Activité - Espace Ecole
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Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Quelles figures géométriques pavent le plan ? Recueil d’activités détaillées sur le thème des pavages mises à disposition des enseignants volontaires de l’Ecole Primaire, du Cycle d’Orientation et du Post-Obligatoire pour être travaillées avec leurs élèves durant la semaine de la géométrie entre le 29 mars et le 2 avril 2004. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 1 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Ce document ainsi que des informations actualisées sur la semaine de la géométrie sont disponibles sur Internet à l’adresse suivante : http/hypo.ge.ch :8080/semainegeometrie. La zone est protégée par un mot de passe; pour l’obtenir, merci de prendre contact avec Jean-Pierre Bugnon : e-mail : [email protected] - tel : 022.309.35.50 Groupe de préparation de la semaine de la géométrie : Elisabeth Ossola-Quivy (Enseignante Primaire) Laura Weiss (Formatrice IFMES, Enseignante CO, coprésidente CEM) Jean-Pierre Bugnon (Formateur Math Primaire, membre du bureau CEM) Pierre-Alain Cherix (Uni Math GE, membre du bureau CEM) Jean-Marie Delley (Enseignant Collège, coprésident CEM) Annick Fluckiger (FAPSE) Jean-Pierre Guex (Formateur IFMES, Enseignant ECG) Peter King (Enseignant Collège et HES) Michel Kuhne (Enseignant Collège et HES) Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 2 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 TABLE DES MATIÈRES CONTACTS ET DEMANDE D’INFORMATION ............................................................................................ 5 PRÉSENTATION DE LA SEMAINE DE LA GÉOMÉTRIE .......................................................................... 6 UN TRAVAIL COMMUN DANS TOUTES LES CLASSES VOLONTAIRES ....................................................................... 6 UN THEME COMMUN:"QUELLES FIGURES GEOMETRIQUES PAVENT LE PLAN ?...................................................... 6 EXEMPLES DE PAVAGES ....................................................................................................................................... 7 QUELQUES QUESTIONS MATHEMATIQUES AUTOUR DE LA NOTION DE PAVAGES ................................................... 7 POUR LES ENSEIGNANTS ...................................................................................................................................... 7 POUR LE GRAND PUBLIC ....................................................................................................................................... 7 COMMUNIQUÉ DE PRESSE............................................................................................................................. 7 COMMENTAIRES GÉNÉRAUX SUR LES ACTIVITÉS PROPOSÉES ET SUR LA MEILLEURE FAÇON DE LES ABORDER EN CLASSE ....................................................................................................... 9 TYPES D'ACTIVITES .............................................................................................................................................. 9 CONSTRUCTION DE SEQUENCES D'ACTIVITES ....................................................................................................... 9 OBJECTIFS VISES ................................................................................................................................................ 11 TABLEAU RÉSUMÉ DES ACTIVITÉS .......................................................................................................... 12 QUELQUES ÉLÉMENTS THÉORIQUES SUR LA NOTION DE PAVAGE ............................................. 14 ACTIVITÉ « RECOUVRIR UN CARRÉ 1E-2E » .......................................................................................... 18 ACTIVITÉ « RECOUVRIR UN CARRÉ 2E-1P-2P » .................................................................................... 19 ACTIVITÉ « PAVER UN CARRÉ » ................................................................................................................ 20 ACTIVITÉ « PENTOMINOS » ......................................................................................................................... 21 ANNEXE À L’ACTIVITÉ « PENTOMINOS » ............................................................................................... 23 ACTIVITÉ « REPTUILES » ............................................................................................................................. 24 ANNEXE À L’ACTIVITÉ « REPTUILES » .................................................................................................... 25 ACTIVITÉ « DÉFORMATIONS » ................................................................................................................... 26 ACTIVITÉ « UN PEU DE CARRELAGE » .................................................................................................... 27 ANNEXES À L’ACTIVITÉ « UN PEU DE CARRELAGE »......................................................................... 28 ACTIVITÉ « PAVER LE PLAN » .................................................................................................................... 38 ANNEXES À L’ACTIVITÉ « PAVER LE PLAN » ........................................................................................ 40 ACTIVITÉ « LA MÉTHODE DE L'ENVELOPPE » ..................................................................................... 48 ACTIVITÉ « CHERCHER LE PAVÉ » ........................................................................................................... 49 ANNEXE À L’ACTIVITÉ « CHERCHER LE PAVÉ » ................................................................................. 50 ACTIVITÉ «LE PROBLÈME PARADOXAL, UNE DÉCOUPE DE LEWIS CARROLL» ...................... 51 ANNEXE À L’ACTIVITÉ « LE PROBLÈME PARADOXAL, UNE DÉCOUPE DE LEWIS CARROLL » .............................................................................................................................................................................. 53 ACTIVITÉ « LES TRIANGLES PAVENT » ................................................................................................... 54 Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 3 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 ANNEXE À L’ACTIVITÉ « LES TRIANGLES PAVENT » ......................................................................... 55 ACTIVITÉ « LES QUADRILATÈRES PAVENT » ....................................................................................... 56 ANNEXE À L’ACTIVITÉ « LES QUADRILATÈRES PAVENT » .............................................................. 57 ACTIVITÉ « PAVAGES PAR POLYGONES RÉGULIERS » ..................................................................... 59 ANNEXES À L’ACTIVITÉ « PAVAGES PAR POLYGONES RÉGULIERS » :ÉLÉMENTS DE SOLUTION ......................................................................................................................................................... 60 ACTIVITÉ « UNE PREUVE DE PYTHAGORE PAR PAVAGES » ............................................................ 61 ANNEXES À L’ACTIVITÉ « UNE PREUVE DE PYTHAGORE PAR PAVAGES » ................................ 62 ACTIVITÉ « UNE PREUVE DE THALES PAR PAVAGES » ..................................................................... 65 ANNEXES À L’ACTIVITÉ « UNE PREUVE DE THALES PAR PAVAGES » .......................................... 