Le mouvement rectiligne

LE MOUVEMENT RECTILIGNE
Les mouvements sont dus à des forces.
Dès que l'on parle de mouvement, on parle de position, de déplacement, de vitesse et
d'accélération.
Le déplacement est une variation de position.
Lors d'un mouvement rectiligne, les objets se déplacent en ligne droite ; c'est un
mouvement de translation. Chaque partie du corps se déplace dans la même direction et
ne subit pas de rotation.
I. DEFINITIONS
Le mouvement d'un corps est défini par une équation qui exprime la position x du corps en
fonction du temps.
x = f (t)
Tout mouvement va être décrit par la position du corps, sa vitesse et son accélération.
On distingue 2 types de vitesse : la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.
A. LA VITESSE MOYENNE
La vitesse moyenne se définit en terme de déplacement d'un corps au cours d'un intervalle
de temps donné.
Elle s'exprime par le déplacement divisé par le temps écoulé :
Δx
v =
x2 – x1
=
Δt
t2 – t1
La vitesse moyenne est proportionnelle au déplacement et a la même direction que ce
déplacement.
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Si un corps en mouvement parcourt des distances égales en des temps égaux, sa vitesse
moyenne sera la même quel que soit l'intervalle de temps considéré.
Son mouvement sera dit « uniforme » et sera représenté par une droite.
Quand un mouvement n'est pas uniforme, il est « accéléré ». Dans le cas d'un mouvement
accéléré, la vitesse moyenne dépendra de l'intervalle de temps considéré.
B. LA VITESSE INSTANTANEE
La vitesse instantanée est la vitesse à un instant précis, à t donné. Elle est déterminée par la
vitesse moyenne pour un intervalle de temps extrêmement court.
C'est la limite de la vitesse moyenne quand Δt tend vers 0.
dx
v =
dt
C. L'ACCELERATION MOYENNE
L’accélération moyenne est la variation de vitesse au cours d'un intervalle de temps donné.
Elle s'exprime par la variation de vitesse divisée par l'intervalle de temps.
Δv
a =
v2 – v1
=
Δt
t2 – t1
D. L'ACCELERATION INSTANTANEE
L’accélération instantanée est une accélération à un instant précis, à t donné. Elle est
déterminée par l’accélération moyenne pour un intervalle de temps le plus court possible.
On parle donc de la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
dv
a =
d² x
=
dt
d t²
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II. DETERMINATION DU MOUVEMENT D'UN CORPS
Pour déterminer le mouvement d'un corps, il faut connaître :
- son accélération
- sa vitesse initiale v0
- sa position initiale x0.
Si on prend un corps en mouvement à une vitesse v0, subissant une accélération pendant
un certain temps, on obtient :
Δv = Δt.a
(car a = Δ v / Δ t)
Δ v = v – v0 = Δ t . a
Soit :
v = a t + v0
Interprétation graphique :
L’accélération a est constante pendant Δ t.
Δv
a =
Δt
Δv = a.Δt
Δ v = aire du rectangle
a
a
Δt
t
(v – v0) = a . Δ t
v = v0 + a . Δ t
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v
v1
v2
t
t0
Δt
t2
Δ x = aire du triangle + aire du rectangle.
Δ x = ½ Δv . Δt + v0 . Δt
Δv
Δx = ½ .
. Δt² + v0 . Δt
Δt
Δ x = ½ a . Δt² + v0 . Δt
(équation du second degré)
x
t
Δt
v = a . t . v0
x = ½ a . t² + v0 . t + x0
Δx = x - x0
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Exercice d’application :
Un mobile décrit une trajectoire rectiligne, on donne la représentation graphique de sa
vitesse en fonction du temps ci-dessous.
v (m/s)
5
0
16
28
35
t (s)
a) Calculer son accélération au cours des 3 phases du mouvement.
b) Calculer la distance parcourue par le mobile jusqu’à son arrêt.
a) Calcul de l’accélération :
Δv
a1 =
Δt
5–0
=
16 – 0
5
=
= 0,31 m/s²
16
a2 = 0 car la vitesse est constante.
