Épreuves écrites du CAPES – Notions abordées Année Première
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Épreuves écrites du CAPES – Notions abordées Année Première épreuve Deuxième épreuve 2005 Entiers, polynômes de Z[X]. Sous-groupes discrets de R. Borne inférieure, densité. Irrationnalité. Suites convergentes. Fonctions polynomiales. Développements limités. Equation différentielle linéaire d'ordre 2, dérivée logarithmique, équation de Bessel. Série entière solution d'une équation différentielle, fonctions de Bessel. Intégrale dépendant d'un paramètre. Courbes planes paramétrées, équations cartésienne et polaire. Théorème de Thalès. Hyperbole, parabole, propriétés géométriques, axes de symétrie. Puissance d'un point par rapport à un cercle. Transformée de Descartes d'une courbe. Fonctions polynômes en deux variables. 2004 Construction de l'exponentielle. Inégalités de Bernoulli et de Cauchy, récurrence. Moyennes arithmétique et géométrique. Dérivées logarithmiques. Fonctions convexes. Suites monotones et convergentes. Suites de fonctions, convergence uniforme. Suites de complexes. Equations différentielles. Intégrale. Image d'une partition par une bijection. Rotations vectorielles en dimension 3, demi-tours. Condition pour que deux rotations commutent, sous-groupe engendré par deux rotations. Expression matricielle, matrices congruentes. Ensemble dénombrable. Morphisme de groupe, relation d'équivalence. Ensembles paradoxaux. 2003 Opérateurs linéaires positifs. Polynômes de Bernstein, polynomes trigonométriques, convolution. Séries de Fourier. Convergence uniforme. Théorème de Weierstrass. Théorèmes de Korovkin. Continuité uniforme. Evénements indépendants et mutuellement indépendants, calcul de probabilités. Décomposition en facteurs premiers, division euclidienne, pgcd, fonction indicatrice d'Euler. Z/nZ[X]. Ordre d'un élément dans un groupe, générateurs de (Z/nZ)* . Nombres pseudo-premiers forts, congruences, algorithme. Nombres de Carmichael, test de Miller-Rabin. 2002 Equation fonctionnelle. Espace vectoriel. Equation différentielle linéaire. Théorème des accroissements finis, dérivées successives, Taylor-Young, DSE. Boule unité fermée de Rn. Intégrale fonction de sa borne supérieure. Série de fonctions. Dérivabilité d’un prolongement. Polynômes de Lagrange. Anneau commutatif, sous-anneau. Système linéaire. Décomposition en produit d’irréductibles. Arithmétique, division euclidienne, congruence, valuation p-adique. Espace vectoriel, bases. 2001 Equation fonctionnelle, continuité, caractérisation des fonctions exponentielles. Intégrale double, continuité d’une fonction de deux variables. Convolution de fonctions continues, l.c.i. Intégrale généralisée. V.a. de loi exponentielle (sans mémoire), fonction de répartition. Probabilité conditionnelle, loi de Poisson, comportement asymptotique. Suites et sous-suites. Densité. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2, suite de Fibonacci. Calcul matriciel, déterminant, récurrence. Arithmétique, équations diophantiennes (Pell-Fermat), diviseurs, pgcd. Algorithme. Représentation de Fibonacci d’un entier. 2000 Polynômes de Legendre et de Laguerre. Produit scalaire, orthogonalité, orthonormalisation. Suites de fonctions, convergence au sens de normes. Théorème de Stone-Weierstrass. Interpolations de Lagrange et Hermite. Quadrature de Gauss. Valeurs intermédiaires. Intégrale généralisée dépendant d’un paramètre. Groupes de permutations. Déterminant, aire, volume. Produit vectoriel et mixte. Approximation d’un zéro, Taylor-Lagrange. Forme quadratique. Géométrie dans l’espace, tétraèdre, perpendiculaire commune. Isométries conservant un tétraèdre, expression matricielle de réflexions et de rotations. Valeurs propres, polynôme caractéristique. Coordonnées sphériques. Lignes de niveau. Expérience aléatoire. 1999 Polynômes, fonctions symétriques élémentaires, racines réelles, multiplicité. Polynôme de Newton. Matrices magiques, espaces vectoriels, groupe opérant sur un ensemble, groupes isomorphes, groupes de permutations. Congruence, Z/nZ. 1998 Suites récurrentes. Points fixes attractifs, fonctions contractantes. Formule de Taylor. Vitesse de convergence. Suites de Héron. Adjoint d’un endomorphisme, endomorphisme symétrique. Coordonnées barycentriques. Points isogonaux relativement à un triangle. Angles. Affixes. Décomposition en éléments simples. Déterminant. Droites concourantes, produit scalaire. Réflexions, compositions. Ellipse. 