Examen 2012

Institut d'Optique, 2° année et M1
François BALEMBOIS
Examen de Lasers 11/12/2012
Examen de laser
Durée : 3 heures
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Exercice 1 : Absorbant pour lunettes de sécurité laser
On considère un système à 2 niveaux dont la transition est à 1064 nm. Son temps de vie du
niveau du haut est de 100 ns et sa section efficace vaut = 10-16 cm2.
On utilise ce système comme dopant d'un plastique conçu pour des lunettes de sécurité laser.
L'épaisseur du plastique est d = 1 mm. Le dopage du plastique est de nt=7.1017atomes par cm3.
1) Le plastique des lunettes de sécurité laser est éclairé par un laser continu émettant une
puissance de 1 W à une longueur d'onde  = 1064 nm. Le faisceau a un rayon transverse de
r = 1 mm (on suppose un profil transverse rectangulaire). Le faisceau laser est perpendiculaire aux
lunettes si bien que l'épaisseur traversée par le laser est d = 1 mm. Son axe de propagation est
noté z.
1.1) Comparer l'intensité incidente I avec l'intensité de saturation Is du système à 2 niveaux.
1.2) En utilisant l'équation différentielle portant sur l'évolution de l'intensité du laser le long de l'axe
z, calculer la puissance transmise par les lunettes.
Le seuil de dommage pour l'oeil est de 1 mW en continu. L'utilisateur est-il protégé?
2) Cette fois, l'utilisateur travaille avec un laser en régime déclenché. Sa puissance moyenne est
Pav=1 W. Le laser produit des impulsions de durée égale à 10 ns (profil temporel rectangulaire) à
une fréquence de 10 kHz. Comme précédemment, le faisceau a un rayon transverse de r = 1 mm
(on suppose un profil transverse rectangulaire) et la longueur d'onde est  = 1064 nm.
Dans cette question, on suppose que le système à 2 niveaux atteint immédiatement son état
stationnaire, dès qu'il est éclairé par le laser déclenché.
2.1) L'utilisateur n'est pas averti des effets de saturation de l'absorption. Il pense que la
transmission des lunettes est la même en régime continu et en régime impulsionnel. Calculer
l'énergie des impulsions transmises par les lunettes en faisant le même calcul que l'utilisateur.
2.2) Le seuil de dommage pour l'oeil dans ce régime impulsionnel est de 5.10-2J/m2. Est-ce que
l'utilisateur se sent protégé?
2.3) Comparer l'intensité incidente I avec l'intensité de saturation Is du système à 2 niveaux.
2.4) L'absorption est-elle saturée?
2.5) La transmission des lunettes est notée T. Donner l'expression de T
2.6) Donner la valeur numérique de T
2.7) L'utilisateur est-il réellement protégé?
3) Approche physique : transmission des lunettes en fonction du temps : T(t)
On considère dans cette question que le laser déclenché de la question 2 éclaire les lunettes.
3.1) Donner l'expresion de la dérivé de n2 en fonction du temps : dn2/dt.
3.2) En utilisant le fait que n1+n2=nt, donner l'expression de n2(t) pendant l'impulsion laser.
3.3) Tracer sur le même graphique n1(t)/nt et n2(t)/nt pour des valeurs de t comprises entre 0 et
10 ns (ce qui correspond à la durée de l'impulsion laser).
3.4) Sans calcul, donner la forme de T(t) pour des valeurs de t comprises entre 0 et 10 ns.
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Exercice 2 : Cavité laser
Le but de cet exercice est de trouver une cavité stable telle que son mode propre gaussien ait la
plus grande taille possible au niveau du waist w0 et que la cavité soit la plus courte possible. La
cavité a deux mirroirs. La longueur d'onde du laser est  = 1 µm.
1) On considère 3 types de cavités : une cavité plan-concave, une cavité bi-concave et une cavité
convexe-concave. On suppose que l'onde propre gaussienne des cavités considérées a un rayon
transverse dans le plan du waist, w0, qui est fixé. Quelle est la cavité la plus courte pour une même
valeur de w0 (justifier vos réponses par 3 schémas)?