Δv
a3 =
Δt
0–5
=
= - 0,71 m/s²
35 - 28
b) Calcul de la distance parcourue :
Distance = aire sous la courbe.
Δx = ½ . 5 . 16 + 5 . 12 + ½ . 7 . 5
Δx = 40 + 60 + 17,5
Δx = 117,5 m
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A. LES EQUATIONS DU MOUVEMENT RECTILIGNE
Un mouvement rectiligne est dit « uniformément accéléré » quand l’accélération est
constante.
a = cte
v = a.t + v0
x = ½ a.t² + v0.t + x0
Illustration graphique :
déplacement
a
v
t
t
t
Un mouvement est rectiligne si et seulement si sa vitesse est constante et donc
l’accélération est nulle.
a = 0
v = cte
x = v0.t + x0
Illustration graphique :
déplacement
a
v
t
t
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t
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B. APPLICATION A LA CHUTE DES CORPS
Un corps sans support tombe vers le sol. Sa vitesse au moment de l'impact s'accroît si la
distance de chute augmente. Il est soumis à l'accélération gravitationnelle g.
Deux aspects de l'accélération gravitationnelle influencent le mouvement d'un corps en
chute libre.
Elle est la même pour tous les corps qui tombent quelles que soient leur taille et leur
composition.
Elle est constante et ne varie pas au cours de la chute.
La trajectoire d'un corps qui est en chute libre est verticale. C'est un mouvement
uniformément accéléré d'accélération g.
a = cte = g
v = g.t + v0
x = ½ g.t² + v0.t + x0
x ou h = ½ g . t²
ou
(car a = g)
x ou h = - ½ g . t²
h dépend de l’axe
v = g.t
ou
selon l’axe
v = -g.t
III. LES FROTTEMENTS
Ils constituent une force qui s'oppose toujours au mouvement d'un corps qui se déplace à la
surface d'un autre corps.
Il existe différents types de frottements :
- frottements de roulement
- frottements de glissement
- résistance de l'air
- résistance de l'eau.
Si on a un corps au repos sur une surface horizontale, la force résultante s'exerçant sur ce
corps est nulle.
R
G
P
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On applique une force horizontale F sur ce corps mais il reste au repos. Cela signifie qu'il
y a une force de frottement - F d’intensité au moins égale à F et de sens opposé à F.
fts = - F
R
F
G
P
fts
Si on augmente à nouveau F, l’objet va commencer à glisser. Cela veut dire qu’il existe
une force de frottement statique maximum qui est dépassée (fs).
On veut que l’objet garde une vitesse constante. La force F va être inférieure à celle qui a
dû être appliquée au départ pour le faire commencer à avancer (fc).
Ces 2 forces sont indépendantes de l’aire de contact du corps avec sa surface de glissement
et elles sont aussi proportionnelles à la force de réaction de la surface de glissement (ou
d’action).
Ce qui relie la force de frottement et la force de réaction de la surface est appelé le
coefficient de frottement, μs et μc.
On sait que :
ft = μ . Rs
Le coefficient de frottement va dépendre de la nature de la surface (glace, cailloux, …).
Le coefficient de frottement cinétique μc est pratiquement indépendant de la vitesse.
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Exercice d’application :
Un skieur de 70 kg descend une piste faisant un angle de 30° avec l’horizontale, le
coefficient de frottement entre ses skis et la neige vaut 0,1.
Si on néglige la résistance de l’air, quelle est accélération de ce skieur ?
Rs
fts
α
P
Le skieur étant soumis à la deuxième loi de Newton, on a :
∑F = m.a
P + R + Fts = m . a
Par projection sur l’axe x, on obtient :
P . sin α - Fts = m . a
P . sin α - µ . Rs = m . a
P . sin α - µ . P . cos α = m . a
m . g ( sin α - µ . cos α ) = m . a
a = g ( sin α - µ . cos α )
a = 9,81 (0,9 - 0,1 × √3/2) = 4,06 m/s²
Dans l’air ou dans l’eau, les frottements valent :
fts = k . v² . s
k : constante d’aérodynamisme ou d’hydrodynamisme.
s : surface de frottement.
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