Mouvement des satellites et des planètes

Mouvement des satellites et des planètes.
Introduction.
On appliquera ici la 2ème loi de Newton à l’étude du mouvement de corps astronomiques : les
satellites et les planètes.
I.
Aspect historique : les lois de Kepler.
1. Introduction.
En rassemblant et complétant l’ensemble des observations astronomiques effectuées par les
astronomes jusqu'à son époque, Kepler a réussi, uniquement à partir de données
expérimentales (démarche heuristique), a dégagé trois lois fondamentales régissant le
mouvement des planètes autour du soleil.
Ces lois permettront à Newton quelques décennies plus tard de déterminer l’expression de la
loi de gravitation universelle.
2. Le référentiel héliocentrique.
Le mouvement des planètes du système solaire est étudié dans le référentiel héliocentrique
(« centré sur le soleil »).
Ce référentiel est défini par le centre du soleil et par trois axes dirigés vers des étoiles
lointaines.
Etoile β
Soleil
Etoile γ
Etoile α
Le référentiel héliocentrique est un référentiel galiléen.
3. Les lois de Kepler.
Les lois de Kepler sont énoncées dans le référentiel héliocentrique.
1
3.a. 1ère loi : loi des orbites.
Toutes les planètes ont une orbite elliptique ; le soleil étant situé à l’un des foyers de
cette ellipse.
Eléments mathématiques :
Une ellipse de foyers F1 et F2 est constituée par l’ensemble des points M tels que
F1M + F2M = constante.
M
●
r1
●
F1
r2
●
F2
●
F1
●
F2
r1 + r2 = constante
b
a
a est la longueur du demi grand axe, b est la longueur du demi petit axe.
On a donc la trajectoire :
planète
soleil
3.b. 2ème loi : loi des aires.
Au cours du mouvement d’une planète sur son orbite, l’aire (la surface) balayée par le
segment reliant le soleil à la planète pendant un intervalle de temps Δt donné reste
constante.
2
Δt
Δt
S2
S1
S1 = S2
Il en résulte que la vitesse de la planète est d’autant plus importante qu’elle se trouve
près du Soleil.
3.c. 3ème loi : loi des périodes.
Soit T la période de révolution d’une planète autour du soleil (T est le temps que met la
planète pour faire « un tour complet »), soit a la longueur du demi grand axe de la
trajectoire elliptique de la planète, on constate que le rapport
T2
a
3
a une valeur
identique pour toutes les planètes du système solaire.
On se propose dans la suite de ce cours d’étudier le mouvement des satellites terrestre et des
planètes en utilisant la 2ème loi de Newton et de retrouver ainsi, au moins partiellement, les
lois de Kepler.
II.
Etude du mouvement des satellites terrestres.
1. Le référentiel géocentrique.
Le référentiel terrestre ne peut être considéré comme galiléen dans l’étude du mouvement des
satellites (sinon un satellite géostationnaire, immobile au dessus d’un point de la surface
terrestre, devrait tomber en chute verticale !).
Le référentiel adapté à cette étude est le référentiel géocentrique, qui peut être considéré
comme galiléen lors de l’étude du mouvement des satellites terrestres.
Le référentiel géocentrique est défini par le centre de la terre et par trois axes parallèles à ceux
du référentiel héliocentrique.
Dans le référentiel géocentrique, la terre a un mouvement de rotation autour de son axe
Nord-Sud avec une période de rotation de 24 heures (23 h 56 min).
2. La force de gravitation.
Un satellite terrestre est uniquement soumis à la force d’attraction gravitationnelle de la terre
(on néglige l’attraction du soleil, de la lune et des autres satellites).
3
Si on considère que la terre a une répartition sphérique de masse et que le satellite est de petite
dimension par rapport à la distance qui le sépare du centre de la terre, la loi de gravitation

universelle permet de connaître les caractéristiques de cette force F :
Terre

u
r
-

F
●
Satellite
Point d’application : centre d’inertie du satellite.
Direction : droite centre de la terre – centre d’inertie du satellite
Sens : vers le centre de la terre (attraction)
Intensité :
F=
G m MT
r2
G est la constante de gravitation universelle ; G = 6,67 10-11 SI
m est la masse du satellite
MT la masse de la terre
R la distance du satellite au centre de la terre.

