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Devoir en temps libre Document professeur Niveau : seconde Moment : phase de justification Titre : Propriété de Pythagore et triangles semblables. Auteur : N.Néron Thème : Géométrie plane. 1. Objectifs : Démontrer un résultat de cours (propriété très connue) en partant de connaissances nouvelles. 2. Place dans l’année : après les triangles semblables. 3. Modalités : travail individuel – 8 jours 4. Différentiation : non 5. Modalités de correction : classe entière avec éventuellement une reprise en A.I. 6. Prolongements : réinvestir les travaux sur les quotients avec la démonstration de la propriété de Thalès par les aires. 7. Commentaires pédagogiques : les questions qui posent le plus de difficultés ne sont pas celles qui portent sur l’écriture des égalités de rapports dans les triangles semblables. La question 3 (travail sur les quotients) et la question 4 (application de la proportionnalité) peuvent donc sembler plus problématiques aux élèves. Devoir en temps libre Document élève Niveau : seconde A remettre le : Titre : Propriété de Pythagore et triangles semblables. Auteur : N.Néron ABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. 1. a. Démontrer que les triangles ABC et ABH sont des triangles semblables. b. En déduire que BH = AB² BC AC² BC 2. Démontrer de même que CH = 3. Démontrer que 4. Démontrer ainsi la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. aire(AHC) aire(AHB) aire(ABC) = = AC² AB² BC² Correction 1. · a. Considérons les triangles ABC et ABH. Ces deux triangles ont l’angle ABC en commun (les · = AHB · points B, H, C étant alignés) et BAC = 90°. ABC et ABH ont deux angles respectivement de même mesure, ils sont donc semblables. b. Les triangles ABC et ABH étant semblables, les mesures des côtés homologues (AB, AC, BC) et (HB, AH, BA) sont proportionnelles et HB.BC = AB² et BH = AB BC = soit BH BA AB² BC 2. De même · a. Considérons les triangles ABC et ACH. Ces deux triangles ont l’angle ACB en commun (les · = AHC · points B, H, C étant alignés) et BAC = 90°. ABC et ACH ont deux angles respectivement de même mesure, ils sont donc semblables. b. Les triangles ABC et ACH étant semblables, les mesures des côtés homologues (AB, AC, BC) et (HA, CH, CA) sont proportionnelles et et CH = 3. AC² BC Aire (AHC) = 1 1 AC² aire(AHC) 1 AH AH.HC = AH. Donc = 2 2 BC AC² 2 BC Aire (AHB) = 1 1 AB² aire(AHB) 1 AH AH.HB = AH. Donc = 2 2 BC AB² 2 BC Aire(ABC) = 1 aire(ACB) 1 AH.BC 1 AH AH.BC soit = = 2 CB² 2 BC² 2 BC On en déduit 4. AC BC soit HC.BC = AC² = CH CA aire(AHC) aire(AHB) aire(ABC) 1 AH = = = =k AC² AB² BC² 2 BC Aire(ABC) = aire(ABH) + aire (AHC) donc k. BC² = k. AB² + k. AC ² et k ¹ 0 Donc BC² = AB² + AC² : ce qu’affirme la propriété de Pythagore
