École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie industriel Test diagnostique Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105 Durée: 1 heure Directives: Donner une réponse complète à chaque question et cette réponse doit être expliquée et justifiée. Pour chaque page du cahier, utiliser le recto pour rédiger vos réponses, et le verso comme brouillon. Toute calculatrice interdite. Toute documentation interdite. Remettre le questionnaire à la fin de l’épreuve. QUESTION #1 (10 points) Résoudre le système : x 2 y 3z 4 3x y z 8 2 x 4 y 3z 5 QUESTION # 2 (10 points) 1 1 2 3 1 Soit : A= , B = 3 5 5 0 1 2 3 Déterminer : a) 2 At 3B b) AB École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie industriel Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105 Test diagnostique page 2 QUESTION # 3 (15 points) 3 1 0 5 On considère la matière A 4 1 1 et B 3 1 0 4 1 a) Calculer le déterminant de A . b) Trouver l’inverse de la matrice A . c) Utiliser l’inverse de la matrice A pour résoudre l’équation matricielle AX B QUESTION # 4 (10 points) Soit A et B deux matrices carrées d’ordre 2 telles que A 2 et B 3 . Calculer a) 2 AB t b) A1 B QUESTION # 5 (10 points) Soit 2 vecteurs u et v ayant respectivement pour norme 2 et 3 tels que l’angle entre ces vecteurs est égal à 30º. Calculer a) le produit scalaire entre les vecteurs u et v , c'est-à-dire u v ; b) la norme du produit vectoriel des vecteurs u et v , c'est-à-dire u x v . École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie industriel Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105 Test diagnostique page 3 QUESTION # 6 (5 points) Calculer l’angle entre les vecteurs u (1, 2, 3) et v (3, 1, 2) . QUESTION # 7 (5 points) Trouver x si le vecteur u ( x 1, x 3, x 1) est perpendiculaire au vecteur v ( x 2, x 1, x 1) . QUESTION # 8 (15 points) On considère les points A(2, 1, 2) , B (1, 2, 0) et C (2, 2 1) a) Calculer les composantes du vecteur 3 AB 2 AC ; b) Calculer l’aire du triangle ABC ; c) Trouver l’équation cartésienne du plan passant par les points A, B et C . QUESTION # 9 (10 points) Déterminer si les vecteurs donnés forment une base de l’espace vectoriel donné. Jusitifier chaque réponse. a) les vecteurs u (1, 2, 3) et v (3, 2, 1) pour R 3 ? b) les vecteurs u (1, 2) , v (3, 4) et w (4, 5) pour R 2 ? c) les vecteurs u (4, 5, 4) , v (1, 3, 2) et w (2, 2, 2) pour R 3 ? École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie industriel Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105 Test diagnostique page 4 QUESTION # 10 (10 points) Soit le plan : 7 x 6 y 5 z 16 0 , la droite d : ( x, y, z ) (7, 3, 8) t (2, 9, 5) et un point A(1, 2, 3) . a) Trouver le point I d’intersection de la droite d avec le plan ; b) Trouver l’équation vectorielle de la droite D passant par le point A et perpendiculaire au plan .