’axe (OA) (on écrit ' ) Figure : On a ii. cos ' cos() cos sin ' sin( ) sin tan tan() tan Angles supplémentaires : et ' sont supplémentaires si ' , donc si ' Figure : cos ' cos( ) cos sin ' sin( ) sin tan ' tan( ) tan iii. Angles complémentaires : et ' sont complémentaires, si ' 2 , donc si ' Figure : cos ' cos( ) sin 2 sin ' sin( ) cos 2 1 tan ' tan( ) cot an 2 tan iv. Angles dont la différence est C'est-à-dire ' ou ' Figure : 2 cos ' cos( ) cos sin ' sin( ) sin tan ' tan( ) tan v. Angles dont la différence est C'est-à-dire ' 2 ou ' 2 2 Figure : cos ' cos( ) sin 2 sin ' sin( ) cos 2 1 tan ' tan( ) 2 tan 7. Angles remarquables : II- FORMULES DE TRANSFORMATION : 1. Formules d’addition : Rappel : Soient u et v deux vecteurs. u.v u . v . cos(u; v) x x' Et si u et v , u.v xx'yy' y y' (OA, OM) a Soit M un point du cercle trigonométrique tel que M(cos a, sin a) cos a OM sin a Considérons les vecteurs OM et ON tel que (OA, OM) a et (OA, ON) b Figure : M(cos a, sin a) N(cos b, sin b) cos a cosb ON OM sin a sin b a b (OM, ON) D’une part , OM.ON OM ON cos(a b) (1) D’autre part, OM.ON cos a cosb sin a sinb (2) Comme OM ON 1 , (1) et (2) donnent cos(a b) cos a cosb sin a sin b , On a donc : cos(a b) cos a cosb sin a sin b cos(a b) cos[a (b)] cos a cos(b) sin a sin( b) d’où cos(a b) cosa cosb sin a sin b 2 Puisque sin cos( ) On a: sin( a b) cos( (a b)) cos[( a) b] cos( a) cosb sin( a) sin b 2 2 2 2 sin a cosb cos a sin b (car sin( a) cos a) 2 sin(a b) sina cos b cos a sinb sin( a b) sin(a (b)) sin a cos(b) sin( b) cos a sin(a b) sin a cos b sin b cos a Calcul de tan(a+b): On suppose que cos(a b) 0 et cos a. cosb 0 tan(a b) sin( a b) sin a cosb sin b cos a cos(a b) cos a cosb sin a sin b Comme cos a. cosb 0 tan(a b) tan[a (b)] tan(a b) tan a tan(b) 1 tan a tan(b) tan a tanb 1 tan a tanb tan(a b) tan[a (b)] tan(a b) tan a tan(b) 1 tan a tan(b) tan a tanb 1 tan a tanb 2. Formules de duplication : cos2a cos(a a) cos a cos a sin a sin a cos²a sin ²a cos2a cos²a sin ²a sin 2a sin(a a) 2 sin a cos a tan2a tan(a a) cos²x sin ²x 1 d’où 2 tan a 1 tan²a cos²x 1 sin ²x et sin ²x 1 cos²x Alors cos2a (1 sin ²a) sin ²a cos2a 1 2 sin ²a cos2a cos²a (1 cos²a) cos 2a 2 cos ²a 1 Expression de cos2a et de sin2a en fonction de tan a : 2 sin a cos a 2 sin a cos a 1 cos²a sin ²a En supposant que cos a 0 2 sin a cos a cos²a sin 2a cos²a sin ²a cos²a sin 2a 2 sin a cos a sin 2a 2 tan a 1 tan²a cos²a sin ²a cos²a sin ²a cos²a cos2a cos²a sin ²a cos ² a sin ²a cos²a sin ²a cos²a 1 tan²a cos2a 1 tan²a sin 2a 2 tan a tan2a cos 2a 1 tan²a Comme sin a Comme 2 tan a sin 2a 1 tan²a 2 tan alors sin a a 2 a 1 tan² 2 et si on pose t tan a 2 2t 1 t² 1 tan²a cos 2a 1 tan²a a 2 alors cos a a 1 tan² 2 1 tan² 1 t² 1 t² 2t tan a 1 t² cos a Remarque : sin ²a cos ²a sin ²a sin ²a cos ²a 1 1 tan²a 1 cos ²a cos ²a cos ²a tan²a 2. Formules de transformation d’un produit en somme : On rappelle que : cos(a b) cos a