Facteur de structure – Vibration du réseau

ESINSA 3
Année 2000-2001
Propriétés de la matière
Contrôle PM n°1
Facteur de structure – Vibration du réseau
Problème 1 : Facteur de structure de Gax Al1 x As
Le réseau de Bravais de GaAs comme celui de AlAs est cubique à faces centrées, avec
un atome de As en 0,0,0 et un atome de Ga (ou Al) en 1 , 1 , 1 . Les deux réseaux (GaAs
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et AlAs) ont sensiblement la même taille, a , et partant de AlAs, il est possible de substituer
progressivement des atomes de Al pour les remplacer par des atomes de Ga. Sur les sites
initiaux d’Al, cette substitution s’effectue de façon aléatoire de telle manière que le composé
ternaire Gax Al1 x As peut être décrit cristallographiquement comme s’il y avait, en position
1 , 1 , 1 , x atome de Ga et (1-x) atome de Al, avec 0  x  1 .
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1. Donner l’expression du facteur de structure F(hkl) de AlAs (x=0) et de GaAs
(x=1). Expliciter cette expression pour les 5 premières réflexions, non
équivalentes, autorisées d’abord en fonction des facteurs de diffusion atomiques
f Ga , f Al , f As ,puis numériquement en tenant compte du fait que f Z est
proportionnel au numéro atomique Z, soit f Al  13 , f Ga  31 , f As  33 .
2. Si tous les sites sont désormais occupés par du silicium, en déduire la loi régissant
les réflexions interdites dans le silicium.
3. Dans le cas du composé ternaire Gax Al1 x As , expliciter l’expression générale de
F(hkl) et indiquer l’évolution de F(200) en fonction de x. Donner une application.
Problème 2: Vibration d’un cristal linéaire – influence des seconds voisins
Soit une rangée d’atomes équidistants de « a » formé d’atomes identiques de masse m.
Chaque atome est soumis à une constante de rappel 1 exercée par ses plus proches voisins et
 2 exercée par ses seconds voisins.
1. Etablir l’équation régissant le déplacement de l’atome n, soit un (par rapport à sa
position d’équilibre) en fonction de Un+1, Un-1, Un+2, Un-2 .
2. Etablir la relation de dispersion des phonons longitudinaux,   f ( k ) , à partir d’une
solution de la forme un  A exp i(t  kxn )  A exp i(t  kna) . Dans cette relation,
mettre en évidence le facteur correctif S(k) lié à l’influence des seconds voisins.
3. Donner l’expression littérale de la vitesse du son. On rappelle quelle est donnée par
  
vs  
 . Indiquer l’allure de la courbe de dispersion en envisageant
 k k 0
successivement les hypothèses  2 >0 et  2 <0, ( 1 étant nécessairement >0). On
tracera aussi la courbe de référence  2 =0. Représenter le déplacement des atomes
Un+j
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