Exercices 22

MPSI
CHAPITRE 22
EXERCICES
22-1 Expérience de Jean Perrin
Pour déterminer la constante d'Avogadro, Jean Perrin a eu l'idée de réaliser une "atmosphère" isotherme à l'aide d'une
suspension de petites sphères de gomme-gutte, toutes de même rayon r = 0,212 µm, de masse volumique  = 1,194 g.cm–3, dans de
l 'eau de masse volumique 0 = 1,003 g.cm–3 à T0 = 293 K .

z
1)
Montrer que la répartition des grains en altitude se fait suivant la loi dN  Ae H dz où dN est le nombre de grains
compris dans une colonne verticale, entre les plans d'altitudes z et z + dz, et A une constante. Donner l'expression de H en fonction
de la constante R des gaz parfaits, de la constante d'Avogadro N , du rayon r des grains, de  et de 0, de T0 et de g = 9.8 m.s–2,
intensité du champ de pesanteur.
2)
À un niveau pris comme origine, dans une tranche de petite épaisseur donnée, Jean Perrin a compte 100 grains; à l'altitude
h = 90 µm au dessus de ce niveau, il a compte en moyenne 17 grains.
Déduire de ces mesures une valeur approximative de la constante d'Avogadro; on prendra R,= 8,32 J.mol –1.K–1.
3)
Afin de montrer le rôle joué par la petitesse des grains, calculer littéralement puis numériquement le rayon r 0 des grains
pour lequel r0 = H. Interpréter ce résultat.
3RT 0
Résultats : 1) H 
2) N = 6,4.1023 mol–1
3) r0 = 0,85 µm
3
4r (   0 )N g
22-2 Distribution des vitesses d'un gaz parfait monoatomique
1)
Calcul de l'intégrale Ip =


0
x p e  x dx .Montrer en intégrant par parties que I p  2 
2
Calculer I1, puis I0. Pour le calcul de I0, on montrera que I 0 2 

 

x 0 y 0
p 1
Ip .
2
e  x e  y dx dy 
2
2

2
 

e r dS .
2
0 r 0
2)
Exprimer, en utilisant directement le facteur de Boltzman, la fonction de distribution de la norme v de la vitesse d'une
molécule de gaz parfait monoatomique en équilibre thermique, en utilisant les paramètres T et µ (masse d'une molécule), et la
constante de Boltzman k..
3)
Tracer les graphes des fonctions de distribution D(v) et D(vx) pour l'argon, de masse molaire M = 39,95 g.mol–1 à 298 K.
4)
Exprimer la valeur moyenne <v> de la norme de la vitesse, la vitesse quadratique moyenne u et la norme la plus probable
v0 de la vitesse.
5)
Exprimer de même, pour une coordonnée de la vitesse : <vx.>,ux et vx0.
1

Résultats : 1) I1 = et I0 =
2
2
3)  v 
2kT
µ
u
3kT
µ
3
 µ 2 2
2) D(v) = 4
 v e
 2kT 
v0 =
8kT
µ
<vx> = 0 ux =
µv 2
2 kT
kT
µ
ux0 = 0.
22-3 Calcul d'une fuite
On rappelle que la fonction de distribution d'une coordonnée cartésienne de la vitesse d'une molécule d'un gaz parfait
2
µ
monoatomique est : D (vx) = Ae Bv x avec B 
, µ étant la masse d'une molécule.
2kT
Un récipient de volume V = 1 L, maintenu à la température de 298 K, sous la pression initiale de 1 torr (1mm de
mercure), est percé d'un trou de section s = 1 µm2. De l'autre côté règne le vide absolu.
Au bout de quel temps t la pression dans le récipient aura-t-elle été divisée par deux ?
Application numérique à l'hélium (MHe = 4,0 g.mol-1).
22-4 Mouvement de translation accéléré
Un cylindre horizontal, de section S et de volume invariable, est séparé en deux compartiments par un piston de masse m
pouvant coulisser sans aucun frottement. Les deux compartiments contiennent les mêmes quantités de gaz parfait en équilibre
thermique avec l'extérieur à la température T.
On notera respectivement P0 et V0 la pression et le volume de chaque compartiment quand le cylindre est immobile.
Le cylindre est maintenant en mouvement de translation, dans la direction de son axe de révolution, avec un vecteur

accélération a , de norme a, orienté vers la droite.
Lorsque l'équilibre mécanique est réalisé dans le cylindre, ainsi que l'équilibre thermique avec l'extérieur, le compartiment
de gauche a le volume V1 et la pression P1, celui de droite a le volume V2 et la pression P2.
1)
Donner la relation entre P1, P2, a, m, et S.
2)
3)
En notant  le rapport
P0 S
, montrer que le volume du compartiment de gauche à l'équilibre s'exprime par :
ma
V1  V0 1    1   2 


