QUADRILATÈRES
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QUADRILATÈRES 1. Propriétés des quadrilatères Polygone à 4 côtés et 4 sommets Sommets : A,B,C,D Côtés : AB , AC , CD , BD Côtés opposés : AB et CD , BD et AC Angles opposés : A et D, B et C Diagonale : segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs (qui ne se suivent pas). Diagonales : AD , BC Somme des angles intérieurs = 360 Quadrilatère convexe ou concave… Polygone convexe : polygone dont toutes les diagonales sont à l’ntérieur de la suface ou dont tous les angles intérieurs mesurent moins de 180. Polygone concave : qui n’est pas convexe. 2. Classification des quadrilatères Trapèze : au moins 1 paire de côtés opposés parallèles un trapèze peut être rectangle (2 angles droits) un trapèze peut être isocèle (2 côtés congrus) un trapèze peut être quelconque (4 côtés différents et 4 angles différents) A D B Trapèze rectangle C Trapèze isocèle Notez que dans un trapèze, les angles adjacents à un côté qui n’est pas une base sont supplémentaires (ici, les angles A et B sont supplémentaires ainsi que les angles C et D 1 Parallélogramme : trapèze qui a une 2e paire de côtés parallèles Côtés opposés congrus angles opposés congrus 2 diagonales qui se coupent en leur milieu. Les angles non-consécutifs sont supplémentaires (même chose pour le losange, le rectangle et le carré qui sont aussi des parallélogrammes) Losange : parallélogramme qui a 4 côtés congrus 2 paires de côtés opposés parallèles angles opposés congrus 2 diagonales perpendiculaires l’une à l’autre qui se coupent en leur milieu. Rectangle : parallélogramme qui a 4 angles droits 2 paires de côtés opposés parallèles et congrus. 2 diagonales non perpendiculaires l’une à l’autre mais qui sont congrues et se coupent en leur milieu. Carré : à la fois un rectangle et un losange 4 côtés congrus 2 paires de côtés opposés parallèles 4 angles droits et congrus 2 diagonales congrues, perpendiculaires l’une à l’autre et qui se coupent en leur milieu. 2 Quadrilatères Trapèzes Parallélogrammes Quadrilatère quelconque Trapèze rectangle Rectangles Losanges Trapèze isocèle Carré Quadrilatère concave Trapèze quelconque 3 4 (pas à apprendre) 5 6 3. Construction de quadrilatères Pour construire des quadrilatères, nous utilisons les notions apprises dans la construction de triangles (construire deux côtés adjacents à un angle), mais il faut aussi savoir construire des côtés parallèles. Comme il serait trop encombrant de dessiner les parallèles en utilisant le compas, voici comment le faire à l’aide d’une règle et d’une équerre : Par exemple, si tu dois tracer une parallèle à cette droite 1- Place un côté de l’équerre sur la droite et colle la règle sur l’autre côté de l’équerre. 2- Glisse l’équerre contre la règle (la règle ne doit pas bouger) jusqu’à l’endroit où tu veux tracer la droite parallèle et trace la droite (rouge) Tu obtiens deux droites parallèles l’une à l’autre 7 Maintenant, construisons des quadrilatères… … et n’oublie pas qu’il faut toujours être le plus précis possible avec la règle et le rapporteur d’angles. 1) Parallélogramme Lorsqu’on te demande de construire un parallélogramme, on te donne toujours les mesures de deux de ses côtés (chacun des 2 autres côtés est congru à celui qui lui est opposé) et un angle (les autres angles peuvent être trouvés sachant que dans tout parallélogramme, les angles opposés sont congrus et les angles consécutifs sont supplémentaires). Il est plus précis de n’utiliser le rapporteur d’angle qu’une seule fois et de bâtir ensuite les côtés manquants utilisant la règle et l’équerre pour bâtir des parallèles (tu peux vérifier que les angles sont tous bons lorsque ta construction est finie). ___ __ Ex : Parallélogramme LOUP dont m LO = 4cm, m OU = 2 cm et O = 130 Tracer avec la règle