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LP 12 Notion de viscosité d'un fluide
Ecoulements visqueux, nombre de Reynolds
Exemples simples
Introduction expérimentale:
Ecoulement de Couette cylindrique
Projetons la relation d'Euler sur une base cylindrique:

v2
P




r
r

 v
La première de ces équation est incompatible avec le mouvement du
0

 t
P

0   z   .g

fluide…
A) Forces de viscosité:
1) Expression surfacique:
Lors de l'étude du fluide parfait, nous n'avons tenu compte que des forces surfaciques
normales à la surface. Or il existe également une composante tangentielle de ces forces, qui
sont à l'origine d'un transfert de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches
lentes. On appelle ces forces forces de viscosité.

Prenons le cas d'un écoulement unidirectionnel de la forme v y, t e x .
La force de viscosité (exercée par S1 sur S2) s'oppose à son
mouvement: elle tend à freiner la veine la plus rapide et donc,
S2
par principe d'action réaction, à accélérer la veine lente.
F
S1
L'expérience montre que cette force:
- doit être proportionnelle à S
- doit être de sens opposé à la vitesse si la vitesse de S2 est plus grande que celle de S1.
On donne donc l'expression générale de la force de viscosité:





dFT ext int   grad v.n dST si v  vT
où  est une constante appelée coefficient de viscosité qui s'exprime en Poiseuille
1 Pl  1 Pa.s . Numériquement, on a pour l'air   10 5 Pl , pour l'eau   10 3 Pl , pour de
l'huile   1Pl


2) Equivalent volumique:


Considérons à nouveau un fluide dont le champ de vitesse s'écrit v  v z , t e y .
Veine rapide
z  dz
z
gradv
v z , t 
Veine lente
La résultante des forces s'exerçant sur cette tranche de fluide de volume dxdydz est donc
égale à:
   vz, t  


  2v  3 
 vz, t  
dF  
 dxdy  
 dxdye y soit dF   2  d e y
 z  z
 z  z
  z  z  dz


Cet écoulement est incompressible, car divv   0 .
Nous pouvons alors généraliser ce résultat à tout fluide incompressible:
Pour un fluide incompressible, l'expression volumique des forces de cisaillement s'écrit:

 
 
f v  v ; f m  v

3) Interprétation microscopique de la viscosité:
Nous avons dit que les forces de viscosité constituaient un transfert de quantité de
mouvement des régions rapides vers les régions lentes.
Nous allons interpréter microscopiquement ce phénomène pour les gaz à l'aide d'un modèle
très simplifié.
Nous supposerons:
- que le gaz est à l'équilibre thermodynamique P, T , n  cste . Nous noterons m la masse
d'une particule


- le champ de vitesse moyen est de la forme v  v z e y

- on suppose que la vitesse d'agitation u à la même norme pour toutes les particules, et
que sa direction ne peut être que parallèle aux axes. Cette agitation étant répartie
uniformément dans les six directions, on a:


- v z e y  ue x pour 1/6 des particules


- v z e y  ue x pour 1/6 des particules


- v z e y  ue y pour 1/6 des particules etc…
- si l est le libre parcours moyen d'une particule, nous supposons que les molécules
traversent une surface  d'abscisse z avec la vitesse qu'elles ont acquise en z  l ou
z l
Considérons une surface  d'abscisse z délimitant l'espace en deux régions 1 et 2. Pendant
un temps  , le nombre de particules traversant  de la région 1 vers la région 2 est le nombre
de particules contenues dans un cylindre de base  et de hauteur u . Le débit moléculaire de
1 vers 2 vaut alors:
1
D N1 2  NSu  D N 21 car le fluide est supposé à l'équilibre thermodynamique.
6
On veut maintenant calculer le débit de quantité de mouvement. Les particules transférées
de 1 vers 2 possèdent une quantité de mouvement selon y qui vaut:
mvz  l  et celles qui passent de 2 à 1 mvz  l  .
Le débit de quantité de mouvement de 1 vers 2 vaut donc:
1
1
dv
D p x  mnSuvz  l   vz  l    nmul
car l  z
6
3
dz
1
1

avec un modèle de sphère dure de rayon
n na 2
1
RTM
M
3RT
a, et on a u 
. En écrivant par ailleurs que m 
, on trouve  
2
3
NA
N Aa
M
La thermodynamique montre que l 


Numériquement on trouve à 20°C pour l'air a  3,5.10 10 m   10 5 Pl valeur assez
voisine de la valeur expérimentale 1,8.10 5 Pl


