Preuves chapitre 2 TS 2 Nombres complexes Preuve 1 AB x B x A ; y B y A . z x B x A i y B y A x B iy B x A iy A z B z A . AB w x; y et t x' ; y' . Alors w t x x' ; y y' . Donc z x x'i y y' x iy x'iy ' z z . wt w w x; y alors k w kx; ky . Donc z kx iky k ( x iy ) kz . kw t w z A z B z C x A iy A x B iy B xC iy C x x B xC y y B y C A i A xG iy G z G . Preuve 2 z 0 ssi x y 0 ssi z z ' ssi x x' et y y ' ssi ssi x² y² 0 ssi x ² y ² x '² y '² u ,OM u ,OM ' z 0. ( 2 ) z z' arg z arg z ' ( 2 ) Preuve 3 On considère deux complexes non nuls z et z’ de coordonnées polaires ( r ; ) et ( r ' ; ' ) . zz ' r cos i sin r ' cos 'i sin ' rr ' cos cos ' sin sin 'i cos ' sin cos sin ' rr ' cos ' i sin ' rr ' 0 Donc zz ' rr ' z z' et argzz ' ' arg z arg z' 2 . Montrons que z n z pour tout n naturel par récurrence. n Pour n = 0, z 0 1 1 car z 0 , z 1 car 0 vraie au rang 0. 1 z 0 . Donc l’égalité est Preuves chapitre 2 TS 2 Supposons que pour un certain naturel n z n z . Montrons que l’égalité est n vraie au rang n+1. z n 1 z n .z z n . z z . z n HR n 1 z Donc l’égalité est vraie au rang n+1 n Donc z n z pour tout n naturel. Preuve 4 b c On pose P( z ) az ² bz c a z ² z car a a 2 b b² c a z 2a 4a ² a a0 2 b b² 4ac a z 2a 4a ² 4a ² 2 b b² 4ac a z 2a 4a ² 2 b a z 2a 4a ² Si 0 alors : 2 2 b P( z ) a z 2a 2a b b z a z 2 a 2 a 2 a 2 a a z z 2 z z1 Donc P(z) a deux racines réelles z1 et z 2 . Si 0 alors : b comme a 0, P( z ) 0 ssi z 0 ssi 2a b Donc le trinôme a une racine réelle z . 2a Si 0 alors : b P ( z ) a z 2a 2 2 ² i² i . Donc : 2 z b . 2a Preuves chapitre 2 TS 2 2 b i P( z ) a z 2a 2a 2 b i b i a z z 2a 2a a z z1 z z 2 Donc P(z) a deux racines complexes z1 et z 2 . Preuve 5 On prend M tel OM AB que argz B z A argz M u, OM u, AB z zA argz C z A arg z C z B arg C z z B C alors 2 . zM zB z A et 2 u, AC u, BC BC , u u, AC BC , AC 2 . Preuve 6 z' z b z ' z b i.e. affixe de MM ' affixe de OB i.e. MM ' OB i.e. M’ est l’image de M par la translation de vecteur OB . Preuve 7 z ' k ( z ) affixe de M ' k affixe de M affixe de k M i.e. M ' k M i.e. M’ est l’image de M par l’homothétie de centre et de rapport k. Preuve 8 z ' e i z z ' 0 i.e. z ' i.e. M ' M Si M qed. Si M alors z ' e i z alors z ' e i z ou encore z ' arg 2 z M ' Ssi 1 et M , M ' 2 M Ssi M ' M et M , M ' 2 Ssi M’ est l’image de M par la rotation de centre et d’angle . 3 z ' e i z et