On peut donner une expression vectorielle de cette force en définissant un vecteur unitaire u
orienté du centre de la terre vers le satellite (voir figure) ; on a alors :

G m MT 
F = 
u
r2
Le signe « moins » rappelle le caractère attractif de la force de gravitation.
3. Application de la 2ème loi de Newton.
On applique la 2ème loi de Newton au système {satellite}dans le référentiel géocentrique
considéré comme galiléen ; le satellite étant uniquement soumis à la force d’attraction
terrestre, on a :

G m MT 

m aG = F = 
u
r2
G MT 

Soit : aG = 
relation 1
u
r2
-
L’accélération du satellite est indépendante de sa masse ; le mouvement du satellite
est donc indépendant de sa masse.
4
-

Le vecteur aG est constamment dirigé vers le centre de la terre : l’accélération est
centripète.
Trouver les caractéristiques du mouvement du satellite (équations horaires, trajectoire,…) à
partir de la relation 1 nécessite dans le cas général un traitement mathématique relativement


complexe, le vecteur accélération aG variant à la fois en direction ( u varie) et en norme (r
varie) en fonction du temps (une telle étude permet de retrouver les lois de Kepler).
On s’intéressera uniquement ici au cas particulier important où le mouvement du satellite est
circulaire uniforme, après avoir défini les outils mathématiques bien adapté à l’étude d’un
mouvement circulaire.
4. Etude du mouvement circulaire.
On considère un mobile ponctuel M en mouvement circulaire, sa trajectoire étant un cercle de
centre O et de rayon R.

T

N
●M
Sens du
mouvement
●
O
L’emploi d’un repère orthonormée est généralement mal adapté à l’étude d’un mouvement
circulaire, le vecteur accélération n’étant, dans le cas général, ni constant en direction ni
constant en norme.
On utilise alors un repère lié au mobile M, appelé repère de Frenet.
 

Le repère de Frenet est défini par deux vecteurs unitaire ( T , N ) lié au point M, le vecteur T ,

appelé vecteur tangent, étant tangent au cercle trajectoire au point M et le vecteur N , appelé
vecteur normal, étant dirigé vers le centre O du cercle.


Dans le repère de Frenet le vecteur vitesse s’exprime sous la forme : v = v T , ou v est la
norme du vecteur vitesse.
On montre par ailleurs que le vecteur accélération du mobile M a pour expression :
 dv  v 2 
T +
N
a =
dt
R
5
Si de plus le mouvement est uniforme, la norme v du vecteur vitesse est constante (attention :
le vecteur vitesse n’est pas constant, il change constamment de direction), d’où :
dv
=0
dt
L’accélération du mobile M a alors pour expression :
 v2 
N
a =
R
Par ailleurs si le mouvement du satellite est uniforme, le mobile met toujours le même temps
T, appelé période de révolution, pour effectuer une révolution complète (pour faire un « tour
complet ») ; la distance parcourue étant alors la circonférence du cercle trajectoire et la vitesse
étant constante, on a la relation :
2πR = v T
T=
; soit :
2 R
v
5. Satellite en mouvement circulaire uniforme.
La 2ème loi de Newton a permis d’établir la relation :
G MT 

aG = 
u
r2
Si le mouvement du satellite est circulaire uniforme, on peut écrire, dans le repère de Frenet :