Tracer le côté parallèle à LO et passant par U à l’aide de la règle et de l’équerre (le tracer plus long qu’il faut) 8 Mesurer l’angle avec le rapporteur d’angle et le côté avec la règle. Tracer le côté parallèle à OU et passant par L à l’aide de la règle et de l’équerre. P se trouve à l’intersection ainsi trouvée. Vérifier que les côtés opposés soient congrus, que les angles opposés soient congrus et que les côtés consécutifs soient supplémentaires pour confirmer la précision de la construction 2) Rectangle Comme un rectangle est un parallélogramme, la construction se fait de la même façon. La seule différence, c’est que l’angle ne sera pas donné… tu es censé savoir que tous les angles d’un rectangle mesurent 90. 3) Carré Le carré est un rectangle et aussi un parallélogramme. La construction du carré se fait donc encore une fois de la même façon. Lorsqu’on te demandera de construire un carré, on ne te donnera que la mesure d’un côté… tous les côtés sont congrus et tous les angles sont droits, tu n’as donc pas besoin d’autres informations que la mesure du côté qui t’es donné. Il se peut que l’on te donne les diagonales du carré pour sa construction; dans ce cas, réfère toi à la 2e façon de construire un losange (le carré est un losange!) 4) Losange Il y a deux façons de construire un losange. Si l’on te donne une mesure de côté et un angle, la construction se fera comme celle du parallélogramme (le losange est un parallélogramme qui a 4 côtés congrus… le 2e côté que tu construiras aura donc la même mesure que le premier). La deuxième façon utilises la propriété du losange selon laquelle ses diagonales se coupent perpendiculairement (à angle droit) en leur milieu. 9 Ex : __ Construis le losange ARTS dont la grande diagonale AT mesure 8 cm et la petite diagonale RS mesure 4 cm. Construis une des diagonales avec la règle en notant bien son milieu (ici, la moitié de 8cm c’est 4 cm) À l’aide de l’équerre ou du rapporteur d’angle, trace une perpendiculaire à la diagonale déjà tracée et qui passe par son milieu. Mesure la moitié de la 2e diagonale de chaque côté (ici, la moitié de 4cm est 2cm). Pour tracer la 2e diagonale perpendiculaire, on peut aussi utiliser le compas (méthode du poisson), mais ça laisse beaucoup trop de traces. Relie 2 sommets consécutifs pour former un côté et utilise la règle et l’équerre pour tracer le côté opposé afin de t’assurer que les deux côtés opposés soient parallèles. Utilise encore une fois la règle et l’équerre pour tracer les 2 autres côtés. Vérifie que les quatre côtés du losange sont congrus afin de valider la précision de ta construction. 10 5) Trapèze Ex. 1) Construis un trapèze rectangle dont les bases mesurent 5cm et 3cm sachant que 4 cm sépare les deux bases. 3 cm 4 cm 1) Construire la grande base. 2) Mesurer 90 à une des extrémités de la grande base avec le rapporteur d’angles ou l’équerre. 3) Mesurer la distance entre les 2 bases (se trouve à être la mesure du côté perpendiculaire aux deux bases) 4) Utiliser la règle et l’équerre pour tracer la petite base parallèle à la grande base puis la mesurer. 5) Relier les deux extrémités libres pour former le 4e côté. 90 5 cm ___ Ex 2) Construis le trapèze isocèle BANG où la grande base ( GB ) mesure 6 cm, l’angle B mesure 60 et m BA = 3 cm. A N 3 cm 3 cm 60 B 60 6 cm G 1) Trace la grande base 2) Mesure 60 à ses deux extrémités (si le trapèze est isocèle, il est aussi isoangle) 3) Mesure des côtés de 3 cm à chaque extrémités de la grande base (ils doivent tous deux faire un angle de 60 avec la base) 4) Relie les extrémités libres en te servant de la règle et de l’équerre pour t’assurer que les deux bases sont parallèles. Il existe beaucoup d’autres exemples, mais dans ces cas, tu devras user de ton savoir et de ta logique, car chaque cas est unique. 11
