sujet 44

Le condensateur en électrocinétique
I) Charge et décharge d'un condensateur dans une résistance R
On considère le circuit ci-dessous comprenant une résistance de valeur R, un condensateur de capacité C
et une alimentation stabilisée de tension à vide E.
(1)
K
R
(2)
E
C
UC
I.1) À l'instant de date t = 0, on place le commutateur K en position (1), le condensateur étant déchargé.
I.1.1) Exprimer la tension UC(t) aux bornes du condensateur en fonction de E, R, C et t; on posera par la suite
 = RC.
I.1.2) Donner l'allure de la courbe donnant UC en fonction de t.
I.2) Le condensateur est maintenant chargé : UC = E. À t = 0, on place le commutateur en position (2).
I.2.1) Exprimer la tension UC aux bornes du condensateur en fonction de E, R, C et t.
 UC 
En déduire que la courbe représentant les variations de ln
 en fonction du temps est une droite dont
 E 
on exprimera le coefficient directeur en fonction de R et de C.
I.2.2) Données : R = 10 M ; C = 10 µF ; E = 10 V.
On branche un voltmètre numérique (de calibre 20 V) aux bornes du condensateur et on étudie la
décharge du condensateur à partir de l'instant de date t = 0 où l'on place le commutateur en position (2) et on
relève les valeurs de UC à différentes dates :
t (s)
UC(V)
5
9,05
10
8,19
15
7,41
20
30
45
60
90
120
150
6,70
5,49
4,07
3,01
1,65
0,91
0,50
 UC 
Tracer la courbe représentant ln
 en fonction de t.
 E 
Montrer que les résultats sont en accord avec la théorie à condition de considérer que le condensateur se
décharge aussi dans le voltmètre modélisé par une résistance R' que l'on calculera.
I.3) On considère le circuit du I.1) avec le voltmètre placé aux bornes du condensateur; ce voltmètre est
modélisé par une résistance R'. À l'instant de date t = 0, on place le commutateur K en position (1), le
condensateur étant déchargé.
(1)
K
R
(2)
E
C
U'C
R'
Montrer que l'expression de U'C en fonction de t s'obtient très rapidement à partir de celle de Uc du I.1.1)
en utilisant le théorème de Thévenin; l'expression de U'C sera donnée en fonction de t, E, R, R' et C.
I.4) On souhaite visualiser sur un oscilloscope la courbe du I.1) de UC en fonction de t lors de la charge du
condensateur; on choisit comme valeurs R = 10 k et C = 10 nF.
L'alimentation stabilisée est remplacée par un générateur basse fréquence (G.B.F.); l'oscilloscope étant
placé aux bornes du condensateur.
I.4.1) Justifier brièvement pourquoi les valeurs précédentes de R et de C du I.2.2) ne sont pas satisfaisantes
pour visualiser la charge du condensateur sur l'écran de l'oscilloscope; (pour cette visualisation, il faut choisir
un signal dont la demi période soit égale à 5 fois la constante de temps).
I.4.2) La sortie du G.B.F. et l'entrée de l'oscilloscope sont modélisées ci-dessous.
G.B.F.
Oscilloscope
RG = 50 
RE = 1 M
CE = 20 pF
e(t)
Justifier brièvement, compte tenu de toutes les limitations d'utilisation des différents appareils utilisés, le
choix des valeurs de R et C.
I.4.3) Quel type de signal (sinusoïdal, triangulaire, carré, ...) faut-il choisir à la sortie du G.B.F. pour observer
sur l'oscilloscope la charge du condensateur dans les conditions du I.1) ?
I.4.4) Par un calcul rapide, donner un ordre de grandeur de la fréquence à utiliser pour observer pratiquement
toute la charge du condensateur sur l'écran de l'oscilloscope.
II) Condensateur en régime sinusoïdal forcé
On étudie un circuit RLC série représenté ci-dessous, en régime sinusoïdal forcé; la tension vE est de la
forme : vE = E cos(t).
R
L
vE
q
C
On définit le facteur de qualité Q et la pulsation de référence 0 par : Q =
vS
L 0
et LC02 = 1. Le
R
complexe j est tel que j2 = 1.
On appelle vE et vS les tensions complexes associées aux valeurs instantanées de la tension d'entrée vE et
de la tension de sortie vS.
II.1) Sans effectuer de calculs, donner les valeurs de vS en basse fréquence, puis en haute fréquence.
Préciser la nature du filtre (passe-haut, passe-bas, passe-bande ou coupe bande).
vS
II.2) On veut étudier la fonction de transfert de ce quadripôle définie par : H ( j ) 
.
vE

II.2.1) Exprimer H en fonction de L, R, C et , puis en fonction de Q et de x 
("pulsation réduite").
0
II.2.2) Déterminer l'expression du gain H  H en fonction de Q et de x.
II.3) On étudie maintenant la "résonance de charge", c'est à dire le cas où la fréquence du régime sinusoïdal
forcé est telle que la charge q du condensateur a une amplitude maximale pour R, L, C et E donnés.
II.3.1) Montrer que ce cas correspond à H maximal.
II.3.2) Déterminer la valeur xM de x pour laquelle il y a résonance de charge, ainsi que la valeur HM de H
correspondante en fonction de Q. (On montrera que cette résonance ne se produit que pour x  0 que si
1
).
Q
2
II.3.3) En déduire l'expression de la fonction qui à xM fait correspondre HM.
1
II.4) On se place dans le cas où Q 
et on étudie maintenant les pulsations de coupure et la bande
2
passante.
II.4.1) Quelle valeur HC, exprimée avec xM, prend le gain H pour les pulsations de coupure ?
II.4.2) On note xC les valeurs de x correspondant aux coupures. Exprimer xC1 (pour la coupure basse) et xC2
(pour la coupure haute) en fonction de xM.
II.4.3) En déduire l'expression de la bande passante en pulsation réduites x = xC2 - xC1 en fonction de xM.
(Pour obtenir une expression de x relativement simple, on exprimera d'abord (x)2.
II.5) Application numérique : L = 50 mH ; C = 20 µF ; R = 25 .
II.5.1) Calculer le facteur de qualité Q, la fréquence de référence f0 (correspondant à la pulsation 0) et la
valeur du H0 du gain correspondant.
II.5.2) Calculer la fréquence de résonance fM et la valeur du gain HM correspondant.
II.5.3) Calculer les fréquences de coupure fC1 et fC2, ainsi que la bande passante en fréquences, f .
II.6) On veut maintenant tracer le diagramme de Bode du gain en décibels en fonction de la fréquence
repérée sur une échelle logarithmique, en utilisant le papier semi-logarithmique fourni. On graduera l'échelle
verticale de  8 dB à + 8 dB et l'échelle horizontale de 10 Hz à 10 kHz.
II.6.1) Donner les équations des asymptotes et les tracer sur le diagramme.
II.6.2) Tracer sur le diagramme la courbe sur laquelle se déplace le point correspondant à la résonance de
charge, lorsque Q varie, après avoir rempli le tableau suivant :
f M(Hz)
xM
HM
GM (dB)
10
20
50
100
130
f0
II.6.3) Représenter le diagramme de Bode du gain en décibels, en fonction de log(x), pour Q = 2, après avoir
calculé le gain en décibels pour les valeurs particulières de f : f0, fM, fC1, fC2 ainsi que la valeur de f, différente
de 0, pour laquelle le gain en décibels est nul..