2) La cavité possède un miroir concave de rayon de courbure R = 1 m. Quelle est la plus grande
valeur de w0 possible? (donner la valeur numérique).
3) On considère une cavité convexe-concave avec deux miroirs M1 et M2 ayant des rayons de
courbure de -R et R. La cavité est représentée sur la figure 1. z1 et z2 sont les coordonnées des
miroirs M1 and M2 par rapport à la position du plan de waist de l'onde propre gaussienne. L est la
longueur de la cavité. La distance de Rayleigh de l'onde propre est noté zr.
Plan du waist M1 0 L M2 z1 ‐R z2 R Figure 1: cavité convexe-concave.
3.1) Quel est le rayon de courbure de l'onde propre au niveau des deux miroirs?
3.2) Donner l'expression de z1 et z2 en fonction de R et zr.
3.3) On suppose que w0 est très proche de sa valeur maximale. Ainsi on choisit d'exprimer la
distance de Rayleigh de l'onde propre sous la forme zr=(1-).R/2,  étant un nombre très petit par
rapport à 1.
Donner l'expression de la longueur de la cavité L en fonction R et .
3.4) =0.005. Donner la valeur numérique de L.
3.5) Quelle est la longueur d'une cavité plan-concave ayant le même w0? (donner la valeur
numérique)
3.6) Donner des raisons de choisir une cavité courte pour un oscillateur laser.
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Problème : le Nd:YAG à 1064 nm : un laser à 4 niveaux?
En général, il est admis qu'un laser Nd:YAG émettant à 1064 nm et pompé à 808 nm est un laser
à 4 niveaux. Cependant, la réalité est plus complexe (Fig.2) : le niveau du bas de la transition laser
n'est pas si loin du niveau fondamental si bien qu'il peut être peuplé thermiquement. De plus, le
niveau du haut se divise en deux sous niveaux très proches l'un de l'autre. Le but de ce problème
est d'évaluer l'influence de ces deux effets sur le seuil d'un oscillateur laser.
Energie (cm-1)
Energie (cm-1)
n3
3
g
808 nm n2 2
spIp A
n1 1
Transi on laser 1064 nm 12376
n3 11504
11418
nup n2 n’2 1064 nm Niveau 2’ 2110
g
nlow n0
0
n1 0
n0 Fig.2a
Nd:YAG approché par un
système à 4 niveaux
Fig.2b
Diagramme énergétique réel du
Nd:YAG
Figure 2: Comparaison entre un système à 4 niveaux (Fig.2a) et un système plus réaliste(Fig.2b) utilisé pour décrire le
fonctionnement du Nd:YAG.
L'oscillateur laser Nd:YAG est composé d'une cavité en anneau avec un seul sens de propagation
(Fig.3). Le milieu laser est pompé transversalement de telle sorte que les populations dans les
niveaux du haut ne dépendent pas de la position dans le cristal, en absence d'effet laser. Le cristal
de Nd:YAG n'a pas de pertes internes.
R3
R1
R2
Nd:YAG
0
Sortie
d
Miroir de sortie
Pompage
Figure 3: Schéma expérimental de l'oscillateur laser Nd:YAG.
On définit les grandeurs suivantes :
p est la section efficace sur la transition de pompage.
Ip est l'intensité de pompe (en photons par seconde et par cm2).
 est le débit de descente du niveau 3 vers le niveau 2 (en s-1). Ce débit est très important par
rapport aux autres débits.
 est aussi le débit de descente du niveau 1 au niveau 0.
A est le coefficient d'Einstein pour l'émission spontanée sur la transition laser (s-1).
est la section efficace sur la transition laser à 1064 nm, =40.10-20 cm2.
nt est la densité de population totale, nt = 3 1020 cm-3.
d est la longueur du cristal, d=1 cm.
S est la surface pompée sur le cristal de Nd:YAG.
R1, R2 et R3 sont les coefficients de réflexion des miroirs de la cavité, R1.R2.R3=0.95.
c est la vitesse de la lumière, c= 3.108 ms-1.
h est la constante de Planck, h= 6,62. 10-34 Js.
k est la constante de Boltzmann, k= 1,38.10-23 JK-1.
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1) Seuil d'oscillation du laser dans le cas d'un système à 4 niveaux.
