IMPEDANCE COMPLEXE I) Définitions a) Impédance et loi d'Ohm D I U Loi d'Ohm : En convention récepteur ………………. avec Z impédance complexe du dipôle D ..... => Z ..... Propriétés : U U ..... avec | Z | en ohm (Ω) I I ..... arg( Z ) = arg( U ) - arg( I ) = θu - θi = φu/i (différence de phase de u par rapport à i) Z rem : Le module permet de rendre compte de la relation d'amplitude entre courant et tension et l'argument permet de rendre compte de la relation de différence de phase entre courant et tension. U φu/i I φu/i est l'angle qu'il faut "ajouter" à I pour "arriver" jusqu'à U. θu θi x u(t) Pour cet exemple : i(t) τ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 t u(t) est en sur i(t) i(t) est en sur u(t) φu/i est de signe τ est le décalage horaire entre les deux courbes, il est proportionnel à la différence de phase φu/i. b) Admittance Loi d'Ohm : en convention récepteur …………… avec Y admittance et Y Propriétés : .... .... I I I avec | Y | en siemens (S) U U U arg( Y ) = arg( I ) - arg( U ) = θi - θu = φi/u (différence de phase de i par rapport à u) Y 1 Y 1 Remarque : Y donc Z Z arg( Y ) arg( Z ) II) Dipôles élémentaires Type de dipôle Relation en instantané Relation en complexe Impédance Résistance R (Ω) Inductance L (H) Capacité C (F) Exercice : Donner l'expression de YR, YL, YC admittances complexes de R, L et C. Remarque : Z = R + j X avec R résistance et X réactance du dipôle Si X > 0 le dipôle est inductif. Si X < 0 le dipôle est capacitif. III) Association de dipôles passifs a) Association série ZAB A I Z1 U1 Z2 U2 Z3 U3 B Z AB U U Exercice d'application : Donner l'expression de U2 en fonction de Z1, Z2, Z3 et U Fresnel b) Parallèle I1 I A YAB Y1 Y AB I Y2 I2 B Y3 I3 U Rem : si on a seulement deux impédances Z1 et Z2 en parallèle alors Z Z Z AB 1 2 Z1 Z 2 IV) Modèles équivalents de générateurs Déf. : Tout dipôle actif AB peut-être remplacé par un modèle équivalent de Thévenin (M.E.T.) ou u modèle équivalent de Norton (M.E.N.) A I Dipôle actif U Zu B MET MET MEN Z0 A A MEN I I I0 U0 U Zu B Y0 U Zu B maille : U = ………………. obtention de U0 et Z0 Tension à vide : U0 = UAB avec Zu déconnecté nœud : I = ………………. Obtention de I0 et Y0 Courant de court-circuit : I0 = IAB avec Zu remplacé par un court-circuit Impédance interne : Z0 = ZAB si U0 est éteint Admittance interne : Y0 = YAB si I0 est éteint Remarque : On peut passer du MET au MEN en montrant que : U0 = Z0 I0 et Y 0 1 Z0 V) Théorème de superposition a) sources indépendantes Déf.1 : L'intensité du courant circulant dans une branche d'un circuit comportant plusieurs générateurs, est la somme des courants dans cette branche lorsque chaque générateur fonctionne seul, les autres étant éteints. Déf.2 : La tension aux bornes d'un dipôle d'un circuit comportant plusieurs générateurs, est la somme des tensions aux bornes de ce dipôle lorsque chaque générateur fonctionne seul, les autres étant éteints. Exercice d'application : A I E1 = [20V; 0] = 20 ; E2 = [10V; π] = -10 Z1 Z2 Z1 = j 20 ; Z2 = j 30 ; Z = - j 10 U Z E1 E2 B Calculer U et I VI) Modèle d'un dipôle passif 1) Facteur de qualité Rappel : Puissance active (en Watt) : PD = ………… Puissance réactive (en VAR) : QD = ………… i D u Résistance R : PR = ………………… QR = ………. Inductance L : PL = ………. QL = ………. Capacité C : PC = ……….. QC = ………. Démonstration pour C : j j I I => U = | U | = | ||I|= Cω Cω Cω π Pour C : φu/i = - => sin φu/i = -1 donc QC = -U2Cω 2 U = ZC I = => I = CωU => U I = U2Cω Déf. : Le facteur de qualité Q d'un dipôle D est définit par : puissance réactive consommée par D (sans unité) Q puissance actice consommée par D Rem : Ne pas confondre la puissance réactive (QR, QC ou QL) et le facteur de qualité (Q) Si PD diminue alors Q augmente. Le facteur de qualité caractérise la part de "réactivité" par rapport à la part "d'activité" du dipôle. Une inductance ou une capacité parfaites (de résistance nulle) ont un facteur de qualité infini. Théorème de Boucherot (rappel) : La puissance active totale dissipée par une association quelconque de dipôles est la somme des puissances actives dissipée par chaque dipôle (Ptotale = P1 + P2 + …. + Pn) De même la puissance réactive totale d'une association quelconque de dipôles est la somme des puissances réactives de chaque dipôle (Qtotale = Q1 + Q2 + …. + Qn) 2) Modèle série d'une bobine réelle r,L rs Ls Q = …………………… Rem : Q dépend de ω 3) Modèle parallèle d'un condensateur réel Rp R,C Cp Q = ……………………. Rem : Q dépend de ω 4) Passage entre un modèle série et un modèle parallèle Rp Rs Xs X est une réactance : j X = jLω ou X = Cω Xp On peut montrer que si Q2 > 10 alors : Rp = Q2 Rs et Xp = Xs Ces relations permettent de passer du modèle série d'un composant à son modèle parallèle et réciproquement. Rem. : Q est fonction de la pulsation ω (ou de la fréquence), donc le modèle parallèle d'une bobine et le modèle série d'un condensateur ne sont valables ………… pulsation (ou fréquence) donnée. VII) Pont d'impédance I1 Z1 Z2 D I2 Z3 Z4 Générateur sinusoïdal On dit que le pont est à l'équilibre lorsque le détecteur D (Amètre ou Vmètre) indique 0 I1 traverse Z1 et Z 2 I traverse Z et Z 3 4 2 Alors : U U Z1 Z3 U Z4 U Z2 Z1 I1 Z 3 I 2 Z1 Z 3 donc Z 2 I1 Z 4 I 2 Z2 Z4 On en déduit : Z1 Z4 = Z2 Z3 Utilité : On remplace deux des impédances par des résistances étalons, (R1, R2), on remplace une des impédance par une impédance réglable (de valeur connue), on peut déterminer la valeur de la quatrième.