SPE MP* Mathématiques 2011-2012 Semaine du 28-11 au 3

SPE MP*
2011-2012
Mathématiques
Semaine du 28-11 au 3-12-2011
Exercices 12
Déterminants :
1.
Calculer les déterminants suivants :
a
1
1
0
a 
,
  1
0
1 a
a bc
2a
2a
2b
bca
2b
sous forme d’un produit.
2c
2c
ca b
x a  a
x y a y
a y
b x  
b y x y
(On pourra, dans le cas a  b , introduire le déterminant
)
a y
   a
b y
b y x y
b  b x
2.
3.
4.
5.
a1b2
a1bn 
1  a1b1


a2b1 1  a2b2
a2bn 

Calculer le déterminant de la matrice
.




anb2
1  anbn 
 anb1
Calculer le déterminant de l’endomorphisme u de M n (R) défini par u ( M )  t M .
Soient V1, V2, … , Vn n applications dérivables de IR dans IR n et soit B la base canonique de IR n . Montrer
f : IR  IR
que l’application
est dérivable et calculer sa dérivée.
x  det B V1( x),V2 ( x),,Vn ( x)
nP
P'
P ( n 1)
(n  1) P '
P ''
P(n)
Soit P un polynôme de degré n à coefficients réels. Montrer que (n  2) P ''
P '''
0
P ( n 1)
polynôme constant.
1k
6.
On pose Dn , k 
2
k
nk
que
2k
3k
nk
(n  1) k
(n  1) k
(2n  1) k
.Calculer
P(n)
0
est un
0
D1,1 , D2,1 , D3,1 . Montrer que Dn,2  0 n  3 et
Dn,k  0 n  k  1 .
Exos utilisant les déterminants :
7.
Soit E  IRn [ X ] .
a) Montrer que E est engendré par la famille des polynômes ( X  h) n
Soit
, h  IR .
 h l’endomorphisme de E défini par  h ( P)( X )  P( X  h) P  E et soit
U h    L( E ) tels que    h   h   .
b) Montrer que U h est une sous-algèbre de L(E) et que dim(U h )  n  1 h  0 .
c) Montrer que la famille d’endomorphismes  i : P  P (i )
nul.
i  0,1,..., n est une base de U h lorsque h est non


A tout endomorphisme  de Uk , on associe la forme linéaire  définie par  ( P)   ( P)(1) . Montrer que


l'application    est un isomorphisme de Uk sur E* et préciser la base antéduale de la base  i i 1... n .
d)
8.
 
Soient A, B, C et D quatre points d’un espace affine de dimension 3. Montrer que les plans passant par deux de ces
points et par le milieu du segment joignant les deux autres sont concourants.
Systèmes linéaires
9.
 x 2  ax1  b

 x 3  ax 2  b

Résoudre  
.
 x  ax  b
n 1
 n
 x1  ax n  b
Anneaux, arithmétique
10. Soit A un anneau.
 Soit a un élément de A ayant un unique inverse à droite. Montrer que a est inversible.
 En déduire qu’un anneau fini sans diviseur de 0 est un corps (non nécessairement commutatif).
11. On dit qu’un anneau A est un anneau de Boole si tout élément x de A vérifie x2 = x. Soit A un anneau de Boole.
 Montrer que tout élément x de A vérifie x + x = 0 et que A est commutatif.

Montrer que
Z
2Z
 2Z 
Z
l’anneau

est le seul corps de Boole à un isomorphisme près. Montrer que pour tout ensemble X,
X
est un anneau de Boole.
On suppose que A possède au moins trois éléments. Soit
a  A  0,1 . Montrer que les parties aA et (1 –
a)A sont stables pour l’addition et la multiplication et sont pour les lois induites des anneaux de Boole.
Montrer que l’application

A  aA  (1  a) A
x
 ax, (1  a) x 
est un isomorphisme d’anneaux.
Montrer que tout anneau de Boole fini est isomorphe à
 2Z 
Z
12. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme
13. Soit p un nombre premier et
r
.
4k 1 .
 p  1
k  0, p  1 . Quelle est la classe de congruence de 
 ?
 k 
14. Soient p et q deux nombres premiers impairs tels que q divise 2p -1. Montrer que
q 1
 2 p .