1997 Séries de fonctions, convergence normale. Développement asymptotique. Constante d’Euler. Calcul approché, méthode des trapèzes. Notations de Landau. Séries numériques convergentes. Développement limité. Trigonométrie hyperbolique. Développement en série de Fourier. Angles, bissectrices. Triangle inscrit dans une hyperbole équilatère. Affixe, racines de l’unité. Relations coefficients-racines d’un polynôme, élimination. Système linéaire. Lieu géométrique. Isobarycentre. Centre de courbure. Tangente (définition géométrique). 1996 Problème de Dirichlet. Equations différentielles, majoration des solutions, variation des constantes, changements de variable et de fonction. Fonctions hyperboliques. Solutions DES, convergence uniforme. Cauchy-Lipschitz. Fonction réciproque. (*) Distance, frontière, intérieur. Coordonnées barycentriques. Mesures d’angles. Lieux géométriques. Coniques, foyer, directrice, excentricité. 1995 Moyenne arithmético-géométrique. Dérivabilité. Intégrales généralisées. Changement de variable. Intégrales dépendant d’un paramètre, convergence uniforme, théorème de dérivation. Suites convergeant vers (Salamin). Vitesse de convergence. (*) Matrices symétriques réelles, formes quadratiques, valeurs propres, coniques. Compacité. Décomposition de Choleski S = tT T (T triangulaire inversible). Déterminant. Algorithme de décomposition. 1994 Affixes, Z[i]. Relations dans le triangle. Borne inférieure. Suites de complexes, suites extraites. Relation d’équivalence, quotient. Théorème des gendarmes, équivalent. Rayon minimum des disques du plan contenant k points à coordonnées entières. Rationnalité. Majoration, minoration. Relations coefficients-racines. Complexes et angles. Transformations du plan. Angles orientés de couples de droite. Points cocycliques, interprétation complexe. Puissance d’un point par rapport à une conique, excentricité, foyer, ellipse, parabole, hyperbole. Mesure algébrique. Ligne de niveau. Nombres complexes de module 1. 1993 Intégrale généralisée, majorations, intégration par parties, changement de variable. Décomposition en éléments simples. Intégrale dépendant d’un paramètre. Série de fonctions, dérivation, convergence normale. Equation différentielle. Suite d’endomorphismes. Gerbes de droites concourantes. Isométries de l’espace, produit scalaire, angles orientés, cosinus. Etude de fonction. Affixe, cosinus. Théorème de la base incomplète. Matrice symétriques réelles, automorphismes orthogonaux. Groupes des complexes de module 1 et des rotations d’axe donné. 1992 Etudes de fonctions et de signes. Irrationnalité. Zéros d’une fonction, calcul approché, suites récurrentes. Ensembles dénombrables, borne supérieure. Suites extraites (Bolzano-Weierstrass). Cotangente. Comparaison série-intégrale. Racines rationnelles d’un polynôme. Polygone régulier, isobarycentre, rotations. Lignes de niveau, hyperboles. Ensembles à distances entières (réseau). Changement de ROND, droites orthogonales. Résolution d’équations dans Z[i], systèmes de congruences. Relation d’équivalence. (*) 1991 Taylor-Lagrange, dérivabilité. Majorations. Equation différentielle. Intégrale généralisée, convergence, intégration par parties, Cauchy-Schwarz. Taylor avec reste intégral. DES. Suites de fonctions. Intégrale fonction de sa borne supérieure. (*) Etude d’une suite récurrente. Produit scalaire, orientation du plan. Rotations vectorielles, composées de réflexions, angle. Ordre. Sous groupe du groupe des isométries vectorielles. Groupe linéaire, sous-groupe engendré. Diagonalisation. Forme bilinéaire symétrique. b.o.n. 1990 Espace préhilbertien, forme et matrice hermitiennes. Algorithme. Calcul de déterminant. Endomorphisme auto-adjoint, spectre. Espace complet. Endomorphisme continu. Convergence normale d’une série, série numérique. Cauchy-Schwarz. Affixe, transformations complexes. Décomposition en éléments simples. Isobarycentre. Ellipse, foyer. Polygône régulier. Similitude directe. Endomorphisme symétrique, diagonalisation. Surface. Projection orthogonale d’un cercle. Ellipse de Steiner d’un triangle. 