Aquisav - DOCUMENTATION Métier : CULTURE GÉNÉRALE Domaine de compétences : SCI- Suites et séries Code : COM-200907-004767 Intitulé de la compétence : Appliquer les formules donnant le terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison de la suite « Studio Dessin : récupérer la photo en ligne sur Aquisav » SOMMAIRE 1) RAPPELS 2) SUITES ARITHMETIQUES 3) SUITES GEOMETRIQUES 16-avr.-17 - Page 1 sur 4 Aquisav - DOCUMENTATION COURS I. RAPPELS On note (Un) la suite constituée par les termes : U0, U1, U2, …, Un, Un+1,…. Un est le terme de la suite, ou terme de rang n. Le premier terme est ici (et en général) U0 (ce pourrait être U1). II. SUITES ARITHMETIQUES 1) Définition On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est souvent noté r. Exemple : La suite des nombres pairs (0 0, 2, 4, 6, 8, 10, …) est une suite arithmétique car on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours 2 qui est la raison de cette suite. La suite des nombres impairs est aussi une suite arithmétique de raison 2. On a ainsi : (Un) suite arithmétique ↔ pour tout entier n, Un+1 = Un + r On définit une suite arithmétique par son premier terme U0 ou U1 et sa raison r. Exemple : Soit (Un) une suite arithmétique de premier terme U0 = 3 et de raison r = 1,5. Calculer les trois premiers termes de cette suite U0 = 3 U1 = U0 + 1,5 = 3 + 1,5 = 4,5 U2 = U1 + 1,5 = 4,5 + 1,5 = 6 On obtient chaque terme en ajoutant la raison au précédent. Remarque : Montrer qu’une suite est arithmétique revient à montrer que la différence (Un+ 1 - Un) est toujours constante. Exemple : Les suites A et B données ci-dessous sont-elles arithmétiques ? Si oui, donner leur raison. A : u1 = 5 ; u2 = 13 ; u3 = 21 ; u4 = 29 B : v1 = 1,2 ; v2 = 4 ; v3 = 6,6 ; v4 = 9,4 16-avr.-17 - Page 2 sur 4 Aquisav - DOCUMENTATION Pour la suite A : u 2 – u 1 = 13 – 5 = 8 u 3 – u 2 = 21 – 13 = 8 u 4 – u 3 = 29 – 21 = 8 La différence (un+ 1 - un) est constante donc la suite A est une suite arithmétique de raison 8. Pour la suite B : v2 – v1 = 4 – 1,2 = 2,8 v3 – v2 = 6,6 – 4 = 2,6 ≠ 2,8 La suite B n’est pas une suite arithmétique car la différence (vn+ constante. 1 - vn) n’est pas 2) Calcul du ne terme d’une suite arithmétique Le terme de rang n est donné par l’expression : Ou Un = U0 + nr Un = U1 + (n – 1)r si U0 est le premier terme si U1 est le premier terme Exemple : Soit (Un) une suite arithmétique de premier terme U0 = 3 et de raison r = 1,5. Calculer le 25e terme de cette suite. Pour trouver le terme de rang 25, on utilise la formule Un = U0 + nr avec n = 25. Soit U25 = U0 + 25 × 1,5 = 3 + 25 × 1,5 U25 = 40,5 III. SUITES GEOMETRIQUES 1) Définition On appelle suite géométrique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé raison de la suite géométrique et est souvent noté q. Exemple : La suite des puissances de 2, de premier terme 20 (20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16,, …) est une suite géométrique car on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours 2 qui est la raison de cette suite. On a ainsi : (Un) suite géométrique ↔ pour tout entier n, Un+1 = Un × q On définit une suite géométrique par son premier terme U0 ou U1 et sa raison q. 16-avr.-17 - Page 3 sur 4 Aquisav - DOCUMENTATION Exemple : Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison q = 2. Calculer les trois premiers termes de cette suite U0 = 10 U1 = U0 × 2 = 10 × 2 = 20 U2 = U1 × 2 = 20 × 2 = 40 On obtient chaque terme en multipliant le précédent par la raison Remarque : Montrer qu’une suite est géométrique revient à montrer, à condition que la suite (U n) soit à termes non nuls, que le quotient est toujours constant. Exemple : Les suites A et B données ci-dessous sont-elles géométriques ? Si oui, donner leur raison. A : u1 = 5 ; u2 = 35 ; u3 = 245 ; u4 = 1 715 B : v1 = 3 ; v2 = 4,5 ; v3 = 7,2 ; v4 = 10,8 Pour la suite A : = =7; = Le quotient = 7 et = =7 est constant donc la suite A est une suite géométrique de raison 7. Pour la suite B : = = 15 = = 16 ≠ 15 La suite B n’est pas une suite géométrique car le quotient n’est pas constant. 2) Calcul du ne terme d’une suite géométrique Si (Un) est une suite géométrique de raison q alors, pour tout entier n : Un = U0 × qn si U0 le premier terme et q la raison Ou Un = U1 × qn-1 si U1 le premier terme et q la raison Exemple : Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison q = 2. Calculer le 15e terme de cette suite. Pour trouver le terme de rang 15, on utilise la formule Un = U0 × qn avec n = 15. Soit U25 = U0 × 215 = 10 × 32 768 U25 = 327 680 16-avr.-17 - Page 4 sur 4