moyenne et dispertion
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TD LA MESURE DES INEGALITES I) LES VALEURS CENTRALES Pour étudier une série statistique ou deux séries entre elles, on peut calculer certains indicateurs qui nous permettent d'analyser, voire de résumer l'information contenue dans ces séries, toutefois se contenter du calcul de certaines valeurs centrales peut engendrer une forte déperdition d'information, voire conduire à des erreurs d'interprétation : - LA MOYENNE ARITHMETIQUE : C'est la plus connue des valeurs centrales , mais se contenter de la calculer pour apprécier l'ampleur d'un phénomène peut être réducteur Ex : un professeur a deux groupes dans une classe sont les notes sont réparties de la façon suivante GROUPE 1 NOTE EFFECTIF 3 3 4 1 5 1 6 1 7 1 GROUPE 2 NOTE EFFECTIF 8 3 9 3 10 2 11 1 12 3 16 2 17 1 19 2 Pour comparer ces deux groupes, le professeur peut faire la moyenne arithmétique des notes, mais on voit bien que dans ce cas même si les moyennes sont identiques, elles ne tiennent pas compte de la dispersion des notes qui est très différente dans les deux groupes. Pour exprimer cette dispersion il peut calculer la médiane qui est la note qui divise l'effectif en deux. Ainsi dans le groupe 1, 6 élèves sur 12 ont moins de ... alors que dans le groupe 2, 50% des élèves ont plus (ou moins ) de ..... Toutefois on voit bien ici que dans le groupe 1 il aurait suffi que l'élève qui a 7 ait 15 pour changer de façon très nette la médiane sans changer de beaucoup la moyenne. II) LES VALEURS DE DISPERSION Pour exprimer la dispersion des valeurs d'une série on peut calculer les valeurs du caractère qui partagent l'effectif total de la série en n groupes égaux, appelés quantiles d'ordre n - les quartiles sont les valeurs de la variable qui permettent de partager l'effectif en 4 il en existe donc 3 quartiles ( Q1, Q2, Q3 ) et quatre intervalles. Ainsi le prof peut présenter ces résultats de la façon suivante. Le premier quart du groupe 1 a une note inférieure à ...le deuxième quart a une note inférieure à .... etc..Le deuxième quartile est égal à la médiane - Les déciles sont les valeurs qui partagent l'effectif en 10 ( il en existe donc 9). On pourra ainsi dire par exemple que 10 % de l'effectif est situé sous le premier décile etc... On calcule parfois le rapport interdécile ( D9 / D1) qui permet d'exprimer le rapport entre les 10 % qui possèdent les valeurs du caractère les plus fortes et les 10 % qui possèdent les plus faibles (ce type de rapport est souvent utilisé pour rendre compte des inégalités salariales ou de revenus) Le cinquième décile est égal à la médiane - L'écart type permet d'exprimer de façon synthétique la dispersion de la série. Il est égal à la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne. Plus il est élevé plus la série est dispersée. moyenne écart type médiane 1er quartile 2eme quartile 3eme quartile groupe 1 groupe 2 Le prof peut alors présenter ses résultats de la façon suivante " Le groupe 1 et 2 ont des moyennes très proches mais les niveaux sont pourtant fort disparates , en effet les notes sont beaucoup plus dispersées dans le groupe 1 puisqu' un quart des élèves ont en dessous de ..., la moitié est en dessous de ...., et que le dernier quart a plus de ..... Dans le groupe 2 les notes vont de .... à ..... la moitié des élèves ayant au dessus de ..... En moyenne, les écarts à la moyenne sont de ....dans le groupe 1 et de .... dans le groupe 2." - La mesure de la pauvreté : on distingue la pauvreté absolue, mesurée par l’évolution du niveau des plus faibles revenus et la pauvreté absolue, l’évolution des revenus des plus pauvres par rapport aux plus riches. Attention dans le principe de Rawls, une inégalité peut être juste par ce qu’elle réduit la pauvreté absolue alors qu’elle peut amener à l’augmentation de la pauvreté relative. Le seuil de pauvreté est alors mesuré comme étant situé en dessous de la moitié du revenu médiant. III) LA MESURE DE LA CONCENTRATION Pour étudier certains phénomènes comme la concentration industrielle ou la concentration des revenus, on peut mesurer cette concentration. Ainsi lorsque un petit nombre d'entreprise réalisent un grand pourcentage du chiffre d'affaires d'un secteur, ou qu'un faible pourcentage d'individus perçoive un % élevé du total des revenus on dira que la concentration des salaires ou des revenus est forte. Pour cela il est nécessaire que l'addition des modalités du caractère est un sens et que le partage de la masse totale du caractère soit possible. Dans notre exemple l'addition des notes détenues ou le partage de l'ensemble des points distribués par certains élèves aurait peu de sens. ENTREPRISE A SALAIRES EFFECTIF 5 000 8 000 10 000 20 000 Entreprise B Salaires 500 300 150 50 6 000 9 000 11 000 15 000 effectif EFFECTI F CUMULE % CUMULE DES EFFECTIFS MASSE SALARIALE MASSE SALARIALE CUMULEE % CUMULES DE LA MASSE SALARIALE effectif cumule % cumulé des effectifs masse salariale Mass sal cumulee % cumulés de la masse salariale 400 300 200 100 Tracez sur un même graphique la courbe de Lorenz, concernant la répartition des salaires dans ces deux entreprises. Dans laquelle les salaires sont ils le plus concentrés ?( Plus la courbe est éloignée de la diagonale, plus la concentration est grande, en effet sur la diagonale il y a équirépartition, 10 % des salariés touchent 10 % de la masse salariale, 20 % touchent 20 %..)