cos b sin a sin b cos(a b) cos a cos b sin a sin b sin( a b) sin a cos b sin b cos a sin( a b) sin a cos b sin b cos a (1) (2) donne (2) (1) donne (3) (4) (3) (4) cos(a b) cos(a b) 2 cos a cos b cos(a b) cos(a b) 2 sin a sin b sin( a b) sin( a b) 2 sin a cos b sin( a b) sin( A b) 2 sin b cos a 1 [cos(a b) cos(a b)] 2 1 sin a sin b [cos(a b) cos(a b)] 2 1 sin a cosb [sin( a b) sin( a b)] 2 1 sin b cos a [sin( a b) sin( a b)] 2 cos a cosb (1) (2) (3) (4) 3. Formules de transformation d’une somme en produit : Posons p a b et q a b On a a pq pq et b 2 2 (1) et (2) s' ecrit (2) (1) (3) (4) (3) (4) pq pq cos 2 2 pq pq cosp cos q 2 sin sin 2 2 pq pq sin p sin q 2 sin cos 2 2 pq pq sin p sin q 2 cos sin 2 2 cosp cos q 2 cos III. EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES : cos(x 2k) cos x quels que soient x R et k Z sin( x 2k) sin x sin( x ) sin x tan(x ) tan x cos(x ) cos x tan(x ) tan x tan(x k) tan x quel que soit k Z On rappelle que 1. Equation cosx = a, a R Si a 1 , équation n’admet aucune solution Si a 1 , on a une infinité de solution. En effet si est solution, (c'est-à-dire cos a ), est aussi solution (car cos() cos a ) Et comme cos( 2k) cos a quel que soit k Z , 2k est aussi solution, de même que 2k En admettant que ce sont les seules solutions, on a Théorème : cos x cos x 2k ou x 2k (k Z) Cas général : cos f(x) cos g(x) f(x) g(x) 2k ou f(x) g(x) 2k Exemple : résoudre 2cosx-1=0 cos x x 1 cos 2 3 2k ou x 2k 3 3 S 2k , 2k 3 3 Posons (k, k' Z) ) 2 cos(2x ) 3 0 3 3 X cos(2x ) 3 cos²(2x (k Z) X² 2X 3 0 (X 1)(X 3) 0 cos(2x ) 1 ou cos(2x ) 3 3 3 2k 3 k 2x 0 2k x 3 2 6 cos(2k ) 3 n' a pas de solution 3 S k , k Z 6 2. Equation sinx = a : Si a 1 pas de solution Si a 1 on a une infinité de solution Si est solution Comme sin( ) sin , est aussi solution, donc 2k (k Z) aussi En admettant que ce sont les seules solutions on a : Théorème : sin x sin x 2k ou x 2k (k Z) Plus généralement sin f(x) sin g(x) f(x) g(x) 2k ou f(x) g(x) 2k (k Z) Exemples : o 3 4 Résoudre sin(2x ) cos(x ) 2 sin ²x 5 sin x 2 0 sin(2x ) cos(x ) 3 4 cos sin( ) 2 cos(x ) sin( x ) 4 2 4 (1) sin(2x ) sin( x) 3 4 2x x 2k ou 2x x 2k 3 4 3 4 3x 2k ou x 2k 4 3 3 4 7 2k 12 x ou x 2k 3 12 7 2k x ou x 2k 36 3 12 7 2k 13 S , 2k (k Z) 3 12 36 o 2 sin ² x 5sin x 2 0 Posons X sin x 2X ² 5X 2 0 25 16 9 53 1 8 X ' X " 2 4 2 4 1 sin x ou sin x 2 2 1 5 sin x sin x 2k ou x 2k 2 6 6 6 sin x 2 n' a pas de solution 5 S 2k , 2k 6 6 (k Z) 3. Equation acosx+ bsinx=c Posons S a cos x b sin x (a² b² 0) S a a² b² cos x a² b² a or a ² b ² 2 b a ² b ² Le point M a a² b² , sin x a² b² b 2 a² b² 1 a² b² appartient au cercle trigonométrique a² b² b Soit (OA;OM) cos a a² b² sin b a² b² Théorème : Si ² ² 1 , il existe un réel tel que cos et sin S a² b²(cos cos x sin sin x) a cos x b sin x c a² b² cos(x ) a² b² cos(x ) c cos(x ) Exemple : Résoudre cos x sin x 1 c a² b² a 1 b 1 2 1 1 2 cos x sin x 1² (1)² cos x sin x 2 