Division euclidienne et congruences dans Z
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Division euclidienne et congruences dans Z Multiples – Diviseurs Soient a et b deux nombres entiers. On dit que : -a est un multiple de b -a est divisible par b -b est un diviseur de a -b/a (b divise a) ssi il existe un entier k tel que a=bk. a, b, c, k1, k2 sont des entiers. Si a divise b et c, alors a divise b+c, b-c, k1b+k2c (combinaison linéaire de b et c). Division euclidienne Soient a un entier relatif et b un entier naturel non nul, il existe un unique couple d’entiers (q;r) vérifiant a=bq+r et 0 r b . Trouver ce couple (q;r), c’est effectuer la division euclidienne de a par b : q s’appelle le quotient et r le reste. q est définie de la manière suivante : q E a (partie b entière de a divisé par b : c’est à dire le plus grand nombre entier inférieur ou égal à a divisé par b). r est le nombre défini comme suit : r=a-bq. Congruences Définition Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dit que a est congru à b modulo n, et on écrit a b[n] , ssi a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Théorème a b[n] ssi a-b est un multiple de n. Formules Si a a'[n] et b b'[n] , alors : - a b a'b'[n] - ab a'b'[n] - ak a'k [n] (k N) PGCD et PPCM de deux entiers non nuls Le PGCD de deux entiers non nuls a et b est le plus grand des diviseurs communs à a et à b. Le PPCM de deux entiers non nuls a et b est le plus petit des multiples strictement positifs communs à a et à b. Définitions Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le PGCD vaut 1. a et b sont deux entiers non nuls. Si M=ppcm(a;b), D=pgcd(a;b), a=Da’ et b=Db’, alors M=Da’b’=ab’=a’b, MD=ab et pgcd(a’;b’)=1 Les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs du PGCD. Les multiples communs à a et à b sont les multiples du PPCM. Algorithme d’Euclide Soient a et b deux entiers non nuls. La suite des divisions euclidiennes suivantes : a bq1 r1 b r1 q2 r2 r1 r2 q3 r3 … ri3 ri2qi1 ri1 ri2 ri1qi ri s’arrête ; ri 0 et pgcd(a;b)= ri1 . Théorème de Bézout Egalité de Bézout a et b deux entiers relatifs non nuls et pgcd(a;b)=D ; il existe deux entiers relatifs u et v tels que D=au+bv. Théorème de Bézout aZ * , bZ * et pgcd(a;b)=1 ssi il existe uZ et vZ tels que au+bv=1. Méthode pour trouver u et v Il faut d’abord s’assurer que les nombres sont premiers entre eux à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Puis, on remonte l’algorithme d’Euclide à partir du dernier reste non nul Exemple pgcd(37;17)=1 D’après le théorème de Bézout, il existe u et v tels que 37u+17v=1 37 17 2 3 17 35 2 3 211 2 12 0 1 3 21 1 3 (17 35)1 1 63171 1 6 (37 17 2) 171 1637 1317 donc u=6 et v=-13 Théorème de Gauss Si a/bc et pgcd(a;b)=1 alors a/c Corollaires * Si a/c et b/c et pgcd(a;b)=c alors ab/c. * Si pgcd( a;b1 )=1 et pgcd( a;b2 )=1 alors pgcd( a;b1 b2 )=1 L’équation diophantienne ax+by=d (a, b, d connus ; x, y inconnus) Posons pgcd(a;b)=D, l’équation ax+by=d admet au moins une solution ssi d est multiple de D. (Ce qui figure en rouge est la rédaction qui doit apparaître sur toutes les résolutions d’équations de ce type) * Existence des solutions Calcul du pgcd(a;b) Si pgcd(a;b)=1, alors l’équation au+bv=1 admet au moins une solution. * Recherche d’une solution particulière de ax+by=1 (voir Méthode pour trouver u et v) * Recherche d’une solution particulière de ax+by=d x0=d u et y0=d v * Recherche de toutes les solutions de ax+by=d ax+by=1 ssi ax+by-(ax0+by0)=0 ssi a(x-x0)+b(y-y0)=0 ssi a(x-x0)=-b(y-y0) a / b(y y0) donc, d'après le pgcd (a;b) 1 théorème de Gauss, a / y y0 d’où il existe kZ tel que y-y0=ak ; y=ak+y0 d’où a(x-x0)=-b(ak+y0-y0) a(x-x0)=-b ak x=-bk+x0 * Vérification Il faut s’assurer qu’en remplaçant x et y par les valeurs trouvées, on trouve bien d. Les solutions de l’équation ax+by=d sont le couple (x;y) (Attention, il ne s’agit que de la reprise formelle d’un exemple et non d’une méthode de résolution, d’une démonstration, …)