63 Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 4 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Contacts et demande d’information pour les maîtres intéressés à travailler sur une activité de pavage avec leurs élèves : Jean-Pierre Bugnon (e-mail : [email protected] - tel : 022.309.35.50) pour toute autre information sur la Semaine de la Géométrie : Jean-Marie Delley (e-mail : [email protected] - tel : 022.792.36.34) Laura Weiss (e-mail : [email protected] - tel : 022.756.13.61) Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 5 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Présentation de la semaine de la géométrie La Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM), qui regroupe des représentants des quatre ordres d’enseignement, de l’école enfantine à l’université, organise du 29 mars au 2 avril 2004 une « semaine de la géométrie ». Les écoliers et étudiants, mais aussi le grand public pourront s’essayer à cette discipline qui depuis plus de 2500 ans continue de fasciner ou de rebuter des générations d’élèves et donc de citoyens ! Un travail commun dans toutes les classes volontaires Confrontés à des connaissances de plus en plus nombreuses et diverses, il semble que nous ayons malheureusement tendance à cloisonner les savoirs de manière assez étanche. En mathématiques, cette constatation est particulièrement vraie. Il est regrettable que beaucoup pensent que les mathématiques enseignées au primaire, au secondaire, au post-obligatoire ou à l'université n'ont rien en commun. C’est pourtant souvent cette forte cohérence intrinsèque des mathématiques qui en fait leur beauté et leur efficacité, ainsi, il est vrai, que leur difficulté. Une manière de faire ressentir cette cohérence au plus grand nombre est de proposer de traiter des problématiques similaires à des élèves d’âges divers qui étudient dans des ordres d'enseignement différents. Un thème commun:"Quelles figures géométriques pavent le plan ? Le thème choisi, les pavages, permet justement de s’interroger sur le même problème avec des niveaux de traitement divers en posant des questions de difficultés différentes selon les élèves. Il permet de montrer combien des problèmes à priori simples peuvent mener à des réflexions profondes. Bien que la question "Quelles figures géométriques pavent le plan ?" puisse sembler anodine, elle peut être d'une redoutable difficulté ! Ce sujet peut être d’un accès aisé car très visuel ;il fait également appel à des connaissances utilisées dans des arts et des artisanats variés : en regardant une mosaïque, un pavage maure de l'Alhambra ou certaines œuvres d'Escher, on remarque combien la simple répétition d'une ou plusieurs formes à l'infini permet de libertés et induit ainsi des structures d'une beauté saisissante. Montrer comment les mathématiques jouent un rôle dans ces oeuvres offre un regard nouveau sur cette discipline qui trouve certainement aussi sa place dans l'esthétique, l'art, la culture et Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 6 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 dans bien d'autres aspects insoupçonnés de nos vies. Exemples de pavages Quelques questions mathématiques autour de la notion de pavages Peut-on paver le plan avec n’importe quel triangle ? Peut-on paver le plan avec n’importe quel quadrilatère ? Quels sont les figures géométriques qui permettent de paver le plan ? Pour les enseignants Concrètement, tous les enseignants intéressés par cette démarche se voient proposer des activités très détaillées (degrés concernés, énoncé destiné aux élèves, matériel, durée, propositions de déroulement, corrigés détaillés, …). Le thème central est toujours lié aux pavages via la question "Quelles figures géométriques pavent le plan ?" mais les questions sont spécifiquement destinées au niveau des élèves concernés. Un comité d’organisation se tient à leur disposition pour répondre à leurs éventuelles questions. Pour le grand public Cette semaine sera également l’occasion de mettre en lien les mathématiques et leur enseignement avec la cité, d’aller à la rencontre des citoyens et d’expliquer les objectifs et le sens d’un enseignement des mathématiques, par exemple en les invitant à une conférence tous public ou en leur proposant via les médias quelques petits problèmes abordables. Communiqué de presse Quoi ? La Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) organise une Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 7 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 semaine de la géométrie durant laquelle il s'agira de faire travailler les élèves de tous les ordres d'enseignement sur une problématique commune : "Quelles figures géométriques pavent le plan ?" Organisé par qui ? La CEM est une commission du DIP qui regroupe des représentants de tous les ordres d’enseignement, de l’école enfantine à l’université. Quand ? Du 29 mars au 2 avril 2004 Objectifs ? Faire travailler des classes volontaires de tous les ordres d’enseignement (EP-CO-PO) sur une problématique mathématique commune : les pavages du plan Créer un lien entre les mathématiques et leur enseignement et la cité et ses citoyens, expliquer les objectifs et le sens d’un enseignement des mathématiques, par exemple via une conférence tous publics ou en proposant quelques petits problèmes abordables dans les médias. Pour qui ? Pour tous les maîtres volontaires qui souhaitent participer avec leur(s) classe(s), pour toute personne intéressée via les événements organisés durant la semaine Informations et contacts pour les maîtres intéressés à travailler sur une activité de pavage avec leurs élèves : Jean-Pierre Bugnon (e-mail : [email protected] - tel : 022.309.35.50) pour toute autre information sur la Semaine de la Géométrie : Jean-Marie Delley (e-mail : [email protected] - tel : 022.792.36.34) Laura Weiss (e-mail : [email protected] - tel : 022.756.13.61) Exemples de pavages Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 8 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Commentaires généraux sur les activités proposées et sur la meilleure façon de les aborder en classe Types d'activités Il y a trois différents type d’activités proposées : 1. Activités de découverte : il s’agit de faire découvrir la notion de pavage aux élèves de diverses manières, selon le niveau auquel on s’adresse. 2. Activités démonstratives : étant donné un morceau du plan, en particulier une figure géométrique, déterminer si il pave ou non le plan. Par exemple, arriver au fait que tout triangle, que tout quadrilatère pave le plan ou que les seuls polygones réguliers qui pavent le plan sont le triangle, le carré et l'hexagone. 3. Activités d'application : soit construire (vision « artistique » des pavages) des pavages à l'aide d'algorithmes connus (Esher, enveloppe), soit (vision plus mathématique) démontrer d'autres résultats, par exemple les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Construction de séquences d'activités Il semble clair qu'une séquence d'activités doit commencer par une activité de découverte et d'appropriation de la notion de pavages, suivie d'une activité déductive, la spécificité des mathématiques résidant justement dans la démonstration d'une affirmation (même dans les petit degrés les élèves doivent être encouragés à expliquer le pourquoi de leur démarche, à justifier leurs résultats), et enfin terminer avec une application. Par exemple, on peut commencer par montrer divers pavages venant de l'architecture et des dessins d'Escher, afin, premièrement, de mettre en place la notion de pavage et, deuxièmement, de faire découvrir à l'élève la notion de pièces dans un pavage (intuitivement le morceau qui se répète). Cette approche peut amener l'élève à différencier les notions de domaine fondamental et de pavé. Une fois les notions de pavages et de pavé mises en place, l'élève devrait expérimentalement essayer de paver le plan avec diverses pièces. Cette activité devrait être motivée par la multiplicité des formes des pièces de base dans les exemples de pavages donnés. Le but étant de permettre à l'élève de se forger une conviction sur Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 9 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 l'affirmation qu’une pièce donnée pave le plan. Ceci amène à l'activité déductive. Elle doit permettre à l'élève de donner des justifications à certaines observations faites au terme de l'activité précédente, en particulier à certaines des affirmations suivantes : Tout triangle pave le plan. Tout quadrilatère simple pave le plan. Le pentagone régulier ne pave pas le plan. Les seuls polygones régulier qui pavent le plan sont le triangle, le