Cycle de Joule

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T5.9. Cycle de Joule
Enoncé.
Une masse m = 1 kg d’air décrit le cycle thermodynamique suivant :
état A : To = 300K, Po = 1, 0.105 Pa ;
état B : T1 , P1  kPo
état C : T2  1000 K, P1
état D : T3 , Po
transformations AB et CD : adiabatiques réversibles ;
transformations BC et DA : isobares.
L’air est assimilé à un gaz parfait, de capacité calorifique à pression constante CP et de rapport   1, 40 .
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 S.I
1. Calculer les valeurs des températures T1 et T3 pour k = 10.
Donner l’allure du cycle en diagramme de Clapeyron (P en fonction de V).
2. Faire le bilan énergétique du cycle :
¤ quantités d’énergie thermique échangées ;
¤ travail total : est-il reçu ou fourni ?
De quel type de machine s’agit-il ?
Définir et calculer son rendement (ou efficacité).
3. Les échanges thermiques du fluide ont lieu uniquement avec deux sources :
¤ une source chaude à T2 ;
¤ une source froide à To .
Le cycle étudié est-il réversible ? Expliquer pourquoi il l’est ou ne l’est pas.
Que peut-on calculer pour le vérifier numériquement ?
4. Calculer les variations d’entropie de l’air pour les différentes transformations.
Quelles relations doivent vérifier ces différentes quantités ?
5. Le cycle étant décrit dans le sens correspondant à un moteur, et les températures des sources
restant inchangées, exprimer le travail total récupéré en fonction de CP , To , T2 , k et  .
Quelle valeur doit-on donner à k pour obtenir le travail maximal ?
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T5.9. Cycle de Joule.
Corrigé.
1. Températures.
Une transformation adiabatique, réversible d’un gaz parfait de coefficient γ constant vérifie la loi de
Laplace :
p1 T   cte
On peut donc écrire pour les transformations AB et CD :
1 
o
o
1
1 
1
1
p 
 T1  To  o 
 p1 
1 
o
3
p 
 T3  T2  1 
 po 
p T p T

1
 To  
k
1

 To k
 1

T1  579 K
De même :
1
1

p T2  p T
1

1
 T2 k

T3  518 K
2. Bilan énergétique.
Pour les transformations adiabatiques AB et CD on a :
QAB  QCD  0
Sur une transformation isobare on a Q  H  CP T d’où :
QBC
QDA
 1

m R 

 CP T2  T1  
 T2  To k 
M  1 

1

m R 

 CP T0  T3  
 To  T2 k 
M  1 

QBC  0
QDA  0
Le gaz décrivant un cycle, on a alors :
U  0  W  Q
W  Q    QBC  QDA   CP T1  T3  T2  To 
 1

 1 

m R   
W
W  2, 0.105 J
 To  k  1  T2  k  1 






M  1  



Le cycle est parcouru dans le sens horaire. L’aire de ce cycle est positive et correspond donc à
W car W  

pext dV . Le travail total est donc négatif et fourni à l’extérieur. Le cycle étudié est moteur
cycle
dont le rendement est défini par :
grandeur utile
W


grandeur couteuse
QBC
1
1


QBC  QDA
T T
T k  To
Q
 1  DA  1  3 o  1  2
 1
 1
QBC
QBC
T2  T1

T2  To k
1
k

  1

 T2  To k

T2  To k
 1

 1

k


 T  To
1
 2
k 

T2  To k
 1








1
  1 k
  0, 48

3. Cycle réversible ?
Le cycle étudié n’est pas réversible car les échanges d’énergie par chaleur lors du contact avec les sources
ne se font pas en suivant une transformation isotherme Tgaz  Textérieur aux différents stades des évolutions
BC et DA.
Pour montrer cela il faut opérer un bilan entropique et montrer que la création d’entropie sur le cycle est
positive.
Le second principe postule que sur un cycle :
S  Se  Sc  0
Sc   Se   
 QBC
T2

 QDA
To

QBC QDA

T2
To
T T


mR  T1 T3
Sc  CP  1  3  2  
   2
 T2 To
 M    1  T2 To

1
Sc  307 J.kg
4. Variations d’entropie de l’air sur les différentes transformations.
Sur les adiabatiques réversibles (isentropiques) la variation d’entropie est nulle.
Pour les transformations isobares, on utilise l’identité thermodynamique :
dU p
dS 
 dV
T T
nR
pV  nRT  dV 
dT pour une transformation isobare
p
dT
dT
dT
dS  CV
 nR
 CP
T
T
T
On obtient ainsi :
T
T
S BC  CP ln 2 , S DA  CP ln o
T1
T3
Sur le cycle on a :
S  CP ln
T
T2
T T
 CP ln o  CP ln 2 o  0
T1
T3
T1 T3
T2 To
1
T1 T3
5. Travail maximal.
D’après la question 2 :
W  CP T1  T3  T2  To 
   1 
 1 

W  CP  To  k  1  T2  k  1 



 



 
dW
Le maximum sera obtenu pour
 0.
dk
1 2
1
1 2
   1  1
dW
1      1  

 CP  To
k  T2
k
 
 To k  T2 k

dk







To k
1 2
1

 T2 k


 T  2 1
k  2 
 To 
 To k 1  T2 k 1 2

  0