V
V
P
P
Calculer 1 et 2 ainsi que 1 et 2 pour Po = 1 bar, S = 0,1 m2, a = 10 m.s–2 et m = 1 kg.
V0
V0
P0 P0
22-5 Travail mécanique
22-5-1 Piston attaché à un ressort
Soit le dispositif ci-contre :
Le ressort est initialement non tendu, de longueur à vide l0,
de raideur k. On refroidit le gaz, ce qui provoque un allongement x du
ressort.
Exprimer le travail reçu par le gaz durant cette transformation.
support fixe
pression PA
ressort k,l0
piston m,S
gaz
22-5-2 Travail reçu par un ressort
Les ressorts dont il est question ici ont une extrémité attachée à un support fixe.
1)
On tire sur l'extrémité d'un ressort avec une force de 40 N, Le ressort s'allonge de 20 cm. Quel travail a-t-il reçu ?
2)
On essaie de garder tendu un ressort au moyen d'une force d'intensité F = 50 N. Malgré cette force, le ressort se raccourcit
de 10 cm. Quel travail a-t-il reçu ?
3)
On allonge de façon réversible, de 10 cm, un ressort de raideur 20 N.m–1 à partir de son état d'équilibre à vide. Quel
travail reçoit-il ?
 l  l 2 
4)
L'équation d'état d'un ressort parfaitement élastique est f  aT   0   , a étant une constante positive, T la
 l0  l  


température, l la longueur du ressort, l0 sa longueur à vide et f l'intensité de la force appliquée.
l
Calculer 1e travail reçu par le ressort lorsque sa longueur passe de l0 à 0 réversiblement, à température constante.
2
22-6 Équations d'état
22-6-1 Lame d'eau savonneuse
L'équation d'état d'une lame d'eau savonneuse est (A - A0) S = c T
A est la constante de tension superficielle de la lame et A0 celle de l'eau pure, S est la surface de la lame et c est une
constante.
 S   A 
 T 
Exprimer le plus simplement possible 
 ,
 et 
 . Quelle est 1a relation entre ces trois dérivées partielles
 A  T  T  S  S  A
?
22-6-2 Condensateur plan
La permittivité  d'un diélectrique est fonction de la température. Exprimer la charge électrique q d'un condensateur plan
en fonction de la tension V entre ses armatures, de l'aire S de la surface d'une armature, de l'épaisseur e et de la permittivité  de
 V 
son diélectrique. Déterminer 
 .
 T  q
22-6-3 Métal
Un morceau de métal est pris à 20 °C sous la pression de 1 bar. Quelle pression doit on exercer sur ce morceau de métal
pour que son volume reste constant quand la température passe à la valeur 30 °C, ses coefficients thermoélastiques  et T étant
constants et valant :  = 5.10–5 K–1 et T = 7.10–12 Pa–1 ?
1)
22-6-4 Fil élastique
Un fil de longueur L0 est soumis à une force de traction d'intensité F à la température T.
 L 
 L 
Justifier l'écriture dL  
 dT  
 dF .
 T  F
 F  T
2)
Définir le coefficient de dilatation linéaire à force constante , (par analogie avec le coefficient de dilatation volumique à
pression constante ).
3)
S étant la section du fil, on définit le module d'Young du fil par E 
4)
Exprimer dF en fonction de dT et dL.
L  F 
 F 
  . Exprimer 
 .
S  L  T
 T  L
 L  L 2 
5)
Pour une substance parfaitement élastique, l'équation d'état s'écrit : F  AT
  0   , où A est une constante et L0
 L 0  L  


une fonction de la température.
a) Calculer E puis E0 (E pour F = 0).
dL 0
b) Calculer  en fonction de F, S, E, T et
, puis 0, valeur de  pour F = 0.
dT