A = B - Free
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En Europe les nombres relatifs apparaissent tardivement, on attribue en général à Simon Stevin (1548 1620) la fameuse règle des signes pour le produit de deux entiers relatifs. D'Alembert (1717 - 1783) luimême dans l'encyclopédie envisage le nombre relatif comme une idée dangereuse. « Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir.(…) Il n'y a donc point réellement et absolument de quantité négative isolée: - 3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée. » (D'Alembert, dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers) I. Vocabulaire Les nombres relatifs sont constitués d’un signe et d’une valeur absolue. Le signe peut être ………………………………. Exemple : -5 a pour signe …………………et pour valeur absolue…………………. +89,5 a pour signe ………………..et pour valeur absolue ……………….. 1 002 a pour signe …………………… et pour valeur absolue ……………… Un nombre peut être : entier naturel, c’est-à-dire qu’il n’a pas de partie décimale, ou plutôt une partie décimale nulle et qu’il est positif (ex : ………………………………………………) L’ensemble des nombres entiers se note …………………. entier relatif (ex : ………………………………………………………………………………………………) L’ensemble des nombres relatifs se note …………………………. décimal : Un nombre décimal est un nombre dont on peut donner une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule. Ex : - 0.25 est décimal car il a deux chiffres derrière la virgule Error! = 0,333333333……n’est pas un nombre décimal car il a un nombre infini de chiffre derrière la virgule. L’ensemble des nombres décimaux se note ……….. rationnel : il peut s’écrire comme quotient de deux nombres entiers relatifs. Ex : -Error! est un nombre rationnel Et il y en a d’autres…. II. l Comparaison des nombres relatifs l P l Z l R l O l 0 l 1 X l l Y l l l Donne l’abscisse des points X, Y, Z, R et P : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les nombres relatifs sont rangés comme les points d’une droite graduée. Classer les abscisses dans l’ordre croissant : ………………………………………………………………………………… Exercice : Comparer les nombres suivants : -5 -3 -5 6 -10 -8 1 1,5 1,55 -2,5 -2,51 III. Addition des nombres relatifs 1) Pour additionner deux nombres relatifs Règle n°1 : Si les nombres relatifs ont le même signe, alors on ………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exemples : ( -5 ) + ( - 41) = ……………………………. ( - 25,5) + ( - 42,8) = ……………………. ( +7) + ( +8,5) = 2.9 + ( + 9.2) = Règle n°2 : Si les nombres relatifs ont le signe contraire, alors on ………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exemples : ( + 3) + ( -15) = …………………………… + 80,9 + ( - 75,4) = ……………………. ( - 42) + ( + 1,5) = ………………….. - 25 + 40 = 2) Pour additionner plusieurs nombres relatifs Il y a 2 méthodes : 1ère méthode : On peut calculer les nombres par deux en partant de la gauche comme ci-dessous : Ex : A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9) A= ………………………………………………… A= …………………………………………………… A= (+3) 2ème méthode : On peut regrouper tous les positifs d’abord puis tous les négatifs : Ex : A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9) A = …………………………………………………………….. A= …………………………………………………….. A= Exercice ; Calculer A = ( - 5) + ( + 8) + ( - 3) + ( - 40) + ( + 2) A = …………………………………………………………………………………… A = …………………………………………………………………………………… A = ……………………………………………………………………………………. IV. Soustraction des nombres relatifs 2 On range les nombres positifs puis les négatifs On ajoute les positifs entre eux et les négatifs entre eux 1) Vocabulaire : l’opposé d’un nombre Définition : Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0 Exemples : L’opposé de + 3 est …………………… L’opposé de – 25 est …………………………. L’opposé de – 100,25 est ……………………. L’opposé de 54 est …………………….. 