Fonctions généralités Fiches lecture graphique QCM p.116 Ex 6 p.138 I. Généralités sur les fonctions (Rappels) 1) Définitions Soit A une partie de Ë. f est une fonction numérique définie de A dans Ë si, à tout réel x de A, on associe au plus un réel y, noté f(x). On note : f :A Ë x f(x) x est la variable f(x) est l’image de x par la fonction f. L’ensemble de définition d’une fonction numérique est l’ensemble des réels qui ont une image par f. x est un antécédent de y par f si x appartient à A et si y = f(x). 2) Exemple On considère la fonction f : Ë Ë x Error! Le réel –Error! n’a pas d’image par f, car il annule le dénominateur. Df = Ë\{ - Error!} f(3) = Error! 3 a pour image Error!. 3 est l’antécédent de Error!. (Une fonction peut avoir plusieurs antécédents) 3) Représentation graphique Le plan étant muni d’un repère (O,Error!,Error!), on appelle courbe représentative C ( ou représentation graphique) de la fonction f, l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x)) où x appartient à l’ensemble de définition de f. On dit aussi que la courbe C a pour équation y = f(x) dans le repère (O,Error!,Error!) Exemple : 1 http://playmaths.free.fr II. Sens de variation d’une fonction (Rappels) 1) Définitions Une fonction f est croissante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2 alors f(x1) < f(x2). On dit que la fonction conserve le sens des inégalités. On note : x1 x2 x f(x2) f f(x1) Une fonction f est décroissante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2 alors f(x1) > f(x2). On dit que la fonction inverse le sens des inégalités. On note : x x1 f(x1) x2 f f(x2) Une fonction f est constante sur I, si quels que soient les réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2 alors f(x1) = f(x2) = k. On note : x1 x2 x f k k Les tableaux sont des tableaux de variations. Une fonction f est monotone sur un intervalle I, si f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. 2) Extremum d’une fonction La fonction f admet un maximum f(a) en a sur l’intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) ≤ f(a). La fonction f admet un minimum f(b) en b sur l’intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) ≥ f(b). 2 http://playmaths.free.fr III. Fonctions affines Définition : Les fonctions affines sont les fonctions définies sur Ë par f(x) = ax + b. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite de coefficient directeur a. Variation d’une fonction affine : Sa courbe représentative est la droite d’équation y = ax+b. Si a > 0, la fonction affine est croissante sur Ë. Si a = 0, la fonction affine est constante sur Ë. Si a < 0, la fonction affine est décroissante sur Ë. Cas particulier : b=0 f(x) = ax fonction linéaire. Représentation graphique de f est une droite passant par l’origine. IV. Fonction carrée Deux cas : f(x) = x² x 1 f = Ë O 1 f (x) Si a < b 0 alors a² ≥ b² Si 0 a < b alors a² ≤ b² parabole Rque : L’axe des ordonnées est un axe de symétrie de la parabole Pour tout réel x, f( - x ) = f( x ) V. Fonction cube 3 f(x) = x f = Ë 1 O Pour a et b quelconques, x 1 f (x) si a < b alors a3 ≤ b3 Rque : La représentation graphique de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère O. Pour tout réel x, on a f( -x) = - f(x). 3 http://playmaths.free.fr VI. Fonction inverse f(x) = Error! Deux cas : Si a < b 0 alors Error! ≥ 1 O 1 x Error! f (x) f = Error! Si 0 a < b alors Error! ≥ hyperbole Error! Rque : La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère O. Pour tout réel x, on a f( -x) = - f(x). VII. Fonction racine carrée f( x ) = x f = Error! O Pour a et b positifs : x 1 1 Si 0 a < b alors f (x) a≤ b VIII. Applications 3 lorsque x ☻ [-3 ; -1]. x 2 2) Donner un encadrement de 2(x 5)² 3 lorsque x ☻ [2 ; 10]. 1) Donner un encadrement de 2 Ex 6-8-9-11-12-14-15-20 p.138 4 http://playmaths.free.fr