1989 Opérateur et polynôme de Legendre. Diagonalisation. Dérivées successives. Produit scalaire, orthogonalité. Distance à un sous espace. Intégration par parties, Cauchy-Schwarz. Equation différentielle développement en série de polynômes. Séries de fonction, convergence en moyenne quadratique. (*) Dérivées successives. Décomposition en éléments simples. Développement en séries entières. Division suivant les puissances croissantes. Matrices nilpotentes, base. Résolution matricielle d’une équation fonctionnelle. Marche aléatoire, loi d’un couple, probabilité conditionnelle. 1988 Séries convergentes. Approximation de la constante d’Euler. Intégrale fonction de sa borne supérieure, intégrale généralisée. Convergence uniforme d’une suite de fonctions, intégrale généralisée dépendant d’un paramètre. Séries téléscopiques. Accélération de la convergence. Développement en série entières, rayon de convergence. Isobarycentre. Affixe, similitudes. Polygône régulier. Endomorphisme diagonalisable. Homothétie. Composée de symétries centrales. Divisibilité de polynômes, Bezout. Produit hermitien, base orthonormée. Expression complexe d’application affines. 1987 Sous-algèbre. Formule de Leibniz. Convergence absolue d’une intégrale, intégrale généralisée fonction de sa borne inférieure. Pôles d’une fraction rationnelle, complexes. Développements en série de Fourier, coefficients de Fourier. Endomorphisme, noyau, valeurs propres. Séries de fonctions, convergence absolue et normale. Encadrement du reste d’une série alternée, accélération de la convergence. Algorithme. Complexes, affixes. Polygone régulier convexe, rotations. Calcul des coefficients d'un polynôme en fonction de ses valeurs sur les racines de l'unité. Sous groupes de R de la forme aZ. Borne supérieure d'une fonction continue. Majorations, minorations. Maximum de la somme de n nombres complexes. 1986 Convolution des fonctions continues périodiques, coefficients de Fourier. Projecteur orthogonal, bon. Convergence normale, développements en série de Fourier. Norme d’un endomorphisme continu. Prolongement par continuité, borne supérieure. Approximation uniforme des fonctions continues et des fonctions lipschitziennes par les méthodes de Fejer et Jackson. Intégrale généralisée. Majorations optimales. Dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre. Distance à une partie, points d’attraction. Lignes de niveau, fonctions lipschitziennes. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Topologie, borne inférieure, fermé, ouvert, intérieur, compacité. Parties convexes. Isométries affines du plan. Fonctions continues. Fonctions injectives. Homéomorphismes. 1985 Equation différentielle linéaire du premier ordre. Opérateur linéaire. Comportement asymptotique. Exponentielle complexe, fonctions puissances. Fonction négligeable devant une autre. Norme infinie. Inégalité optimale. Intégrale absolument convergente. Convergence uniforme d’une suite de fonctions. Transformations affines et vectorielles, image d’un parallélogramme. Similitudes directes et indirectes. Affinités orthogonales, composées, points fixes. Décomposition d’un endomorphisme en somme de similitudes. Rotation, conjugaison. Somme directe. Réflexions, polynôme caractéristique. Endomorphisme symétrique. Homothétie. Décomposition d’une transformation en produit d’affinités orthogonales. 1984 Etudes complètes de fonctions. Equation différentielle linéaire. S.e.v. Intégrale fonction de sa borne supérieure. Convergence absolue d’une intégrale. Majorations, borne d’une fonction continue. Formule de Leibniz. Dérivabilité, prolongement. Solutions d’une équation différentielle développable en série entière. Quaternions. Espace vectoriel euclidien orienté, produits scalaire et vectoriel. Bond. Structures de groupe et de corps. Sous-groupes distingués, groupe simple. Norme euclidienne. Rotations. Morphisme de groupe, noyau, morphisme de corps. Transformations et matrices orthogonales directes. Groupes produits, liste des sous-groupes distingués. 1983 Convergence et calcul d’une intégrale généralisée. Noyau de Dirichlet. Développement en série entière. Intégration par parties, majorations. Intégrabilité au sens de Riemann, sommes de Riemann. Comparaison série-intégrale. Etude et intégration d’une série de fonctions, convergences. Majoration du reste. Bornes inférieures et supérieures. Intégrale fonction de sa borne supérieure. Géométrie plane euclidienne, roues de diamètre 1. Etudes de fonctions, prolongements. Intérieur, frontière, fermé, convexité. Distance entre deux droites parallèles. Tangente à une demi-ellipse, représentation paramétrique. Centre de courbure.
