Quelques confusions et erreurs classiques à éviter.

Quelques confusions et erreurs classiques à éviter.
Nous vous conseillons de vous replonger dans ces notes peu avant l’examen : elles
reprennent des confusions classiques, souvent relevées à l’examen oral, voire parfois à
l’écrit.
Chapitre 0.
On ne démontre pas de la même manière qu’une propriété est satisfaite au sein d’un
ensemble, ou qu’elle n’est pas satisfaite. Par exemple: associativité, commutativité,
axiome de Pareto, indépendance binaire.
 Pour prouver qu’une propriété n’est pas satisfaite dans tous les cas, il suffit de montrer
un cas où elle n’est pas satisfaite. Le fait qu’elle puisse parfois être satisfaite n ’a alors
guère d’importance.
Par exemple, dans un groupe, il y a toujours des éléments x et y tels que
x*y = y*x. Mais il suffit qu’il existe une paire {x,y} qui ne satisfasse pas cette relation, pour
dire que le groupe n’est pas commutatif.
Exemple : montrons que la division n’est pas associative.
(12 / 4) / 3 = 1
12 / (4 / 3) = 9
Et ce, bien qu’il y ait des cas où cela marche ; p. ex. 12 / 4 / 1.
 Par contre, pour prouver qu’une propriété est toujours satisfaite au sein d’un ensemble,
on ne peut se contenter d’examiner un cas particulier : on pourrait être tombé, par hasard,
sur l’un des cas « qui marchent ». Il faut donc, soit examiner tous les cas (ce qui peut être
fastidieux, voire impossible), soit prouver d’un seul coup que tous les cas considérés
« marchent », ce qui nécessitera une démonstration en bonne et due forme.
Exemple : montrons que la multiplication des complexes est commutative :
(a , b) . (c , d) = (a.c - b.d , a.d + b.c)
(c , d) . (a , b) = (c.a - d.b , c.b + d.a)
Étant donné que a,b,c,d sont des réels, et que l’on sait que l’addition et la multiplication
des réels sont commutatives, nous pouvons affirmer que
(a.c - b.d , a.d + b.c) et (c.a - d.b , c.b + d.a) sont la même chose et que donc, (a , b) . (c , d)
= (c , d) . (a , b), quels que soient les deux complexes considérés.
Chapitre 1.
 0 n’est pas un ensemble, mais un nombre : c’est le nombre d’éléments (ou cardinal) de
certains ensembles : N , Q , ...
De même, C in n’est pas un ensemble, mais un nombre : le nombre d’ensembles de i
éléments que l’on peut former à partir de n éléments donnés.
 Deux éléments ne peuvent être mis en bijection ; une bijection s'établit entre deux
ensembles ; on dit que deux éléments se correspondent, sont en relation, ou encore sont liés
par la relation.
Chapitre 2.
 Ne pas confondre un graphe (ensemble muni d’une relation) et sa représentation sur
papier.
Deux graphes isomorphes (sur papier) sont en fait deux représentations
différentes d’un même graphe, comme deux photos d’un même bâtiment sous deux angles
différents.
Donc, si un graphe est isomorphe à un graphe planaire, alors il est aussi planaire, et ce
même si le dessin fait apparaître des croisements.
 Étant donné une relation entre un ensemble A et un ensemble B de même cardinal, on
peut définir :
Compétence : un sous-ensemble X de A est dit compétent pour un sous-ensemble Y de B
si tout élément de Y est relié à un élément de X.
Qualification : un sous-ensemble X de A est dit qualifié s’il est compétent pour un sousensemble Y, de cardinal au moins aussi grand que le sien.
Si le cardinal de Y est plus grand que celui de X, on dit que X est surqualifié.
Remarquez que l’on est toujours compétent (ou non) « pour quelque chose » : c’est la
propriété d’un ensemble par rapport à un autre.
Par contre, un ensemble X est qualifié (ou non) sans considération d’un autre ensemble:
c’est une propriété intrinsèque de X.
 Une relation binaire est un lien entre un éléments d'un ensemble et un éléments d'un
autre ensemble (ou du même) ; à un élément correspond un élément.
Une opération est un lien entre deux éléments d'un ensemble et un élément d'un autre
ensemble (ou, le plus souvent, du même) ; à une paire d'éléments correspond un élément.
On parle parfois d'opération binaire, mais ce terme est trompeur.
Le calcul binaire consiste à écrire tous les nombres en base 2 (avec des 0 et des 1) ; par
exemple 15 + 6 = 21 s'écrit 1111 + 110 = 1101.
 Polygone : figure fermée plane délimitée par des côtés rectilignes.
Polyèdre : figure fermée de l’espace délimitée par des polygones, pouvant se dessiner sur
une sphère.
Graphe polygonal : graphe planaire, connexe, sans boucle, sans arête appartenant à une
seule face.