2) Soustraction de deux nombres relatifs C’est le plus souvent au mathématicien indien Brahmagupta (598 ; 660) que l’on attribue la découverte des «nombres» négatifs. Sans justification, il donne des règles de calcul permettant d’expliciter des débits dans les comptes. « Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. » « Une dette de 100€ retranchée du néant devient un bien »se traduit mathématiquement par : 0 – ( - 100) = …………………… « Un bien de 50€ retranché du néant devient une dette » se traduit mathématiquement par : 0 – ( + 50) = ……………………… Quelle règle mathématique peut-on énoncer pour la soustraction ? Règle : Soustraire un nombre revient à ………………………………………………………………………………………………………………………. Exemples : ( - 6) – ( - 4) = ( + 3) – ( +8) = V. ( + 6) – ( + 5) = 17 – ( - 20) = Simplification d’écritures Règle de suppression de parenthèses Quand deux + se touchent, on remplace par …………….. : ……………………………………………………………………………………… Quand deux - se touchent, on remplace par ……………… : ……………………………………………………………………………………. Quand deux signes contraires se touchent, on remplace par ………………. : …………………………………………………….. Exemples : -4–8= 2–9= 18 – 4 = 4 – 18 = - 7 – 20 = 7 + 20 = 15 – 9 = 9 – 15 = 1/ Indique le signe sans calculer (noter + où - après la flèche ). 2/ Effectue chacun des calculs cidessous. 3/ Simplifie les écritures en appliquant la règle des signes (ne pas faire le calcul). 12 + 3 2–8 = (-7) + (-5) = -3 – 1 -9 + 3 = (-1) – (+2) = -13 + 7 -3 + 11 = (+7) + (-3) = -3 + 17 -7 – 5 = (-5) – (-12) = 7 – 11 -3 + 3 = (+11) – (+5) = 11 – 7 -7 – 7 = (+2) – (-5) = Une Somme algébrique est une suite …………………………………… et de ………………………………………… 3 On supprime les parenthèses A = 10 – 2,3 + 4,6 + 9,2 – (-3,7) + (-4,6) B = 7 - 12 + 4 – 8 – (-6) A= B= A= B= A= B= A= B= On range les nombres relatifs VI. Distance entre deux points Place sur la droite graduée, les points : A(2) , B(4) , C(-1) et D (-4,5). Détermine sur le graphique les longueurs AB, AC, BC, et CD. | | | | | | O | | | | | Détermine par un calcul les longueurs AB, AC, BC, et CD. AB = AC = BC = CD = VII. Multiplication des nombres relatifs 1) Produit de deux nombres relatifs Les Les Les Les amis de mes amis sont mes ……………………………………………………………………………………………………………………….. ennemis de mes ennemis sont mes …………………………………………………………………………………………………………… amis de mes ennemis sont mes ………………………………………………………………………………………………………………… ennemis de mes amis sont mes ……………………………………………………………………………………………………………….. Règle des signes : Le produit de deux nombres ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. Le produit de deux nombres de ………………………………………………………………………………………………………………………………………. Exemples : ( +4) × ( - 5) = 2 × ( - 10) = ( - 12) × ( - 3) = ( - 0,5) × ( + 46) = 2) Produit de plusieurs nombres relatifs 4 Règle des signes Si dans un produit il y a un nombre pair de facteurs négatifs alors le produit est ……………………… Si dans un produit il y a un nombre impair de facteurs négatifs alors le produit est ……………………… Exemples : ( +5) (+3) (-4) le nombre de négatifs est ………………, donc le résultat est……………………. (-8) (+1) (+8) ( -25) le nombre de négatifs est ………………, donc le résultat est………………………. Exercices : (-8)x(+2)x(-5) = (-5) x (-0,1) x 7 = VIII. 3 x (-6) x (-0,5) x 4 = (-9)x1x(-1)x(-3) = Division des nombres relatifs Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est ……………………… Le quotient d’un nombre relatif positif et d’un nombre relatif négatif est ………………… -8 4 = Error! = -5 (-2) = Error! = Error! = IX. Les priorités 1) S’il n’y a pas de parenthèses On effectue d’abord les …………………………………………………..… et les …………………………………….……… puis on effectue …………………………………..……………………………………………………………… Exemple : C = - 4 + 6 (-2) – 36 (-4) + 10 C = ………………………………………………………… C = ………………………………………………………….. C = …………………………………………………………………… 2) S’il y a des parenthèses, On effectue d’abord les calculs à l’intérieur des parenthèses. Exemple : D = 2 – ( 5 – 0,5 x 8) x ( - 2 – 3) – 10 D = …………………………………………………………………………………… D = ………………………………………………………………………………….. D = …………………………………………………………………………………. 5 On effectue les ……….…………………………………Puis ………………………………