carré et l'hexagone. Dans les activités purement déductives nous nous sommes restreints aux cas des pavages à une pièce du plan complet et non d'une partie du plan (contrairement au problème style tangram), on évite ainsi des problèmes de bords, si on ne parle pas de ce qui se passe à l'infini. En dernier lieu, puisque l'élève a vu que certaines pièces ne pavent pas le plan, mais que les pièces qui pavent peuvent être très irrégulières, il peut vouloir chercher des moyens algorithmiques de construction de pièces pavant le plan : méthode de l'enveloppe, explications d'Escher sur ces techniques de pavages ... Ceci serait une application. On peut aussi choisir une application plus mathématique en permettant de démontrer à l'aide des pavages les deux théorèmes les plus célèbres de la géométrie euclidienne, à savoir Pythagore et Thalès. Il est clair que pour des raisons de temps, toutes ces activités ne peuvent être effectuées dans les heures de mathématiques à disposition dans une semaine, il appartient donc à chaque enseignant de construire sa séquence d'activité en fonction de ses disponibilités et de son intérêt (si cela peut entrer dans le cadre du programme, il n’est évidemment pas nécessaire de se restreindre à la semaine proposée). La longueur de la scolarité primaire, avec des écarts importants de développement entre les élèves, amène à proposer des activités de pavage très différentes selon les degrés considérés. Il semble en particulier trop ambitieux d'envisager un pavage du plan infini dans les premiers degrés. Le temps envisagé, au CO et au PO étant de deux, éventuellement trois périodes de 45 minutes, il nous paraît indispensable de prévoir une activité de découverte et une d'appropriation de la notion. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 10 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Pour les élèves de la fin du CO et du PO, là où la notion de preuve mathématique est déjà abordée, il nous semble important de se centrer sur des activités démonstratives. Cela nou paraît plus intéressant de développer une argumentation déductive que de travailler des techniques de constructions de pavages. Nous proposons donc des activités de ce type. Des activités d’application pourraient être développées en parallèle dans le cadre d'une interaction avec les cours d’arts visuels ou graphiques. Objectifs visés a) Découvrir et s’approprier de la notion de pavage. b) Ressentir le besoin démonstratif du recouvrement complet du plan (si nécessaire à l'aide d'un problème paradoxal). c) En réponse au point b), essayer de démontrer le fait qu'un triangle quelconque pave toujours le plan. d) Si l'objectif c) a été réalisé facilement, essayer de démontrer que tout quadrilatère simple pave le plan. e) En alternative à d), démontrer que les seuls polygones réguliers qui pavent le plan sont le triangle, le carré et l'hexagone. Ceci a toujours pour but de développer l'argumentation démonstrative chez l'élève. Suite possible (plus mathématique) : Une autre direction non explorée ici serait celle-ci. partant d'une pièce qui pave le plan, décrire les isométries lui permettant de le paver. Ceci permet de familiariser l'élève avec les isométries et de lui faire percevoir la notion de groupe d'isométries. Cette direction pourrait être abordée après le point e) en remarquant que les groupes d'isométrie du triangle et de l'hexagone sont isomorphes entre eux, mais pas avec celui du carré. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 11 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Tableau résumé des activités Titre Descriptif rapide de l’activité Recouvrir un carré Un peu de carrelage Paver le plan Recouvrez exactement un carré - sans trou ni chevauchement - avec des pièces données Recouvrez exactement un carré - sans trou ni chevauchement - avec des pièces données Quelles sont les pièces qui permettent de paver exactement le carré - sans trou ni chevauchement en utilisant toujours la même pièce ? Un pentomino est une figure formée de 5 carrés identiques qui ont au moins un côté commun. Chercher tous les pentominos différents …, Quels sont les pentominos avec lesquels on pourrait, si on en avait un nombre infini, recouvrir une table infiniment grande ... Certaines pièces peuvent paver une homothétie d'elle-même Inventer un motif décoratif qui pave le plan, par déformation d'un carré, d'un triangle ou d'un parallélogramme en utilisant un site internet Avec les jeux de pièces fournies, les élèves doivent essayer de paver le plan. d'après MERM G126 La méthode de l'enveloppe Par déformation d'un pavage, obtenir de beaux pavages Chercher le pavé Par des exemples visuels de pavages, faire dégager aux élèves la notion de pavé et de domaine fondamental Dans le cas où les élèves donneraient des justifications visuelles, présenter un tel paradoxe serait très utile pour mettre en défaut des " connaissances " non prouvées que les élèves emploient. Démontrer que tout triangle pave le plan Recouvrir un carré Paver un carré Pentominos Reptuiles Déformations Le problème paradoxal, une découpe de Lewis Carroll Les triangles pavent Niveau (indicatif) Type de l’activité 1E-2E Découverte 2E-1P-2P Découverte 1P-2P-3P-4P Découverte déduction 3P-4P-5P Découverte déduction 3P-4P-5P Appropriation, découverte Découverte déduction 4P-5P-6P Tous niveaux 5-6 P 7-8-9 CO 10-11 PO 5–6 P 7ABC-8/9AB 10-11 PO 8-9 CO 10-11 PO Appropriation, découverte Argumentation déductive Applications Appropriation, découverte 8-9 CO 10-11 PO Déstabilisation 8-9 CO 10-11 PO Argumentation Argumentation déductive déductive Les quadrilatères pavent Démontrer que tout quadrilatère simple pave le plan Pavages par polygones réguliers Une preuve de Pythagore par pavages Une preuve de Thalès par pavages Démontrer que les seuls polygones réguliers qui pavent le plan sont le triangle, le carré et l'hexagone 8-9 CO 10-11 PO 8-9 CO 10-11 PO Une application des pavages : une démonstration de Pythagore par superposition de deux pavages carrés. 9 CO 10-11 PO Applications Par pavage de triangles par des plus petits triangles 9 CO 10-11-12-13 PO Applications Argumentation déductive Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 12 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Il est clair que ces activités ne peuvent pas toutes être réalisées dans le temps imparti. Il convient donc de choisir parmi les deux activités d'appropriation celle qu’on veut proposer. Il en est de même pour les activités démonstratives et pour les applications. L'activité de déstabilisation n’est utilisée qu'au cas où les élèves ne ressentiraient pas le besoin de démontrer. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 13 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Quelques éléments théoriques sur la notion de pavage Définition Un pavage du plan est une famille dénombrable de surfaces (sous-ensembles fermés du plan){S1,S2,S3,...} qui recouvrent le plan tout entier et dont les intérieurs sont disjoints, ce qui est équivalent au fait que les Si s'intersectent sur le bord (l'intérieur d'une surface Si étant Si moins son bord). Le bord étant la ligne qui délimite la surface. Remarque Un pavage peut avoir une infinité de pièces différentes. Nous ne nous intéresserons qu'aux pavages ayant un nombre fini de pièces différentes, l'ensemble des pavés, et surtout aux pavages formés par un seul pavé. Pavages périodiques Parmi ces pavages certains sont périodiques, c'est-à-dire qu'il existe des isométries (autres que l'identité) du plan qui préservent le pavage. C'est à ces pavages que nous allons nous intéresser. On appelle le groupe du pavage l'ensemble des isométries du plan préservant le pavage. Rappelons qu'une isométrie du plan est une application f du plan dans lui-même qui préserve les distances (i.e. Pour tout x et y dans le plan d(x,y)= d(f(x),f(y)) ) et que l'ensemble des toutes ces applications forme un groupe pour la composition, notée fog(x) et définie par fog(x)=f(g(x)). Parmi toutes les isométries, certaines préservent le pavage, c'est-à-dire que l'image de tout Si par l'application f est un Sj : f(Si)= Sj. Dans le cas d'un pavage périodique, on appelle domaine fondamental du pavage (ou motif minimal du pavage MERM[2]) un sous-ensemble du plan dont les images par le groupe du pavage, redonnent le pavage de départ et tel que tout point du plan soit essentiellement dans une et une seule image (le problème pouvant venir des points sur le bord du domaine fondamental). Techniquement si le domaine fondamental a un intérieur non vide, alors tout point de l'intérieur a une unique image dans chacune des images du domaine fondamental. Pour un pavage, il y a plusieurs domaines fondamentaux possibles. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 14 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Il est important de noter que les notions de pavé et de domaine fondamental ne coïncident pas toujours. Si le pavage a un unique pavé, mais que le pavé a une (ou plusieurs) symétrie(s) alors un domaine fondamental sera une partie du pavé qui le recouvre en utilisant cette (ou ces) symétrie(s). Exemple : Le pavage carré, dont un domaine fondamental est donné par un triangle rectangle formé par le centre du carré, le milieu et l'extrémité d'un côté, voir en annexe pour le dessin. Si le pavage a plusieurs pavés, alors un domaine fondamental contient au moins une partie de chaque pavé, voir par exemple le pavage poisson oiseau d'Escher (voir plus loin). Exemple : Dans [2], p.155, on montre comment rechercher ce domaine fondamental (voir image deux pages plus loin) Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 15 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Remarque Il existe des pavages non périodiques, exemple le pavage spiral p.22 [1]. Exemple de pavage non périodique à un seul pavé : Quelques définitions et résultats pouvant être utiles dans certaines activités Définitions Un polygone est une suite finie de segments de droite (s1,...,sn) orientés tels que la fin de si est le début de si+1 pour i allant de 1 à n-1 et la fin de sn est le début de s1. C'est équivalent à la donnée d'une suite finie de points du plan (P1,...,Pn), les segments si étant donné par [Pi,Pi+1] pour i allant de 1 à n-1 et sn étant donné par [Pn,P1]. Il est important de remarquer que l'ordre des Pi est important. Les si s'appellent les arêtes et les Pi les sommets du polygone. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 16 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Un polygone régulier est une polygone convexe ayant tous les côtés et tous les angles au sommet égaux (isométriques). Un polygone est simple si ses arêtes ne s'intersectent qu'en ses sommets et que tous ses sommets sont distincts. Résultats Les isométries du plan sont : les symétries axiales, les rotations, les translations et les transsymétries (i.e. composition d'une symétrie axiale avec une translation parallèle à l'axe de symétrie), les symétries centrales étant des rotations de 180°. Le théorème des angles alternes-internes. La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. La somme des angles d'un polygone à n côtés vaut (n-2) fois 180 degrés. Eléments de bibliographie : [1] Grunbaum and Shephard, Tilings and patterns, date? [2] MERM : Chastellain, Calame, Brêchet, Mathématiques 7-8-9 Géométrie, 2003. Pavage poissaux-oiseaux Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 17 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Recouvrir un carré 1E-2E » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires Recouvrir un carré Découverte 1E-2E Recouvrez exactement un carré - sans trou ni chevauchement - avec des pièces de la boîte. Cherchez chaque fois une autre façon de recouvrir le carré (on ne tient pas compte des différences de couleurs). Une boîte de surfaces ASEN complète Un grand nombre de carrés de 10x10 cm, en mi-carton 30 minutes Recherche collective (en groupe de 4 à 6 élèves). Lorsqu'un élève pense avoir trouvé une nouvelle solution, il la compare aux solutions déjà trouvées, et l'ajoute à la collection si elle est réellement nouvelle. Observer et reconnaître des formes géométriques simples. Comparer des formes géométriques pour les identifier et les différencier. Au départ, il est fréquent que les élèves estiment comme différents des recouvrements identiques, soit parce que les couleurs sont différentes (rappeler la consigne), ou parce que leur carré est orienté différemment (proposer de comparer leur carré avec les autres en le faisant tourner sur lui-même). Figures géométriques (similitudes et particularités) Chercher toutes les façons de recouvrir un carré, en utilisant chaque fois exactement 5 pièces. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 18 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Recouvrir un carré 2E-1P-2P » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires Recouvrir un carré Découverte 2E-1P-2P Recouvrez exactement votre carré - sans trou ni chevauchement - avec des pièces de la boîte. Cherchez chaque fois une autre façon de recouvrir le carré (on ne tient pas compte des différences de couleurs). Dessinez les solutions nouvelles. Une boîte de surfaces ASEN complète Un carré de 10x10 cm, en mi-carton, par élève Des feuilles carrées de 15x15 cm, comportant un carré dessiné de 10x10 cm. 30-45 minutes Recherche collective (en groupe de 4 à 6 élèves). Lorsqu'un élève pense avoir trouvé une nouvelle solution, il la compare aux solutions déjà trouvées, et la dessine si elle est réellement nouvelle. Reconnaître, décrire et nommer des surfaces selon leur forme. Reproduire des figures géométriques. Au départ, il est fréquent que les élèves estiment comme différents des recouvrements identiques, soit parce que les couleurs sont différentes (rappeler la consigne), ou parce que leur carré est orienté différemment (proposer de comparer leur carré avec les autres en le faisant tourner sur lui-même). Il est normal que les plus jeunes élèves représentent leur solution en dessinant séparément le contour de chaque pièce. Peu à peu, certains dessinent - avec plus ou moins de précision - le partage du carré correspondant à leur recouvrement. L'enseignant n'intervient que si le dessin ne permet pas de reconnaître la solution représentée. Figures géométriques (similitudes et particularités) Chercher toutes les façons de recouvrir un carré, en utilisant chaque fois exactement 5 pièces. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 19 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Paver un carré » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires Paver un carré Découverte - déduction 1P-2P-3P-4P Quelles sont les pièces qui permettent de paver exactement le carré - sans trou ni chevauchement - en utilisant toujours la même pièce ? Dessinez vos solutions. Une boîte de surfaces ASEN complète Un carré de 20x20 cm, en mi-carton, par élève Des feuilles de 20x20 cm 30-45 minutes Recherche collective (en groupe de 3 élèves). Reconnaître, décrire et nommer des surfaces selon leur forme. Décomposer une surface en surfaces élémentaires. Reproduire des figures géométriques Comparer des grandeurs par manipulation de surfaces. Certaines pièces ne se trouvent pas en nombre suffisant pour paver effectivement le carré. Les élèves devront donc extrapoler. 10 pièces permettent de paver le carré de 20x20 : 2 carrés (10x10 et 5x5), 2 rectangles (10x5 et 5x2,5), les 4 triangles isocèles rectangles, et 2 triangles rectangles non-isocèles (les moitiés des rectangles ci-dessus). Figures géométriques (similitudes et particularités) Mesure d'aire Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 20 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Pentominos » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Pentominos Découverte - déduction 3P-4P-5P Un pentomino est une figure formée de 5 carrés identiques qui ont au moins un côté commun. 1ère partie : Cherchez tous les pentominos différents, découpez-les sur le papier quadrillé. Deux pentominos sont différents s'il est impossible de les superposer. 