4) Equation locale de la dynamique pour un fluide incompressible:
Cette équation s'obtient tout simplement en ajoutant la force volumique de cisaillement à
l'équation d'Euler pour les fluides parfaits:


Dv 

 f vol  grad P  .v
Dt
Par ailleurs, la viscosité rajoute des conditions aux limites supplémentaires : en régime
permanent, la vitesse de glissement du fluide sur un obstacle est nulle. Comme la vitesse
normale à un obstacle doit être également nulle, ceci signifie que la vitesse d'un fluide en tout
point de coïncidence avec un obstacle est nulle.
B) Dynamique des écoulements incompressibles visqueux:
1) Nombre de Reynolds:
Reprenons l'équation de Navier Stockes sous sa forme développée:

 

 v 
   v .grad v   f vol  grad P  .v
 t



Le terme en v.grad v représente la variation convective de la vitesse, ou de la quantité de
mouvement, c'est-à-dire la variation liée au déplacement du fluide.
Supposons à présent que ce terme soit nul, ainsi que toutes les autres actions. L'équation de


v

  .v , avec   , viscosité cinématique.
Navier Stockes se réduit alors à
t

On reconnaît là une équation de diffusion, que l'on retrouve dans beaucoup de domaines de
la physique.

Le terme en .v représente donc la variation diffusive de la vitesse, ce qui était largement
suggéré par le modèle sommaire de la viscosité pour le gaz.
Si on veut savoir lequel des deux effets est prédominant, on effectue le rapport des deux.
1
Or l'ordre de grandeur du terme convectif est v 2  . , où L est une longueur caractéristique
L
1
de l'écoulement, et celui du terme diffusif est v.. 2 .
L
v. .L
Le rapport de ces deux quantités vaut donc
.





 v. .L  m.s 1 .kg.m 3 m
 1 , c'est donc un nombre sans
La dimension de ce rapport est 

kg.m 1 .s 1
  
dimension.
Ce nombre est appelé nombre de Reynolds et est noté Re.
Sa valeur représente de par sa définition même la prédominance du terme diffusif ou du
terme convectif.
On en déduit alors qu'il caractérise les deux types d'écoulement observés:
- l'écoulement laminaire, où les lignes de courant glissent les unes sur les autres en
restant parallèles. Ceci correspond à un nombre de Reynolds faible Re  2000, où la
diffusion prédomine, i.e. il n'y a pas de transfert de quantité de mouvement "violents"
- l'écoulement turbulent, chaotique, instable, caractérisé entre autre par l'apparition de
tourbillons et par des brisures de symétrie, qui correspond à un nombre de Reynolds
élevé Re  2000 , où la convection prédomine.
Pour l'eau, dans une conduite de 5 cm de diamètre, la transition correspond à une vitesse
Re. 2000.1,1.10 3
v

 4,4cm.s 1
.L
1000.0,05
Le rapport des grandeurs semble physiquement acceptable car:
- plus le fluide est visqueux (au sens usuel du terme), et plus il est difficile d'y faire
apparaître des turbulences.
- Plus l'écoulement est rapide, et plus c'est facile
- Pour un fluide donné, il est plus facile d'obtenir un écoulement laminaire avec un tube
fin qu'avec un tube large.
C'est cette transition que l'on observe avec l'écoulement de Couette cylindrique: lorsque la
vitesse de rotation du cylindre devient trop élevée, il apparaît des tourbillons et la symétrie
cylindrique de l'écoulement disparaît. Ceci tient mathématiquement à la non linéarité de

l'opérateur v.grad , alors prédominant.
Il faudra donc manipuler les raisonnement de symétrie avec précautions, puisque ceux-ci
ne seront valables qu'à faible nombre de Reynolds.

Par ailleurs, la non linéarité du terme en v.grad implique qu'il faut pouvoir le négliger
pour résoudre analytiquement l'équation de Navier Stockes. Nous allons maintenant étudier
quelques configurations où c'est le cas:






2) Ecoulements de la forme v  v y, t e x :
Dans ce cas simple, l'équation Navier Stockes s'écrit:

v 
 2v 
 e x   grad P  ge y   2 e x , et en projection:
t
y

P
v
P
 2 v P
0

 2 ;
  g ;
z
t
x
y
y
On déduit de la seconde équation que P   .gy  px, t 
v
 2v
p
  2   . Le premier terme ne dépendant que de y et
t
x
y
t et le second que de x et t, ils sont égaux à une même fonction du temps C t  .
La première égalité s'écrit 
Intéressons nous à deux cas particuliers:
 si Ct   0 , alors la pression ne dépend pas de x. Ceci correspond à l'écoulement de
Couette plan:
- Il s'agit d'un écoulement laminaire, et donc on peut

v1
alors dire que le champ de vitesse est de la forme


v  v y, t e x .
- Effectivement, en l'absence de contrainte de
pression, celle-ci ne dépend pas de x.

