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ESSI1- AUTOMATIQUE
JEAN-PAUL STROMBONI, AVRIL 1998, TD 7
Utilisation de la Représentation d’état pour
l’étude de l’asservissement de position
1. Pour un processus de positionnement utilisant un moteur à courant continu, on a obtenu les
équations suivantes en négligeant les frottements ainsi que l’inductance d’induit, à couple
résistant nul ;  est la position angulaire,  la vitesse, u et i la tension et le courant d’induit :
0.5
d d

 10u( t )
dt
dt
d
  (t )
dt
i( t )  01
.  ( t )  u( t )
Sachant que la résistance d’induit vaut r  1 , calculer la constante de f.e.m., le moment
d’inertie, et la constante de temps mécanique. En régime permanent, pour une entrée
u( t )  U constante, que valent vitesse de rotation et courant d’induit ?
2. Ecrire les équations d’état de ce processus sous la forme de commande. Préciser le vecteur
X ( t ) choisi. L’entrée est u , on distingue la réalisation  A1, B1, C1, D1 où la sortie est
 ,  A2, B2, C2, D 2 avec deux sorties  et  ,  A3, B3, C3, D3 avec les sorties  ,  ,  . Dans
d’état
la suite, on considère le premier cas.
3. Analyser les équations du processus : équation caractéristique, valeurs propres, fonction de
transfert associée F ( p) , découplage des variables d’état, calcul de l’exponentielle matricielle
e At , calcul de la réponse indicielle à partir de la solution générale de l’équation différentielle.
4. On étudie la mise en œuvre d’un retour d’état :
u(t )  c(t )  KX (t )  c(t )   a b X (t ) , où
c( t ) est un signal de consigne. Réécrire les équations d’état. Calculer le polynôme
caractéristique fonction de a et b . Choisir le retour K pour imposer une valeur propre double
p 0  2 au système bouclé. Indiquer la réalisation parmi les trois précédentes qui permet de
mettre en œuvre directement ce retour d’état. Prévoir la réponse indicielle.
5. On cherche à appliquer la loi de commande proportionnelle u( t )  k ( c( t )   ( t )) plus simple.
Quel est le lieu des valeurs propres pour k  0 ? Régler k pour le régime critique. Comparer ce
système bouclé avec le précédent.
6. Le dispositif réel de positionnement présente un seuil (zone morte), du fait des frottements
« secs », et une saturation de u due à l’alimentation électrique. En pratique, pour  s  u  s ,
  0 ( s
le seuil) et  V  u  V ( V saturation). Le bloc suivant traduit ces particularités:
expliquer sa signification. Indiquer comment se traduisent ces deux non linéarités sur le
comportement de l’asservissement lors d’un essai indiciel. Quel est l’effet du gain k ?

c( t )
+
_
u( t )
uidéal
k
V
-s
-V
s
x  Ax  Bu
y    Cx
