LA TRIGONOMETRIE Situation d`application de la trigonométrie Le

LA TRIGONOMETRIE
Situation d'application de la trigonométrie
Le triangle rectangle
Rappel : triangle rectangle : 1 angle droit (90°) - côté opposé à
l'angle droit : hyothénuse.
ABC triangle rectangle en A : BC Hypothénuse
Les formules trigonométriques
Cosinus (cos)
Sinus (sin)
Tangente (tan) :
Pour un angle donné : A on a :
Je comprends les formules :
Chaque formule prend en compte :
un angle,
et au choix :
le côté adjacent à cet angle
le côté opposé à cet angle
l'hypothénuse du triangle rectangle
Qu'est-ce que cela signifie ?
Que ces trois formules vont me permettre de
calculer soit :


La mesure d'un angle
La mesure de côtés
J'apprends à nommer les côtés d'un triangle par rapport à un angle :
Je viens de voir que dans les 3 formules de trigonométrie, pour un
angle, donné on prend en compte tantôt le côté adjacent à l'angle,
tantôt le côté opposé, tantôt l'hypothénuse du triangle.
Qu'est-ce que le côté adjacent à un angle ?
C'est le côté, autre que l'hypothénuse, qui touche l'angle concerné
Qu'est-ce que le côté opposé à un angle ?
C'est le côté, autre que l'hypothénuse, qui est opposé (en face de) à
l'angle concerné
Qu'est-ce que l'hypothénuse d'un triangle ?
Comme vu + haut, c'est le côté opposé à l'angle droit
ATTENTION : les côtés peuvent changer de "nomination" en fonction de
l'angle concerné, sauf l'hypothénuse
Exemple : soit ABC triangle rectangle en A , comme figure ci-dessous :
Je marque tout de suite l'hypothénuse : je sais que c'est le côté opposé
à l'angle droit, dont BC hypothénuse
Considérons maintenant l'angle B et nommons les côtés du triangle par
rapport à cet angle :
J'ai toujours BC hypothénuse du triangle (ne change jamais)
Je dois nommer le côté AB : je regarde : le côté AB touche l'angle B
: je dirai donc que AB est le côté adjacent à l'angle B
Il me reste à nommer AC : je regarde : le côté AC est en face de
l'angle B : je dirai donc que AC est le côté opposé à l'angle B
Je viens de nommer mes 3 côtés par rapport à l'angle B : BC hypothénuse
- AB côté adjacent et AC côté opposé : j'ai bien les 3 côtés de mon
triangle : je peux appliquer les formules trigonométriques
Prenons maintenant l'angle C : je fais le même travail que tout à
l'heure, je nomme les côtés du triangle par rapport à cet angle :
J'ai toujours BC hypothénuse du triangle (ne change jamais)
Par contre, je vois que AB ne touche pas l'angle C comme il touchait
l'angle B : il est en face de l'angle C : AB devient donc le côté opposé
à l'angle C
Je vois également que le côté AC n'est pas en face de l'angle C comme
il l'était de l'angle B, mais ol touche l'angle C : le côté AC devient
par conséquent le côté adjacent à l'angle C
Je viens de nommer mes 3 côtés par rapport à l'angle C : BC hypothénuse
- AB côté opposé et AC côté adjacent : j'ai bien les 3 côtés de mon
triangle : je peux appliquer les formules trigonométriques.
C'est, je dirais la principale difficulté (et voyez vous elle est
moindre) de la trigonométrie. Nommer les côtés par rapport à un angle
donné, car vous avez pu voir que le nom des côtés varie en fonction de
l'angle considéré.
C'est aussi la condition pour appliquer les formules de trigonométrie.
Une fois que l'angle est déterminé, et que les côtés sont nommés, je
peux les utiliser dans les formules
Quand appliquer les formules de trigonométrie ? Chaque fois que :
1.Je suis en situation de triangle rectangle
2. On me demande de calculer la mesure d'un angle par rapport à la
mesure de 2 côtés
3. On me demande de calculer la mesure d'un côté par rapport à la mesure
d'un autre côté et la mesure d'un angle
J'aurai donc deux énoncés d'exercice types :
1. Pour calculer la mesure d'un angle : on me donnera en échange la
mesure de 2 des côtés pour pouvoir appliquer mes formules de
trigonométrie
2. Pour calculer la mesure d'un côté du triangle : on me donnera alors
en échange la mesure de 1 autre des côtés et la mesure d'un angle pour
pouvoir appliquer mes formules de trigonométrie
Différence fondamentale avec le théorème de Pythagore :
Vous allez me dire que le théorème de Pythagore et les formules de
trigonométrie servent tous deux à calculer la mesure d'un des côtés dans
un triangle rectangle. Alors quelle technique utiliser ? Et bien
simplement, il n'y a pas de confusion possible : en effet :
Pythagore sert à calculer la mesure d'un des côtés par rapport aux deux
autres
Les formules de trigonométrie servent à calculer la mesure d'un des
côtés par rapport à la mesure d'un autre côté et d'un angle
La différence essentielle se tient donc dans la nature des éléments
qu'on me donne en énoncé
Application des formules trigonométriques
Exemple d'exercices :
Pour trouver la mesure d'un angle
On va donc me donner en énoncé la mesure de 2 des côtés :
Enoncé type : Tracer un triangle ABC rectangle en A avec AB = 6cm et BC
= 12cm. Calculer la mesure de l'angle B au degrés près :
Résolution de l'exercice :
1. Je trace la figure en y inscrivant les indications données par
l'énoncé :
2. Cela me permet de voir les éléments dont je dispose :
1. Je suis en situation de triangle rectangle
2. On me donne la mesure de 2 des côtés
3. On me demande de calculer la mesure d'un angle
Bingo : j'ai la mesure de 2 côtés : je cherche celle d'un angle : je
suis en situation parfaite pour l'application d'une des formules de
trigonométrie. La question maintenant est de savoir laquelle ? comment
choisir ? et bien en fonction du nom des côtés dont je possède les
mesures par rapport à mon angle tout simplement.
