APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES EN GEOMETRIE Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O;Error! ,Error! ) 1 ) UTILISATION DE L'AFFIXE D'UN VECTEUR : DISTANCES ET ANGLES Rappel : La notion de distance correspond au module, la notion d'angle à l'argument. ;V( z) ;V' ( z ) Propriétés Soit ;Vet ;V 'deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z' . Si z et z' ont pour formes trigonométriques z = r (cos + i sin ) et z' = r' (cos ' + i sin ') alors : ( Error! , Error! ) = = arg z [ 2 ] (Error! ,Error! ) = ' – = arg z' – arg z [ 2 ] Preuve : Si ;V a pour affixe z, on sait que ;V = ;OM avec M le point d'affixe z. D'autre part on a par définition arg z = = ( Error! , Error! ) [ 2 ] Donc ( Error! , Error! ) = = arg z [ 2 ] Et ( ;V, ;V ') = ( ;V, Error! ) + ( Error! ,Error! ) = ( Error! ,Error! ) - ( Error! ,Error! ) = ' - = arg z' - arg z [ 2 ] Propriétés Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A B et C D. le vecteur ;AB a pour affixe zB - zA , et on a : AB = zB - zA et (Error! ,Error! ) = arg (zB - zA) [ 2 ] Error! = Error! et (Error! ,Error! ) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg Error! [ 2 ] Preuve : On a vu précédemment que ( Error! ,Error! ) = arg z [ 2 ] , z étant l'affixe de Error! . On en déduit donc : ( Error! ,Error! ) = arg (zB - zA) [ 2 ] Error! = Error! = Error! On a vu précédemment que ( ;V, ;V ') = arg z' - arg z [ 2 ], z étant l'affixe de ;V et z' l'affixe de ;V '. On en déduit que ( ;AB, ;CD) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg Error! [ 2 ] . Propriétés Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A B et C D. Les propriétés ci-dessous sont équivalentes : ;AB ;CD ;AB. ;CD = 0 - ( ;AB, ;CD) = Error! [ ] - arg Error! = Error! [ ] - Error! est imaginaire pur Preuve : L'équivalence des quatre premières propriétés est immédiate. Les nombres complexes imaginaires purs (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument Error! ou Error! (modulo 2 ), c'est-à-dire Error! (modulo ) Propriétés Soit A, B et C des points distincts d'affixes respectives zA, zB, et zC. Les propriétés ci-dessous sont équivalentes : - A, B et C sont alignés ;AB et ;AC sont colinéaires ;AC = k ;AB , k IR - Error! IR arg Error! = 0 [ ] Preuve : L'équivalence des trois premières propriétés est immédiate. Le vecteur ;AC ayant pour affixe zC - zA et le vecteur ;ABayant pour affixe zB - zA , on obtient : ;AC = k ;AB , k IR zC - zA = k (zB - zA) , k IR Error! IR Les nombres réels (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument 0 ou (modulo 2 ), c'est-à-dire 0 (modulo ). - Application des nombres complexes en géométrie - 1 / 2 M C y y 2 ) CARACTERISATION D'ENSEMBLES DE POINTS Propriété Soit C le cercle de rayon r et de centre d'affixe z = x + i y où x et y sont des réels . Soit M un point d'affixe z = x + i y où x et y sont des réels. MC | z - z | = r z = z + r e i ( où IR ) x = x + r cos ;y = y + r sin ( où IR ) { Preuve : Par définition MC M = r | z - z | = r On sait qu'un nombre complexe de module r (r 0) s'écrit sous la forme exponentielle r e i ( où IR ) On peut donc écrire : | z - z | = r z - z = r e i ( où IR ) z = z + r e i ( où IR ) En passant aux coordonnées, on obtient : x = x + r cos ;y = y + r sin ( où IR ) M C | z - z | = r z = z + r e i ( où IR ) Propriété { Soit A et B les points d'affixes z et z . L'ensemble des points M d'affixes z tels que | z – z | = | z – z | est la médiatrice du segment [AB]. Preuve : | z – z | = MA et | z – z | = MB ... 3 ) ECRITURE COMPLEXE D'UNE TRANSFORMATION Propriétés L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + b où b est un nombre complexe fixé, est la translation de vecteur ;V d'affixe b. L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' – = k (z - ) où k est un nombre réel non nul fixé et un nombre complexe fixé, est l'homothétie de centre d'affixe et de rapport k. L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' - = e i (z - ) où est un nombre réel fixé et un nombre complexe fixé, est la rotation de centre d'affixe et d'angle . Preuve : Si le point M' a pour affixe z' = z + b , alors z' - z = b , donc ;MM' = ;V Si le point M' a pour affixe z' avec z' – = k (z - ) , alors ;M' = k ;M Soit M' le point d’affixe z' tel que z' - = e i (z - ) - si z on a bien sûr z' . On a alors Error! = e i . D’où Error! = 1 et arg Error! = [ 2 ] On en déduit que Error! = 1 et (Error! ,Error! ) = [ 2 ] , c'est-à-dire M' = M et (Error! ,Error! ) = [ 2 ]. - si z = alors z' = . est donc invariant par cette application. L'application est donc la rotation de centre et d'angle . Remarque : L'expression de z' en fonction de z est appelée écriture complexe de l'application. - Application des nombres complexes en géométrie - 2 / 2 -