D`une écriture à l`autre

SITE EDUC / MATHEMATIQUES 7-8-9 : COMMENTAIRES METHODOLOGIQUES
Qu’en dire ?
A propos de l’activité
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Objectifs, en lien avec le plan d’études jurassien de mathématiques :
8e – 9e niveaux A et B, 9e niveau C :
Enseigner les mathématiques pour…
… développer des aptitudes à la recherche ;
… développer des aptitudes à l’analyse ;
… développer la logique du raisonnement.
Organisation du travail : activité à traiter de préférence en petits groupes.
Durée du travail : 1 – 2 période(s).
Commentaire méthodologique
Ces assertions permettent de débattre de quelques règles de la logique mathématique, puis, le cas
échéant, de les institutionnaliser :
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Un énoncé mathématique est soit vrai soit faux. Il ne peut être à la fois vrai et faux, comme le pensent
certains élèves. C’est le principe du tiers exclu.
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Un contre-exemple suffit pour invalider un énoncé, règle qui n’est pas admise spontanément par tous.
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En mathématiques, de nombreux exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas à prouver qu’il est
vrai, règle qui est rarement appliquée dans la vie pratique.
a) Le produit de deux nombres est supérieur à leur somme dans une infinité de cas, par exemple lorsque
ces nombres sont tous deux plus grands ou égaux à 2. Mais, dans une infinité de cas également, le
produit est inférieur à la somme. Un seul de ces contre-exemples suffit donc à prouver que la première affirmation est fausse. Un nombre étant donné, la résolution d’une inéquation simple permet de
trouver tous les contre-exemples. Par exemple, avec un des nombres égal à 5, la solution de
l’inéquation 5x ≤ 5+x détermine immédiatement l’ensemble des nombres qui ne satisfont pas aux
conditions de l’énoncé.
b) Les différents essais amènent à penser que cette affirmation est vraie. Il s’agit toutefois d’un problème
ouvert, au sens des mathématiciens : la question de l’existence éventuelle d’un tel nombre n’est en effet pas encore résolue. Ce fait mérite d’être signalé aux élèves.
c) Cette affirmation est vraie. Elle peut être vérifiée sur de nombreux couples de nombres. La justification, quant à elle, passe par exemple :
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par la décomposition des nombres en produit de facteurs premiers : si le PPMC de deux nombres
premiers m et n n’était pas m · n , il serait égal à un diviseur de ce produit. Or, les seuls diviseurs inférieurs à m · n sont 1 , m et n , et ils ne sont pas multiples communs de m et n .
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par l’égalité PGDC(m ; n) · PPMC (m ; n) = m · n : comme m et n sont premiers, leur seul diviseur commun est 1, d’où l’égalité PPMC (m ; n) = m · n
Pour certains d’élèves, il s’agit ici de justifier une évidence, d’où leurs interrogations en regard de cette
démarche.
d) Beaucoup d’élèves affirment dans un premier temps que cet énoncé est vrai, car ils se réfèrent à
l’ensemble des nombres naturels, voire aux rationnels positifs, pour tester sa valeur de vérité. Il est
toutefois faux, car tous les nombres inférieurs ou égaux à –10 ont un carré supérieur ou égal à 100. Il
existe donc une infinité de contre-exemples, mais un seul aurait suffi.
e) 25 est le seul contre-exemple qui permet d’invalider cet énoncé : c’est un carré parfait, et 27 (25+2)
est un cube parfait. Ce résultat est dû à Fermat (1601-1665).