2ème partie : Quels sont les pentominos avec lesquels on pourrait, si on en avait un nombre infini, recouvrir une table infiniment grande (en utilisant toujours la même pièce) ? Montrez comment sur une feuille quadrillée. Par élève, 5 carrés de 2x2cm en mi-carton pour chercher les différents pentominos. Des feuilles quadrillées 2x2 cm (à imprimer) 2 périodes de 45 minutes Pour la première partie, la recherche est individuelle. Après 5 à 10 minutes de recherche, l'enseignant demande quel est le plus grand nombre de pièces trouvées, relance l'activité en demandant "Qui en trouve plus ?", puis annonce régulièrement le nouveau score. Lorsque plus aucun nouveau pentomino n'est trouvé, une mise en commun permet de constituer la collection de tous les pentominos différents. La validation est à la charge des élèves, c'est à eux de décider si un nouveau pentomino proposé est effectivement différent des autres. Si la classe ne trouve pas les 12 pentominos différents, l'enseignant annonce le nombre de pentominos manquant, et relance la recherche. Pour la deuxième partie, le travail se fait en petits groupes (de 3-4 élèves) qui mettent leurs pièces en commun. Si nécessaire, ils fabriquent des pentominos supplémentaires. Anticiper la forme ou la position d'une figure après une ou plusieurs transformations géométriques. Réaliser des frises et des pavages à l'aide de transformations géométriques. Symétrie axiale, translation, rotation. Voir page suivante Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 21 Semaine de la géométrie Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires 29 mars au 2 avril 2004 1ère partie : la difficulté principale réside dans la reconnaissance de l'identité de deux mêmes pentominos placés différemment (en particulier s'il y a rotation et symétrie axiale). Montrer qu'une pièce découpée peut être retournée. 2e partie : en fait, tous les pentominos pavent le plan. La méthode de pavage apparaît rapidement pour certaines pièces, mais est moins évidente pour d'autres. Pour relancer la recherche, organiser une mise en commun intermédiaire. Demander à chaque groupe de dire quels sont les pentominos qui, selon eux, pavent le plan (sans montrer la méthode de pavage), et confronter les propositions. Pavage d'un plan fini : quels sont les pentominos qui permettent de paver un rectangle ? Dessin Voir page suivante Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 22 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexe à l’activité « Pentominos » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 23 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Reptuiles » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires Reptuiles Découverte - déduction 3P-4P-5P Voir Livre de l'élève 4P, p.29 Papier quadrillé 4 ou 5 mm (et 1 cm pour la relance) 30-45 minutes Travail individuel Anticiper la forme ou la position d'une figure après une ou plusieurs transformations géométriques. Repérer les invariants et les principales propriétés des déplacements et de l'homothétie. Translation, rotation, similitude. La recherche sur papier quadrillé est difficile, et peut être gênée par des erreurs de dessin. Si nécessaire, proposer de découper une pièce à 4 exemplaires dans du papier quadrillé 1 cm. Inventer d'autres reptuiles Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 24 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexe à l’activité « Reptuiles » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 25 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Déformations » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires Déformations Découverte - déduction 4P-5P-6P Inventez un motif décoratif qui pave le plan, par déformation d'un carré, d'un triangle ou d'un parallélogramme. Un ordinateur connecté à internet. Papier quadrillé, papier calque 2-3 périodes de 45 minutes Lancer l'activité par l'observation à l'écran des animations montrant des pavages du plan par déformations de polygones. Ces animations se trouvent sur http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/textes/ (aller dans Magie/Inventer des motifs/ Déformations) Observer en particulier les déformations par symétrie centrale, les translations, et chercher les moyens de les effectuer(découpage, papier calque). Laisser ensuite les élèves rechercher par tâtonnement le moyen de produire des figures en utilisant les mêmes procédés. La meilleure méthode pour vérifier si la figure pave (et le cas échéant pour réaliser le pavage) consiste à la découper avec précision dans un papier bristol, puis à l'utiliser comme chablon avec un crayon très fin. Reproduire des formes géométriques à l'aide d'isométries. Translation, symétrie centrale. Une analyse approfondie de tous les cas de figure est publiée dans la revue Math-Ecole, n° 207 à 210. A partir d'un triangle quelconque, seules les déformations par symétrie centrale des côtés du triangle aboutissent à des figures pavant le plan.. Il n'est pas si simple de produire une figure décorative, en particulier si on désire qu'elle soit figurative. Somme des angles d'un triangle, d'un quadrilatère. Dessin Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 26 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Un peu de carrelage » Titre de l'activité Un peu de carrelage. Type d'activité Découverte de la notion de pavage. Degrés scolaires Tous niveaux indicatifs Enoncé destiné aux Pouvez-vous recouvrir le plan (votre table) avec les pièces que vous avez, élèves si vous en aviez suffisamment? Connaissances mathématiques nécessaires Matériel Pour les classes du CO et du PO, 5 jeux de 10-15 pièces. A réserver pour un jour donné lors de l’inscription (avec un deuxième jour de choix possible). Pour les classe de l’EP, imprimer les pages suivantes et faire découper aux élèves très précisément les figures, si possible sur du papier cartonné. Durée 30mn environ Propositions de Distribuer les pièces aux groupes d'élèves, après un moment faire tourner déroulement les jeux de pièces Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) MERM géométrie, mesure de l'angle d'un polygone régulier, p181. Faire prendre conscience aux élèves que l'on peut déborder hors de la table (le plan n'ayant "pas de bord") et que le recouvrement ne doit contenir de trous. Il est possible que l'élève se bloque avec une configuration de pièces le menant dans une impasse. Confronter les résultats des groupes ayant les mêmes pièces. Il peuvent se rendre compte qu'une condition nécessaire pour que les pièces pavent est que les angles des pièces se rejoignant en un sommet vaut 360 degrés. Notions La notion de pavage, la notion d'angle au sommet d'un polygone régulier. mathématiques La somme des angles d'un triangle (ou plus généralement d'un n-gone) susceptibles d'être vaut 180 degrés ((n-2)180 degrés) mises en évidence Développements Classification des polygones réguliers qui pavent le plan et démonstration possibles que les autres polygones réguliers ne pavent pas. Démonstration que tout triangle pavent le plan. Démonstration que tout quadrilatère simple pavent le plan. Liens interdisciplinaires Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 27 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 28 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 29 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 30 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 31 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 32 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » :éléments de solution Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 33 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » : éléments de solutions Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 34 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » : éléments de solutions Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 35 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » : éléments de solutions Le pentagone ne pave pas ! Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 36 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Un peu de carrelage » : éléments de solutions Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 37 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Paver le plan » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Notions mathématiques utiles Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Paver le plan à l’aide de figures géométriques (d’après MERM G126 ). Travail de découverte et/ou de déduction 5-6-7-8-9-10-11 cf. MERM Géométrie 126 (en annexe) Et peut-on paver le plan avec un pentagone régulier ? Notion de pavage, pentagone régulier. Papier pointé ou quadrillé, feuilles blanches, ciseaux, matériel usuel de géométrie Eventuellement découpages préparés des figures géométriques de l’ex. 126 2 x 45 minutes Remarque préalable : l’exercice MERM G126 est une activité assez longue qui allie découverte et/ou déduction. Selon le choix de l’enseignant, elle peut être découpée en plusieurs parties, ou proposée entièrement aux élèves. Elle a été choisie aussi car elle se trouve dans les MERM. Recherche individuelle ou par groupes, de type découverte, avec liberté des outils, dessin ou figures découpées (préalablement ou non) Mise en commun, autour de la question « peut-on paver le plan avec les figures proposées ? », analyse des manipulations et formulation des convictions forgées suite aux manipulations Mobilisation de connaissances mathématiques pour justifier les réponses, (preuve par le calcul d’angles ou les transformations géométriques des possibilités ou impossibilité de pavage) Selon la classe, généralisation à tous les quadrilatères, traitement spécifique des pentagones Plan d’études du CO : Permettre aux élèves de modéliser l’espace physique et de résoudre des problèmes de maîtrise de l’espace physique. Etudier les figures élémentaires de la géométrie plane et les isométries du plan pour la résolution de problèmes variés. Passer progressivement d’une géométrie perceptive à une géométrie théorique en s’appuyant sur les figures et leurs propriétés dans le cadre de la géométrie plane. Utiliser ce domaine pour initier les élèves à diverses formes de raisonnement utilisées en mathématiques et en particulier au raisonnement déductif. Moyens d’enseignement MERM : G126, G119, G123, G125, G127 Commentaires : suivant l’âge et les compétences des élèves, ils exhiberont des solutions des cas particuliers proposés, ou prouveront que tous les quadrilatères pavent le plan. Pour les pentagone les élèves devront réaliser que cela dépend des cas. Voir page suivante Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 38 Semaine de la géométrie Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires 29 mars au 2 avril 2004 A partir d’essais (découpages ou dessins), qui devraient aboutir rapidement à la conclusion que le premier quadrilatère pave le plan, les élèves seront encouragés à généraliser la situation à tous les quadrilatères convexes. Le quadrilatère concave est plus difficile, mais sa solution peut être une piste pour le pentagone concave (cf. solution en annexe). Pour éviter des généralisations abusives le pentagone régulier a été ajouté comme contre-exemple. La recherche d’une preuve que tous les quadrilatères pavent le plan peut être l’aboutissement de l’activité. Somme des angles des angles d’un polygone (triangle, quadrilatère, pentagone) Symétrie centrale, translation, rotation : définitions et propriétés. Vocabulaire de la géométrie Traiter d’autres figures géométriques pour paver le plan (y compris le disque). Aborder la notion de motif minimum, celui qui permet uniquement par translation de reconstituer le pavage. Arts visuels: belles constructions, dessins précis, harmonie de couleurs. Histoire de l’art : pavages dans la ville, œuvres d’art (Alhambra, Escher) Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 39 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » MERM Géométrie Exercice 126 À l’aide d’une feuille quadrillée, essaye de paver le plan avec des pavés isométriques, comme : a) celui-ci b) ou celui-ci c) ou encore cet autre, mais cette fois sur une feuille blanche : Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 40 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 41 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 42 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 43 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » : éléments de solution Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 44 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » : éléments de solution Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 45 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » : éléments de solution Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 46 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Paver le plan » : éléments de solution Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 47 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « La méthode de l'enveloppe » Titre de l'activité Méthode de l'enveloppe. Type d'activité Interdisciplinaire mathématiques - arts visuels Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Matériel 5P - 6P - 7ABC - 8AB - 9AB - 10PO (M, D, CF) - 11D A l'aide de la méthode de l'enveloppe expliquée ci-après construis un pavage original du plan. Explication de la méthode de l'enveloppe : voir le site http://www.mathkang.org/pdf/trucenveloppe.pdf ou aussi : http://www.mathkang.org/pdf/paver.pdf et http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/textes/pavage_e nveloppe.htm Durée 45 minutes ou plus suivant l'implication de l'enseignant d'art visuels Propositions de Distribuer aux élèves l'explication écrite de la méthode de l'enveloppe déroulement après l'avoir exemplifiée et justifiée. Leur proposer d'être créatifs. Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Plan d'études du CO : Permettre aux élèves de modéliser l'espace physique et de résoudre des problèmes de maîtrise de l'espace physique. Etudier les figures élémentaires de la géométrie plane et les isométries du plan pour la résolution de problèmes variés Moyens d'enseignement MERM 7-9 G119 Commentaires : après avoir raisonné sur les figures qui pavent ou non le plan, on pourra encourager les élèves à produire un beau pavage relativement complexe avec l'aide de cette méthode. On montrera plusieurs exemples de réalisations possibles Deux écueils peuvent se présenter : les élèves minimalistes et les élèves trop ambitieux eu égard à leurs capacités. Il s'agira donc de les aider à se lancer dans un travail suffisamment difficile pour être original et beau mais atteignable. Les « modèles » peuvent avoir un rôle incitatif certain. Il est parfois difficile pour les élèves d'être assez précis et soigneux pour que le résultat soit valorisant. Isométries du plan : translation, rotation, symétrie centrale, Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements Traiter des isométries par la méthode de l'enveloppe possibles Liens Arts visuels : belles constructions, dessins précis, harmonie de couleurs interdisciplinaires Histoire de l'art : découverte des pavages dans la ville, dans des oeuvres d'art (Alhambra, Escher) Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 48 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Chercher le pavé » Titre de l'activité Chercher le pavé Type d'activité Découverte de la notion de pavage. Degrés scolaires 8-9-10-11 indicatifs Enoncé destiné aux Quel est (sont) la (les) pièce(s) permettant de construire cette image? élèves Connaissances mathématiques nécessaires Matériel Image de pavages (dessin d'Escher, pavage de l'Alhambra) MERM géométrie page 120. Durée 30mn environ Propositions de Amorce : Verbalement demander aux élèves ce qu'est pour eux un pavé et déroulement un pavage. Montrer un pavage simple (par exemple un damier ou un pavage en spirale, voir dans les exemples en annexe) et découvrir ensemble la pièce qui se répète. Donner aux élèves des pavages plus difficiles (soit formés de plusieurs pièces, soit avec une pièce de forme délicate). Exemple : le tableau d'Escher poissons-oiseaux (MEMR p.120). Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles MERM géométrie, isométries p.121-123 MERM géométrie, motif minimal p.155 L'élève trouvera soit plusieurs pièces (dans l'exemple choisi un poisson et un oiseau) ou les considèrera comme étant une seule pièce, allant dans la direction du motif minimal (aussi appelé domaine fondamental). La notion de pavage, la notion de domaine fondamental (qui n'est pas toujours identique aux pavés) Les isométries permettant à partir d'un pavé de recouvrir le plan. Liens Architecture, histoire de l'art, interdisciplinaires arts graphiques Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 49 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexe à l’activité « Chercher le pavé » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 50 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité «Le problème paradoxal, une découpe de Lewis Carroll» Titre de l'activité Le paradoxe de Lewis Carrol. (Oui l'auteur d'Alice au pays des merveilles était un mathématicien). Type d'activité Activité fermée de déstabilisation. Faire ressentir le besoin de démonstration. En partant de deux "découpes" de deux rectangles différents et d'aire différente, le paradoxe naît de la constatation que les deux découpes contiennent chacune les quatre mêmes pièces et qu'ils devraient avoir la même aire. Voir le dessin ci-dessous. Degrés scolaires 8-9-10-11 indicatifs Enoncé destiné aux Voila les découpes de deux rectangles, il y a quatre pièces qui élèves apparaissent chacune une fois dans ces deux découpes, calculez l'aire des deux grands rectangles. Que constatez-vous? Découpez les pièces du carré et placez-les sur les pièces du rectangle. Que constatez-vous? Que concluez-vous de ces deux observations? Connaissances La formule de calcul de l'aire d'un triangle ou d'un rectangle. mathématiques L'additivité de la mesure d'aire. nécessaires La pente, le théorème de Thalès ou la trigonométrie. Matériel Une feuille avec les deux découpes paradoxales Durée 10-15 minutes Propositions de Faire calculer aux élèves les aires des rectangles . Après avoir vérifié déroulement "physiquement" le recouvrement du rectangle par les pièces du carré, 's'interroger sur le fait que les deux découpes ont exactement les mêmes pièces et pas la même aire. Laisser partir la discussion. Essayer de montrer que la "diagonale" d'un des rectangles est en fait une ligne brisée et donc qu'il y a recouvrement d'une partie par une autre (si disponible, la trigonométrie peut aider). Références aux La formule de calcul de l'aire d'un triangle ou d'un rectangle, d'un trapèze, contenus d'un rectangle. d'enseignement, plans La conservation de l'aire par découpage (contenu implicite rarement d'études et moyens énoncé) d'enseignement Argumentation et recherche d'hypothèses : "Comment justifier cette différence d'aire?" La pente d'une droite (CO). La tangente (PO). Analyse préalable de Peut-être que certains élèves ne verront même pas où est le problème? l'activité (démarches Faire apparaître deux manières de calculer l'aire soit par la formule pour prévisibles des élèves, les rectangles soit par la somme des aires des pièces des découpes. interventions de l'enseignant) Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 51 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Notions Pente d'une droite. L'additivité de l'aire. mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements La suite de Fibonacci possibles Liens Le rapport d'or, la spirale logarithmique. interdisciplinaires Le paradoxe : "Que se passe-t-il de l'autre côté du miroir?" Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 52 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexe à l’activité « Le problème paradoxal, une découpe de Lewis Carroll » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 53 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Les triangles pavent » Titre de l'activité Les triangles pavent-ils le plan? Type d'activité Situation problème ouvert. Activité déductive avec justification. Cette activité devrait suivre une activité de découverte des pavages. Degrés scolaires 8-9-10-11 indicatifs Enoncé destiné aux Quels types de triangle pavent le plan ? élèves Connaissances La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. mathématiques nécessaires Matériel Papier quadrillé ou blanc et règle graduée Durée 45mn-60mn Propositions de Travail en petits groupes. Demander d'essayer de paver le plan avec déroulement plusieurs types de triangles, puis de donner les raisons qui font que tel type de triangle pavent le plan. Après 30 minutes, confronter les résultats, puis donner une preuve si cela n'a pas encore été fait par les élèves. Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. Egalité des angles alternes internes. Cas d'égalité des triangles. Résultats possibles justes: triangles équilatéraux, rectangles, Résultats possibles faux: isocèle dont l'angle au sommet divise 360. Dans le cas d'argumentation visuelle du style « on voit que ça marche », on peut introduire un problème paradoxal, style Lewis Carrol. Donner une preuve, soit par un élève soit par l'enseignant, si possible en partant des résultats obtenus par les élèves. Dans le cas où la preuve serait vite trouvée, passer au quadrilatères. La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. Le théorème des angles alternes-internes. Une diagonale d'un parallélogramme détermine deux triangles égaux. Les quadrilatères pavent L'hexagone pavent partir du triangle équilatéral. Liens interdisciplinaires Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 54 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexe à l’activité « Les triangles pavent » Une démonstration que les triangles pavent le plan. Soit T un triangle. Appelons ces angles : , et . Faisons une rotation de 180° d'une copie de ce triangle au milieu d'un ses côtés. Nous obtenons un parallélogramme, car les angles alternes-internes sont égaux. En disposant un parallélogramme isométrique sur un de ses côtés, nous obtenons à nouveau un parallélogramme, car la somme des angles d'un triangle vaut un angle plat (180°) et que si deux droites sont parallèles à une troisième, elles sont parallèles entre elles. Il suffit de répéter ce processus. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 55 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Les quadrilatères pavent » Titre de l'activité Quels quadrilatères pavent le plan? Type d'activité Situation problème ouvert. Activité déductive avec justification. Cette activité devrait suivre une activité de découverte des pavages. Degrés scolaires 8-9-10-11 indicatifs Enoncé destiné aux Quels types de quadrilatères pavent le plan? élèves Connaissances La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. mathématiques La notion de quadrilatère simple. nécessaires La somme des angles d'un quadrilatère simple vaut 360 degrés. Matériel Papier blanc ou quadrillé, règle graduée Durée 45mn-70h Propositions de Laisser les élèves en petits groupes, demander d'essayer de paver le plan déroulement avec plusieurs quadrilatères et de dire quels types de quadrilatère pavent le plan. Après 30 minutes, confronter les résultats, puis donner une preuve si cela n'a pas encore été fait par les élèves. Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. Détermination et propriétés des quadrilatères. Une preuve du fait que tout quadrilatère pave le plan devrait être donnée à la fin de l'activité. La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. Le théorème des angles alternes-internes. Pavages par bandes (ligne brisée ou courbe) Périodicité. Liens Mouvement ondulatoire. interdisciplinaires Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 56 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexe à l’activité « Les quadrilatères pavent » Démonstration que les quadrilatères dont les côtés ne s'intersectent qu'aux sommets pavent le plan. Soit Q un quadrilatère simple. Appelons ces angles : , , et . Faisons une rotation de 180° d'une copie de ce quadrilatère au milieu de chacun de ses côtés, il faut donc quatre copies. Nous obtenons : Les côtés se confondent, car chacun des sommets d'un côté est se retrouve sur l'autre sommet du même côté. En chaque sommet du quadrilatère de départ, il y a maintenant trois angles. Chacun est isométrique à un des angles de Q. En chacun de ces quatre sommets, l'angle que forme la partie non pavé du plan est isométrique au quatrième angle de Q, car la somme des angles d'un quadrilatère simple vaut un angle plein (360°). Il suffit donc d'y "mettre" une copie de Q. Pour la même raison que ci-dessus, les côtés se confondent. Nous obtenons : Et ainsi de suite … Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 57 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexe à l’activité « Les quadrilatères pavent » Démonstration que les quadrilatères dont les côtés ne s'intersectent qu'aux sommets pavent le plan. Soit Q un quadrilatère simple. Appelons ces angles : , , et . Construisons la diagonale ( ou une des diagonales) issue du (d'un des) sommet(s) ayant le plus grand angle, elle est obligatoirement à l'intérieur du quadrilatère. Dans notre exemple : [BD] Cela donne deux triangles. La même démarche que le pavage par un pavé de forme triangulaire donnera un pavage du plan. Puis Etc … Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 58 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Pavages par polygones réguliers » Titre de l'activité Pavages par polygones réguliers. Type d'activité Situation problème ouvert. Activité déductive avec justification. Cette activité devrait suivre une activité de découverte des pavages. Degrés scolaires 8-9-10-11 indicatifs Enoncé destiné aux Quels sont les polygones réguliers qui pavent le plan? élèves Connaissances Notion de polygone régulier, somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. mathématiques nécessaires Matériel Durée 40-45 min Propositions de Laisser les élèves réfléchir un moment seuls ou par groupes. déroulement Après un moment si les élèves ont obtenus le carré et ou le triangle relancer par l'hexagone. S'ils trouvent les trois et ne ressentent aucun besoin de justification autre que d'avoir trouvé. Essayer de susciter le besoin de preuve par le cas du pentagone. Tenter de faire émerger la valeur en degrés d'un tour complet et l'idée de calculer la somme des angles en chaque sommet. Après 30 minutes, confronter les résultats, puis donner une preuve si cela n'a pas encore été fait par les élèves, en remarquant que seuls les angles des trois polygones cités ont un multiple égal à 360 degrés. Références aux La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. contenus La définition d'un polygone régulier, carré, triangle équilatéral, pentagone, d'enseignement, plans hexagone, ... d'études et moyens MERM géométrie 198 p.181, mesure de l'angle au sommet d'un polygone d'enseignement régulier. Analyse préalable de Les élèves ne devraient pas rencontrer de difficultés pour observer que les carrés et l'activité (démarches les triangles équilatéraux pavent le plan. Ce manque de difficulté devrait les inciter à prévisibles des élèves, se contenter de l'évidence graphique pour conclure. interventions de Pour constater que l'hexagone pave, deux processus sont probables, soit comme l'enseignant) conséquence du pavage par triangles équilatéraux, soit par juxtaposition d'hexagones. Comme il est probable que peu d'élèves calculent l'angle au sommet, une relance possible par le pentagone régulier (voir l'octogone) sera certainement nécessaire pour faire émerger le calcul d'angle. Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires Le calcul de l'angle au sommet d'un polygone régulier. La notion d'isométrie. L'angle de 360 degrés Les groupes d'isométries d'un pavage Les pavages en architectures sont souvent basés sur des pavages réguliers. La structure de la lave refroidie est souvent hexagonale, les rayons des abeilles sont hexagonaux. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 59 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Pavages par polygones réguliers » :éléments de solution Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 60 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Une preuve de Pythagore par pavages » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Connaissances mathématiques nécessaires Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisciplinaires Une preuve du théorème de Pythagore par pavage. Application. Illustration ou « monstration » Cette activité devrait suivre une activité de découverte des pavages ou même une activité déductive. 9/10/11 A l'aide des trois dessins donnés, se convaincre que le théorème de Pythagore est vrai. On rappelle que le théorème de Pythagore affirme que Si ABC est un triangle rectangle en C, alors (AC)2 + (BC)2 = (AB)2 . Conservation des aires par l'addition et déplacement. Cas d'égalité des triangles en particulier (angle, côté, angle). La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. Les trois dessins donnés 15mn. On peut commencer par le pavage carré et le pavage racine de deux fois plus grand. Distribuer les trois dessins, demander aux élèves de rédiger un texte qui en les commentant, illustre que le thm de Pythagore est vrai. théorème de Pythagore Concept de thm (se démontre), conservation des aires par l'addition Que manque-t-il pour en faire une démonstration ? Dessin, Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 61 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Une preuve de Pythagore par pavages » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 62 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Une preuve de Pythagore par pavages » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 63 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Annexes à l’activité « Une preuve de Pythagore par pavages » Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 64 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Activité « Une preuve de Thales par pavages » Titre de l'activité Type d'activité Degrés scolaires indicatifs Enoncé destiné aux élèves Connaissances mathématiques nécessaires Matériel Durée Propositions de déroulement Références aux contenus d'enseignement, plans d'études et moyens d'enseignement Analyse préalable de l'activité (démarches prévisibles des élèves, interventions de l'enseignant) Notions mathématiques susceptibles d'être mises en évidence Développements possibles Liens interdisc. Une preuve du théorème de Thalès par pavage. Application. Illustration ou « monstration » Cette activité devrait suivre une activité de découverte des pavages ou même une activité déductive. 9/10/11/12/13 On rappelle que le théorème de Thalès affirme que : Deux triangles ABC et A'B'C', sont semblables si et seulement si leurs côtés respectifs sont proportionnels. C’est-à-dire, si on note a la longueur du segment [B,C] et a' la longueur du segment [B',C'] (respectivement b et b' pour les segments [A,C] et [A',C'] et c et c' pour les segments [B,C] et [B',C']), il faut montrer que si ABC et A'B'C' sont semblables et que si a/a' est entier, alors a/a'=b/b'=c/c'. Définition de la similitude des triangles : deux triangles sont dits semblables si leurs angles correspondants sont égaux. Conservation des aires par l'addition et déplacement. Cas d'égalité des triangles : (angle, côté, angle) et (côté,côté,côté). La somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés. Notion intuitive de la récurrence. Les deux dessins donnés 60mn. A l'aide du premier dessin donné, se convaincre que le théorème de Thalès est vrai pour des rapports entiers : le fait que des triangles soient semblables et possèdent une paire de côtés correspondants dans un rapport entier implique que les deux autres paires de côtés ont même rapport, ceci en utilisant le premier dessin. Pour des rapports rationnels, utiliser la deuxième feuille. Théorème de Thalès Que manque-t-il pour en faire une démonstration ? La somme des n premiers nombres impairs vaut n2. Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 65 Semaine de la géométrie 29 mars au 2 avril 2004 Commission genevoise de l’enseignement des mathématiques (CEM) - 66