cos x sin x 2 2 2 2 2 sin 2 4 cos x sin x 2 sin( 2 cos 2 4 3 x) 4 3 3 1 2 ) 1 sin( x ) sin 4 4 2 4 2 3 3 3 x 2k x 2k 4 4 4 4 x 2k x 2k 2 2 sin( x S 2k , 2k , k , (k Z) 2 4. Equation tanx = a Théorème : Quel que soit le réel a, l’équation tanx a admet toujours une infinité de solution. Si est solution, k est aussi solution, quel que soit k Z tan x tan x k Exemple : tan x 1 0 tan x 1 tan x 4 k , k Z 4 5. Images des solutions d’une équation : L’image d’une solution d’une équation est le point M du cercle trigonométrique tel que (OA; OM) Si les solutions sont de la forme x 2k n , n3 les images des solutions forment un polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle trigonométrique. Si n = 3, on a un triangle équilatéral Si n = 4, on a un carré, Si n = 5 , ona un pentagone régulier ….. si n = 1, on un seul point si n = 2, on a deux points symétriques par rapport à l’origine du repère 6. Exemples d’inéquation trigonométrique : Exemples : o résoudre 2 cos x 1 0 2 cos x 1 0 cos x cos x 1 2 1 2 l’image de x appartient à l’arc (orienté) MM' S 3 2k , kZ 2k 3 o Résoudre 2 sin x 3 0 sin x 3 2 L’image de x appartient à l’arc (orienté) MM' S 2 3 2k , kZ o 7 2k 3 tanx 3 tan x T y 3 tan x tan 3 3 M S 3 2k kZ , k 2 x IV. ETUDE DES FONCTIONS CIRCULAIRES : 1. Définitions : Soit x R , on considère l’angle x̂ dont la mesure en radian est x. On pose cos x cos x̂ , sin x sin x̂ et tan x sin x cos x lorsqu’elle est définie. On appelle fonction cosinus (respectivement sinus, tangente) l’application qui, à tout réel x, associe cos x (respectivement sin x , tanx) 2. Périodicité : Soit p R et f telle que f(x p) f(x) pour tout x Df On a f(x kp) f(x) quel que soit k Z . Le plus petit réel p strictement positif est la période de f. Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 , et la fonction tangente est périodique de période Remarque : f : x f(x) tan x f(x) n’est pas définie pour x , donc n’est pas définie pour 2 3. Continuité : On montre et on admet que, pour x 0; 2 PM AM AT sin x R.x tan x sin x x tan x x0 2 sin x' x' tan x' Pour on pose x' x sin( x) (x) tan(x) sin x x tan x Donc sin x x tanx quel que soit x , 2 2 Comme 0 sin x x lim 0 lim sin x lim x 0 x 0 donc x 0 x 0 lim sin x 0 sin 0 x 0 lim sin x sin 0 0 x 0 La fonction sinus est continue en 0. g(x) cos x 1 2 sin ² x 2 x 1 continue x x sin continue 2 x x sin ² continue en 0 2 donc g : x 1 2 sin2 x cos x 2 Soit x0 R quelconque est continue en 0 x k 2 k Z Posons f ( x) sin x f est continue en x0 lim f(x) f(x0 ) lim (f(x) f(x0 )) 0 x x 0 x x 0 x x0 x x0 sin 2 2 x x0 x x0 x x0 f(x) f(x0 ) 2 cos sin 2 sin 2 2 2 f(x) f(x0 ) sin x sin x0 2 cos x x0 1 2 car cos lim f(x) f(x0 ) lim 2 sin x x0 x x0 (x x0 ) 2 or sin est continue en 0 lim sin x x0 (x x0 ) 0 2 lim (f(x) f(x0 )) 0 donc f est continue en x0 x x0 Exemple : lim sin x sin x 2 lim x 100 1 2 sin x sin 100 0 La fonction sinus est donc continue sur R Conséquence : o cos x 1 2 sin ² x 2 donc la fonction cosinus est continue sur R o La fonction tangente est le quotient de 2 fonctions continues donc elle est continue 2 sur son domaine de définition R k k Z 4. Dérivabilité : Résultats importants : (limites usuelles) Pour tout x 0; ; 0 sin x x tan x 2 sin x x tan x 1 sin x sin x sin x sin x x 1 sin x 1 1 cos x sin x cos x x sin x lim 1 lim lim cos x x 0 x 0 x x 0 sin x 1 lim 1 x 0 x sin x 1 x 0 x lim On obtient le même résultat pour x ;0 2 cos x 1 x x 0 Calcul de lim cos x 1 lim lim x x 0 x 0 x x sin 2 lim sin x 2 x 2 x 0 2 2 sin ² x cos x 1 0 x x0 lim En appliquant ces résultats, on montre que tan x 1 cos x 1 1 et lim 2 x 0 x x 0 x2 lim Rappel : f est dérivable en x0 si et seulement lim f(x) f(x0 ) x x0 sin( x 0 h) sin( x 0 ) x 0 lim est finie ( lim h0 h f(x0 h) f(x0 ) h0 lim h est finie sin x 0 cos h sin h cos x 0 sin x 0 h0 h cos h 1 sin h lim sin x 0 cos x 0 h h h0 1 cos x0 1 Donc la fonction sinus est dérivable en tout point x0 de R et (sin x0 )' cos x0 cos(x 0 h) cos x 0 cos x 0 cosh sin x 0 sin h cos x 0 cosh 1 sin h lim lim cos lim sin x 0 h h h h h0 h0 h0 La fonction cosinus est dérivable en tout point x0 de R et (cos x0 )' sin x0 Théorème : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et quel que soit x R (cos x)' sin x (sin x)' cos x 2 La fonction tangente est dérivable sur R k k Z car c’est le quotient de 2 fonctions dérivables et ' (sin x)' cos x (cos x)' sin x cos²x sin ²x 1 sin x (tan x)' 1 tan²x cos²x cos²x cos²x cos x (tan x)' 1 1 tan²x cos²x Théorème :(admis) Si u est dérivable sur R, alors x cosu(x) et x sin u(x) sont dérivables et cos u(x)' u' (x) sin u(x) sin u(x)' u' (x) cos u(x) 5. Variation et courbes : f(x)= cosx Df R Périodicité, f est périodique de période 2 . On va faire l’étude sur un intervalle de longueur 2 , par exemple ; Parité : f est paire De 0; lim f(x) 1 x 0 lim f(x) 1 x dérivabilité : f est dérivable sur De et f ' ( x) sin x Tangentes horizontales en (0,1) et ( ,1) Intersection avec l’axe des abscisses : f(x) 0 cos x 0 x 2 Figure : y 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 f(x)= sinx Df R Périodicité, f est périodique de période 2 . Parité : f est impaire De 0; lim f(x) 0 x 0 lim f(x) 0 x dérivabilité : f est dérivable sur De et f ' ( x) cos x Tangentes horizontales en ( ,1) 2 Intersection avec l’axe des abscisses : f(x) 0 sin x 0 x ou x 0 Figure : 4 5 x y 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 f(x)=tanx 2 D f R k k Z f(x) sin( x) sin x f(x) cos(x) cos x f est périodique , De ; 2 2 f est impaire donc on peut encore réduire le domaine d‘étude à De 0; 2 lim f(x) 0 x 0 o lim f(x) donc la droite d’équation x x 2 est une asymptote verticale 2 1 sin x cos x cos x sin ²x cos²x cos²x cos x f est dérivable sur Df et f' (x) (tan x)' f '(0)=1, donc on a une tangente de pente 1 à l'origine Figure : y 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 x