LYCEE ZAHROUNI-TUNISSCIENCES PHYSIQUES 3ème année Cinématique A- Essentiel à retenir 1- L’étude d’un mouvement nécessite la désignation : d’un référentiel c à d : * D’un repère d’espace. * et d’un repère de temps. 2- Le vecteur position : OM x(t ).i y (t ). j ; x(t) et y(t) sont les coordonnées du mobile dans le repère orthonormé (O,i,j) x=f(t) et y=(t) sont les équations ( ou lois ) horaires du mouvement. 3- Equation de la trajectoire : L’équation qui donne y en fonction de x , s’appelle équation de la trajectoire. Sens du mvt d (OM ) dx dy .i j vx .i v y . j 4- Le vecteur vitesse d’un mobile : v v dt dt dt Direction : La tangente à la trajectoire au point considéré. M Sens : celui du mouvement. 2 Valeur : v vx v y2 d (v ) dvx dv y 4- Le vecteur accélération : a .i . j ax .i a y . j dt dt dt Coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Freinet Sens positif choisi dv v2 RC rayon de courbure de la et aN a aT .T aN .N avec aT dt RC T aT M trajectoire au point M. 5- Le mouvement rectiligne uniforme - Un mouvement est dit rectiligne si sa trajectoire relativement à un aN repère donné est un segment de droite. a - Un mouvement rectiligne est dit uniforme si sa vitesse est constant. - L’accélération a=0 et la vitesse v = v0 = constante et l’abscisse N x = v0t + x0 avec x0 abscisse du mobile à t = Os. 6- Le mouvement rectiligne uniformément varié : - Un mouvement rectiligne est dit uniformément varié si son accélération a est constante. - L’accélération a=constante et la vitesse v= a.t + v0 avec v0 vitesse initiale du mouvement et l’abscisse x(t) = ½.at2 + v0t + x0 avec x0 abscisse initiale du mobile. 2 2 - Relation indépendante du temps entre la vitesse et l’abscisse B A B A B- Exercices : Exercice 1 1- Etablir l’équation de la trajectoire d’un mobile dont le mouvement est défini dans le repère (O,i,j) par le vecteur position OM = t .i +(2t2 –3)j ? Donner l’allure de cette trajectoire. 2- a- Exprimer le vecteur vitesse v en fonction du temps t. b- Préciser les caractéristiques du vecteur vitesse v0 à l’origine du temps. c- Représenter le vecteur v0 sur la trajectoire en utilisant une échelle de votre choix. 3- Déterminer le vecteur accélération a du mobile. v v 2.a.( x x ) 4- A quelle date le vecteur vitesse a même direction que i ? Montrer que dans ces conditions la composante tangentielle aT du vecteur accélération est nulle, en déduire la valeur du rayon de courbure RC de la trajectoire à cette date. Exercice 2 : Un mobile ponctuel est en mouvement sur une trajectoire curviligne dans le repère d’espace (O,i,j) , il passe par le point A( 0 ; 0) à l’origine des temps avec la vitesse v0 = 2i+5j son vecteur accélération est a = - 8j. 1- Etablir l’expression de son vecteur vitesse en fonction du temps. 2- Etablir l’équation de sa trajectoire ;quelle est la nature de cette trajectoire ?Donner son allure. 3- Déterminer les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération a du mobile à la date t = 0,625s. Représenter à cette date le vecteur a sur la trajectoire en utilisant l’échelle suivante : 1cm représente 2 m.s-2. 4- A quelles dates le mobile est-il passé par le point d’ordonnée y=0 ? Exercice 3 Un mobile M est en mouvement dans un repère orthonormé R(O,i,j). Le vecteur position de M est donné par OM =(b.t + c).i + (d.t2 + e.t + f).j ; avec b,c,d,e et f sont des constantes. 1- a- Sachant qu’à la date t=0 s OM0 = 0 et v0 = i + 4j et que l’équation de la trajectoire du mouvement est y(x)= -x2 + 4x, déterminer les valeurs de ces constantes. b- Déduire l’expression des vecteurs position et vitesse de M. 2- A quelle date t1 le mobile M passe par le point A(4,0) ? 3- Tracer la trajectoire de M pour t [0 ;t1]. Echelle : 2 cm pour 1 m. 4- Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse à t = 2 s. 5- Déterminer l’expression du vecteur vitesse au point A. Préciser si le mouvement est accéléré ou retardé lors du passage par ce point. Exercice n :4 Dans un repère (O,i,j) le vecteur position d’un mobile est OM = 2t.i +(-5t2+4t).j L’unité de mesure et le mètre et le mouvement débute à t=0. 1/ Donner les lois horaires du mouvement et établire l’équation cartésienne du mouvement. 2/ Représenter graphiquement cette trajectoire. 3/ a- donner les caractéristiques du vecteur vitesse du mobile au point sommet S de la trajectoire. b-A quel instant le mobile passe t-il de se point S. 4/ Donner le vecteur accélération du mobile . 5/ Représenter cette accélération au point S. Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire au point S. 6/ Déterminer l’accélération normale et tangentielle à l’instant t = 1s. Exercice 5 Dans un repère orthonormé ( O ;i ;j ), un mobile M est lancé , à l’origine du temps , de l’origine O du repère avec une vitesse initiale V0 = 2i - 8j . Le vecteur accélération du mouvement est a = 8 j .L’unité de mesure dans le repère ( O , i , j ) est le mètre. 1/ a- Déterminer l’expression du vecteur vitesse du mobile au cours du temps. b- Déterminer les lois horaires du mouvement . En déduire l’équation cartésienne de la trajectoire. Représenter cette trajectoire selon l’échelle suivant : 1m 1cm. 2/ a- Déterminer les caractéristique du vecteur vitesse à l’instant t = 1s .Représenter ce vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération sur la trajectoire. Préciser l’échelle choisie. b- Calculer le rayon de courbure de la trajectoire à cet instant. 3/ a- Déterminer la position du mobile pour laquelle le vecteur vitesse fait un angle de 45° avec le vecteur accélération. b- Calculer en cette position le rayon de courbure de la trajectoire. 4/ Si la vitesse avec laquelle est lancé le mobile à l’origine du temps est V0 = 2 i + V0y .j . Quelle valeur doit avoir V0y pour que le mobile passe par le point A ( 5 ; 0 ). Justifier la réponse