v2
v v
 2v
 0 soit v  v2  1 2 y
2
y
L
 Si C t   C0  cste , alors la pression est une fonction affine de y (tout en restant une
fonction affine de x). Ceci correspond à un écoulement de Poiseuille plan:
- il s'agit toujours d'un écoulement laminaire,
Pl 
P0
donc le champ de vitesse à la bonne forme
- des dispositifs extérieurs imposent un
gradient de pression selon x. (par exemple,
pour un liquide, une cuve remplie et une
sortie libre du tuyau)
La pression s'écrit alors:
Pl   P0
Px, y     .gy  P0 
x
l
Et le champ de vitesse est parabolique et est donné, en régime permanent, par:
d 2 v P0  Pl 
P0  Pl  2
soit v y  
 2 
y  ey puisque la vitesse s'annule en 0 et en
l
2.l
dy
e.
On peut s'en servir pour mesurer la viscosité d'un fluide. En effet, considérons le dispositif
suivant:
Le débit volumique va s'écrire:
e
Le 3
P0  Pl 
L  v y dy 
P( y )
12.L
0
On a alors, en régime stationnaire

L

Mesure du débit
l
Dv 
Le 3
P0  Pl 
12.L
En mesurant Dv , e , L et P0  Pl  , on obtient alors la viscosité, en faisant bien attention
à ce que l'écoulement reste laminaire. Il faut donc, pour de l'eau, que les tubes soient assez fin.
Cependant, l'incertitude de construction sur les dimensions des tubes est en général assez
élevée, et donc cette méthode ne donne que peu de résultats.
3) Formules de Stockes:
On cherche ici à déterminer quelles sont les forces qui s'appliquent sur une sphère de rayon
R en mouvement rectiligne uniforme dans un fluide visqueux en régime laminaire.
On se place pour cela dans le référentiel de la bille. Le champ des vitesses est alors donné,
en coordonnées cylindriques, par:

 3R R 3 
 3 
v cos 1 
2
r
2r 
 

, où v est la vitesse de la bille par rapport
v 
3


3
R
R
 v sin  1 



 
4r 4r 3 


a fluide.
3v R




 3v R cos 
Si on calcule v  rot rot v   3 2 cos .er  sin  .e    grad   3

2r
2r


Cette équation est donc bien compatible avec l'équation de Navier Stockes en régime
3v R cos
laminaire Re  2000 à condition de poser P  P0 
. On a par ailleurs
2r 2

 v .
v R,   0 quelque soit  et v r



On peut alors calculer la projection selon Oz des forces appliquées:

3v R cos 2  . sin 
 
- dFzpres  dF .e z   PR, R 2 sin  .d .der .e z 
d .d
2
 
3v R sin 3 
 
 v 
2
- dFzvisc  dFvisc .e z  
d .d
 R sin  .d .de .e z 
2
 r  r  R
Et si on intègre sur toute la surface, on trouve la résultante:


F  6.Rv  e z
Ceci constitue la loi de Stockes. Cette loi peut être utilisée pour mesurer la viscosité de
fluide très visqueux, afin que le régime soit bien laminaire: on lâche une bille de rayon R dans
une colonne d'un tel fluide et, on mesure la vitesse en régime permanent en mesurant le temps
mg
mis pour parcourir une distance fixe. La vitesse obéit alors à la loi: v 
. En effectuant
6.R
cette expérience avec des billes de rayon différents (pas trop grand pour que le régime
permanent soit vite atteint), on trouve une valeur de  .
Dernière remarque pour finir:
La loi Stockes est un cas particulier d'une loi très générale qui dit que la force de traînée
1
d'un écoulement autour d'un obstacle s'exprime par F  C x v 2 S , où C x est le coefficient
2
de traînée de l'écoulement qui ne dépend que du nombre de Reynolds. En effet, la loi de

24
  2 1 2
 R  v  , et on trouve C x 
Stockes s'écrit: F   24
.
Re
2

 2 Rv  
Pour une sphère, par exemple, on peut voir expérimentalement que la loi de Stockes n'est
vraiment valable que pour Re<1 et une bonne approximation pour Re  10 2 .
H prépa p.172
 