v2 
aG =
N
r
On a donc :
G MT 
v2 
N =
u
r
r2


On remarque par ailleurs que u =  N (voir figure)
Terre

u

T

N
●
Satellite
6
Soit :
G MT 
v2 
N =
N
r
r2
G MT
v2
=
r
r2
On a donc :
; d’où :
G MT
r
v =
On constate que plus le satellite est proche de la terre plus sa vitesse est élevé.
On peut également déterminer la période de révolution du satellite autour de la terre, soit :
T=
2 r
=
v
2 r
G MT
r
=2πr
r
=2π
G MT
r3
G MT
On remarque que plus le satellite est éloigné de la terre, plus sa période de révolution est
importante.
En élevant l’expression précédente au carré, on obtient :
T
2
r3
= 4π
G MT
2
T2
r3
=
42
G MT
; soit :
Relation 2
42
T2
étant indépendant des caractéristiques du satellite, le rapport
a la même
G MT
r3
valeur pour tous les satellites terrestre ; on retrouve ici la 2ème loi de Kepler.
Le terme
Par ailleurs si l’on connaît la période de révolution T d’un satellite en mouvement circulaire
uniforme et sa distance r au centre de la terre, la relation 2 permet de déterminer la masse de
la terre (de façon générale, la masse des corps célestes est déterminée par leurs effets
gravitationnels).
6. Cas des satellites géostationnaires.
Un satellite géostationnaire a un mouvement circulaire uniforme et reste constamment à la
verticale d’un point donné de la terre.
7
Ceci impose que, tout comme la terre, il soit en rotation autour de l’axe Nord-Sud de la terre.
Or le plan de l’orbite d’un satellite contenant toujours le centre de la terre, un satellite
géostationnaire a son orbite dans le plan de l’équateur ; il est en orbite équatoriale.
Il doit par ailleurs tourner dans le même sens que la terre, c'est-à-dire « d’Ouest en Est ».
Enfin sa période de révolution doit être égale à la période de rotation de la terre soit 24 h.
Or cette période vérifie la relation :
T2
r3
r3 =
r= 3
=
42
G MT
on en déduit :
G MT T 2
42
; soit :
G MT T 2
42
Avec G = 6,67 10-11 SI ; MT = 5,98 1024 kg et T = 24 x 3600 s, on détermine :
r= 3
6,67 10 11 x 5,98 10 24 x (24 x 3600) 2
= 4,22 107 m = 42 200 km.
4
Si z est l’altitude du satellite, c'est-à-dire la distance qui le sépare de la surface terrestre, et RT
le rayon terrestre, on a la relation :
r = z + RT ; soit :
2
z = r - RT = 42 200 – 3680 ≈ 36 000 km.
z
RT
r
8
Tous les satellites géostationnaires sont donc sur la même orbite circulaire équatoriale, à
une altitude de 36 000 km.
7. Phénomène d’impesanteur.
On considère un astronaute situé dans une cabine spatiale, celui-ci étant uniquement soumis à
l’attraction terrestre si il n’est pas en contact avec les parois de la cabine, son accélération a
pour expression :
G MT 

aG = 
u
r2
Il a donc la même accélération que la cabine ; de plus il a été lancé dans les mêmes conditions
que la cabine, il a donc le même mouvement que la cabine et n’entre pas en contact avec les
parois ! C’est le phénomène d’impesanteur.
Pour observer ce phénomène à la surface terrestre, il faut soit être a l’intérieur d’un avion
ayant un mouvement parabolique de chute libre (Airbus « zéro G » en vol parabolique), soit
être dans un ascenseur en chute libre vertical !
III. Mouvement des planètes.
1. La force d’attraction.
Si l’on néglige l’action des autres planètes et de tous les autres corps célestes, une planète est

uniquement soumise à l’attraction F du Soleil ayant pour expression :

G MP MS 
F = 
u
r2
MP étant la masse de la planète, MS la masse du soleil, r la distance de la planète au centre du

soleil et u un vecteur unitaire orienté du centre du soleil vers la planète (on suppose que le
soleil a une répartition sphérique de masse et que la planète est ponctuelle, c'est-à-dire que son
rayon est très petit par rapport à sa distance au soleil).
Soleil

u
r

F
●
Planète
L’application de la 2ème loi de Newton à la planète dans le référentiel héliocentrique s’exprime
alors sous la forme :
9

G MP MS 

MP a G = F = 
u
r2
G MS 

Soit : aG = 
u
r2
On démontre alors dans le cas général que la trajectoire est elliptique.
2. Modélisation du mouvement des planètes.
En fait pour la majorité des planètes du système solaire (sauf Mercure et Pluton), la trajectoire
est très proche d’un cercle et l’on peut modéliser le mouvement de la planète par un
mouvement circulaire uniforme.
Tous les calculs effectués pour les satellites terrestres en mouvement circulaire uniforme
sont alors transposables au mouvement de la planète et les expressions obtenues sont
identiques en remplaçant « MT » par « MS ».
On établie notamment que si T est la période de révolution de la planète et si r est le rayon de
sa trajectoire circulaire, on a la relation :
T2
r3
Le rapport
=
T2
3
42
G MS
a donc la même valeur pour toutes les planètes ; on retrouve la 3ème loi de
r
Kepler.
La connaissance de la période de révolution et du rayon de la trajectoire d’une planète
considérée en orbite circulaire permet de déterminer la masse du Soleil.
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