Droites du triangle

Droites du triangle
Soit ABC un triangle quelconque.
Hauteurs
Bissectrices
La hauteur issue de A est la droite
perpendiculaire à (BC) passant par
A.
A
ˆ C est
La bissectrice de l’angle BA
la droite passant par A, qui partage
ˆ C en deux angles égaux.
l’angle BA
Médianes
Médiatrices
La médiane issue de A est la droite
passant par A, qui coupe [BC] en
son milieu.
La médiatrice du segment [BC] est
la droite perpendiculaire à (BC), qui
passe par le milieu de [BC].
A
A
A
Définitions
B
C
Les trois hauteurs d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
H, appelé orthocentre du triangle.
B
C
Les trois bissectrices d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
I, appelé centre du cercle inscrit
dans le triangle.
B
B
C
Les trois médianes d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
G, appelé centre de gravité du
triangle.
C
Les trois médiatrices d’un triangle
sont concourantes en un point, noté
O, appelé centre du cercle
circonscrit au triangle.
A
A
A
A
Concours et
points de
concours
O
I
H
B
B
C
Propriétés
G
B
C
A'
B
C
C
Soit A’ le pied de la médiane issue
de A, le point G est situé aux deux tiers du segment [AA’] par rapport
au sommet.
Càd : AG = 2
3
AA’ et GA’ =
1
AA’
3
(idem pour les deux autres sommets)
Un point de la médiatrice d’un
segment est équidistant des
extrémités de ce segment, et
réciproquement.
Triangles
Triangle rectangle
Soient A et B deux points, et M un point distinct de A et de B.
M
Si M appartient au cercle de diamètre [AB], alors le triangle AMB est rectangle en M.
Réciproquement :
B
A
Si le triangle AMB est rectangle en M, alors M appartient au cercle de diamètre [AB].
O
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de celle de
l’hypoténuse.
M
Réciproquement :
B
A
O
Si dans un triangle la longueur de la médiane issue d’un sommet est égale à la moitié de celle du côté opposé à ce sommet, alors
le triangle est rectangle en ce sommet.
MO = AB = AO = OB
2
Droite des milieux
* Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
A
Càd : (IJ) // (BC)
I
* Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté
du triangle.
J
Càd : IJ = BC = BK = KC
2
B
K
C
* Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors cette droite passe par le milieu du
troisième côté du triangle.
Càd : si une droite passe par I et qu’elle est parallèle à (BC), alors elle passe par J.
Comment montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?
Si un quadrilatère est tel que…
ses côtés opposés sont deux à deux parallèles
ses diagonales ont le même milieu
deux côtés opposés sont parallèles ET de même longueur
… alors c’est un parallélogramme.
Comment montrer qu’un quadrilatère est un rectangle ?
Soit on part du quadrilatère, soit on montre d’abord que c’est un parallélogramme et on se sert des propriétés qui suivent :
Si un quadrilatère est tel que…
Si un parallélogramme est tel que…
Il a trois angles droits
Il possède un angle droit
ses diagonales ont même longueur
…alors c’est un rectangle.
Comment montrer qu’un quadrilatère est un losange ?
Soit on part du quadrilatère, soit on montre d’abord que c’est un parallélogramme et on se sert des propriétés qui suivent :
Si un quadrilatère est tel que…
Ses quatre côtés sont de même longueur
Si un parallélogramme est tel que…
Deux côtés consécutifs sont de
même longueur
…alors c’est un losange.
Comment montrer qu’un quadrilatère est un carré ?
On montre que c’est un rectangle ET un losange avec les propriétés vues ci-dessus…
ses diagonales sont perpendiculaires