Dans cette partie, le Nd:YAG est considéré comme un système à 4 niveaux parfait (Fig.2a)
1.1) On suppose que le niveau fondamental n'est pas fortement dépeuplé par le pompage, si bien
que n2<<n0. On rappelle que le débit  est très grand par rapport aux autres débits.
A l'état stationnaire et sans effet laser, démontrer que la densité de population n2 dans le niveau
du haut est proportionelle à la puissance de pompe notée Pp.
Dans la suite, on pose n2=K Pp, K étant un facteur de proportionalité.
1.2) On note G0 le gain petit signal du milieu laser. Donner la relation entre G0 et R1, R2 et R3
lorsque le laser est au seuil d'oscillation.
1.3) Donner l'expression de la puissance de pompe au seuil d'oscillation, Ppth4lev.
2) Seuil d'oscillation du laser dans le cas du système Nd:YAG réel
Dans la réalité, le diagramme énergétique est plus compliqué qu'un système à 4 niveaux (Fig.2b)
Dans le Nd:YAG, le niveau du haut est séparé en deux sous-niveaux (2 et 2') et il faut considérer
la population thermique du niveau du bas de la transition laser. On définit deux bandes d'énergie :
la bande du bas avec une population nlow (nlow = n0 + n1) et la bande du haut avec la population nup
(nup = n'2 + n2 + n3). On suppose que l'équilibre thermique est toujours atteint de façon séparée
dans les deux bandes, indépendamment du processus de pompage. Cela signifie que les relations
suivantes sont toujours vérifiées :
n1 = n0 e
- E1 -E0
kT ,
E0 et E1 étant les énergies des niveaux 0 et 1, T étant la température du milieu en
degrés kelvin.
n2 = n'2 e
- E2 -E '2
kT
et n3 = n2 e
- E3 -E2
kT
, E2, E'2 et E3 étant les énergies des niveaux 2, 2' et 3.
Afin de prendre en compte la structure énergétique réelle, on définit :
em
- la section efficace effective d'émission à 1064 nm : s eff ,
- la section efficace effective d'absorption à 1064 nm :
Ces deux grandeurs vérifient :
s effabs .
s effem nup = s n2 et s effabs nlow = s n1 , où  est la section efficace pour la
transition à 1064 nm.
2.1) Donner l'expression du coefficient de gain petit signal g0 en fonction de
s effem , s effabs , nlow et nup.
2.2) Sans effet laser, on suppose que nup=K Pp , K étant le même facteur de proportionalité que
celui défini dans la question 1.1)
Donner l'expression de Ppth , la puissance de pompe au seuil d'oscillation.
2.3) Démontrer que le rapport Ppth /Ppth4lev est égal à
PPth
PPth 4lev
é
ù
ê
ú
s effabs nt d ú
s
ê
= em
1+
æ 1 öú
s eff + s effabs ê
ê ln ç
÷ú
è R1R2 R3 ø û
ë
2.4) Sections efficaces effectives en fonction de la température
s effabs en fonction de l'énergie E1.
em
2.4.2) Donner l'expression de s eff en fonction des énergies E'2, E2, et E3.
2.4.1) Donner l'expression de
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2.5) Applications numériques.
Les énergies des niveaux sont donnés en nombre d'onde (cm-1). La relation entre l'énergie en joule
et l'énergie en cm-1 est : E(en J)=hc.100.E(en cm-1).
Remplir la table suivante avec les valeurs numériques :
Temperature (K)
s effem (cm2) s effem
s
s effabs (cm2) s effabs
s
PPth
PPth 4lev
300 K
400 K
2.6) Approche physique
Le but de cette question est de séparer les effets sur le seuil d'oscillation :
- de la population thermique du niveau 1,
- de la séparation du niveau 2 en deux sous niveaux (2 et 2').
2.6.1) Montrer que
s effabs nt d peut être décrit comme étant des pertes par absorption.
2.6.2) Montrer que la population thermique du niveau 1 affecte le seuil du laser par le rapport entre
les pertes par absorption et les pertes de la cavité.
2.6.3) Expliquer physiquement comment la séparation du niveau du haut en deux sous-niveaux
affecte le seuil d'oscillation.
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