Je regarde :
Je connais la mesure de BC ; BC =12 : je sais que BC est
l'hypothénuse de mon triangle
Je connais la mesure de AB : que représente AB par rapport à l'angle
B ? C'est le côté qui touche l'angle B; je peux donc dire que AB est le
côté adjacent à mon angle B.
Je ne connais pas la mesure de AC mais en ai-je besoin ? NON.
L'essentiel est de connaître au moins la mesure de 2 des côtés du
triangle ; en effet, les formules de trigonométrie prennent en compte 2
des côtés + 1 angle :
Il ne me reste plus qu'à choisir la formule qui correspond aux éléments
dont je dispose, c'est à dire la formule qui prend en compte
l'hypothénuse du triangle et le côté adjacent de l'angle
Je réécris les 3 formules que je connais par coeur :
Quelle est la formule que je vais utiliser ? Et bien le COSINUS
Méthode de calcul pour trouver la mesure d'un angle
1. j'ai choisi la formule adaptée à mon exercice : je la réecris : pour
un angle A donné on a:
2. Je remplace les termes de ma formule par les termes de mon énoncé :
3. Je remplace les termes de mon énoncé par leur valeur :
Cela tombe bien , je connais 2 valeurs sur les 3 et celle qui me manque
est bien celle que je cherche : l'angle B
4. Je calcule ma formule comme une équation :
= 0,5 donc cos
= 0,5
donc
Le reste se passe à la calculatrice : je taperai 0,5 cos-1 (touche shift
+ cos) : ma calculatrice me donne 60 : ce nombre correspond à la valeur
de l'angle B : je peux écrire : B = 60 °
Remarque : Si ce sont les formules du sinus ou de la tangente qu'il faut
utiliser, la méthode de calcul est exactement la même : la différence
est la touche de calculatrice utilisée : si on fait le sinus on tapera
la touche sin-1 , si c'est la tangente, on tapera tan-1. Et c'est tout !
Facile non ???
Pour trouver la mesure d'un côté
On va donc me donner en énoncé la mesure d'un des côtés du triangle, +
la mesure d'un angle :
Enoncé type : Tracer un triangle ABC rectangle en A avec AB = 4 cm et
angle C = 43°. Calculer la mesure du côté AC, arrondi au millimètre près
:
Résolution de l'exercice : Même procédé que dans l'exercice ci-dessus
1. Je trace la figure en y inscrivant les indications données par
l'énoncé :
2. Cela me permet de voir les éléments dant je dispose :
1. Je suis en situation de triangle rectangle
2. On me donne la mesure d'un des côtés + la mesure d'un angle
3. On me demande de calculer la mesure d'un côté
Bingo : j'ai la mesure d'un des côtés du triangle + la mesure d'un angle
: je cherche celle d'un 2è côté : je suis en situation parfaite pour
l'application d'une des formules de trigonométrie. La question
maintenant est de savoir laquelle ? Comment choisir ? et bien en
fonction du nom du côté dont je possède la mesure et le nom du côté dont
je cherche la mesure par rapport à mon angle tout simplement.
Je regarde :
Je connais la mesure de AB ; AB = 4 : je regarde ce que représente le
côté AB pour l'angle dont on me donne la mesure, c'est à dire l'angle C
: le côté AB est en face de l'angle C : le côté AB est donc opposé à
l'angle C
Je regarde maintenant ce que représente AC, le côté dont je cherche
la mesure, par rapport à mon angle C : le côté AC touche l'angle C, il
est donc adjacent à l'angle C
J'ai un angle et deux côtés nommés : je vais pouvoir choisir la
formule de trigonométrie qui correspond aux éléments dont je dispose,
c'est à dire la formule qui prend en compte le côté adjacent et le côté
opposé à un angle :
Je réécris les 3 formules que je connais par coeur :
Quelle est la formule que je vais utiliser ? Et bien LA TANGENTE
Méthode de calcul pour trouver la mesure d'un côté
1. j'ai choisi la formule adaptée à mon exercice : je la réecris : pour
un angle A donné on a:
2. Je remplace les termes de ma formule par les termes de mon énoncé :
3. Je remplace les termes de mon énoncé par leur valeur :
Cela tombe bien , je connais 2 valeurs sur les 3 et celle qui me manque
est bien celle que je cherche : le côté AC
4. Je calcule ma formule comme une équation :
donc
Encore une fois, c'est la calculatrice qui fait le reste : je tape 4 ÷
tan 43 (touche tan) : ma calculatrice me donne 4,28947..... ce nombre
correspond à la mesure de mon côté AC : je l'arrondis au mm supérieur :
j'écris AC = 4,3 cm
Comme tout à l'heure, ma calculatrice s'adaptera à la formule qui
correspond à mon exercice : si j'ai utilisé le cosinus ou le sinus, la
méthode de calcul sera la même : par contre j'appuierai sur la touche
sin de ma calculatrice, ou sur la touche cos.
ATTENTION à ne pas confondre les touches sin, tan, cos et sin-1, tan-1 et
cos-1 : à retenir :
Les touches sin-1, tan-1 et cos-1 servent quand je cherche la mesure d'un
angle
Les touches sin, tan, cos servent quand je cherche la mesure d'un côté
Le réflexe : Un triangle rectangle + des mesures d'angle et de côtés
donnés ou à chercher = application de l'une des 3 formules de
trigonométrie.
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