Un graphe polygonal peut se voir comme un assemblage de polygones juxtaposés.
Quand on projette (ou on déploie) un polyèdre, on obtient un graphe polygonal.
La relation d’Euler vaut pour tous les polyèdres et pour tous les graphes polygonaux. La
démonstration est faite sur les graphes pour des raisons de simplicité, mais ce qui
intéresse les mathématiciens, ce sont plutôt les polyèdres.
 On a mis comme conditions pour la formule d'Euler-Poincaré : graphe connexe – planaire
– sans boucle – tel que chaque arête sépare deux faces différentes.
Ces conditions n'ont pas le même statut :
- si un graphe n'est pas planaire, on aurait du mal à parler de faces ;
- si un graphe n'est pas connexe, il ne satisfait pas la relation ;
- si un graphe contient des boucles, ou des arêtes formant le bord d'une seule face, cela ne
l'empêche pas de vérifier la relation d'Euler ; mais on ne peut plus la démontrer de la
manière où nous l'avons fait (d'autres démonstrations marchent).
 La formule d'Euler-Poincaré est valable pour tous les graphes polygonaux ; ceci ne veut
pas dire qu'elle n'est pas aussi vraie pour certains autres graphes.
De manière tout à fait générale, si un théorème exprime que
"tous les objets A ont la propriété B"
cela ne veut pas dire que
"les autres objets que les A n'ont pas la propriété B",
ni que
"les objets qui ont la propriété B sont des A".
Par exemple, on sait que "si un ensemble d'éléments d'un groupe forme un sous-groupe,
alors son cardinal divise celui du groupe" ; cela n'entraîne pas que "si on prend un sousensemble d'un groupe a un cardinal qui divise celui du groupe, alors c'est un sousgroupe" ; de même, un graphe d'hybridation est sans circuit, mais tout graphe sans circuit
n'est pas forcément un graphe d'hybridation, et il est erroné d'affirmer que les graphes
autres que les graphes d'hybridation contiennent tous des circuits.
Chapitre 3.
 Un groupe est une structure formée d’un ensemble, et d’une opération sur les éléments
de cet ensemble, opération qui doit satisfaire certaines conditions. Il est donc sans objet
de dire p.ex. « R est un groupe » , sans citer d’opérations.
R, + est un groupe.
R, - n’est pas un groupe.
 Homonymie : l’adjectif binaire peut être utilisé avec deux sens :
- le calcul binaire s’effectue avec des nombres écrits sous forme de 0 et de 1 ; c’est la
manière dont calcule un ordinateur.
- une loi binaire ou opération binaire est une opération qui agit sur deux éléments pour en
donner un (comme l’addition).
 Si G,* est un groupe, sa table est forcément un carré latin. Mais on peut avoir une
opération interne dont la table est un carré latin, sans avoir affaire à un groupe. Par
exemple :
Soit un pentagone régulier de sommets a,b,c,d,e. On définit l’opération * comme suit :
- pour tout sommet x : x*x = x
- dans les autres cas, x*y = le sommet du pentagone qui est à même distance de x et y
La table de cette opération (essayez) est :
*
a
b
c
d
e
a
a
d
b
e
c
b
d
b
e
c
a
c
b
e
c
a
d
d
e
c
a
d
b
e
c
a
d
b
e
Cette opération livre bien un carré
latin, mais n’est pas associative,
et
il n’y a pas d’élément neutre.
On n’a
donc pas un groupe.
 Inverse d’un élément d’un groupe, opposé, réciproque, symétrique : ces mots, dans le
cadre de la théorie des groupes, sont synonymes : l’inverse, etc. d’un élément a est
l’élément a’ tel que a * a’ = le neutre et que a’ * a = le neutre.
Nous vous conseillons l’usage du terme réciproque, qui n’a pas de connotations dans
d’autres domaines des mathématiques, pouvant créer des confusions.
 Homonymie : le mot ordre a en mathématiques au moins trois sens différents :
- il est synonyme de cardinal (nous ne l'utiliserons pas avec ce sens) ;
- il désigne un certain type de relations (réflexive, antisymétrique, transitive) ;
- l'ordre d'un élément d'un groupe est le nombre de fois qu'il faut le combiner avec luimême pour retrouver l'identité (dans un groupe infini, un élément peut ne pas avoir
d'ordre, càd. qu'on ne trouvera jamais l'identité).
 Quand le résultat d’une opération entre éléments d’un ensemble reste à l’intérieur de cet
ensemble, on dit que l’opération est interne, ou que l’ensemble est fermé pour cette
opération. La première formulation est plus particulièrement utilisée pour les ensembles
abstraits, la seconde pour les ensembles de permutations.
Chapitre 4.
 Universalité : tous les ordres a priori possibles doivent être permis. Le fait que l’on
n’admette pas d’ex aequo n’est pas un obstacle à l’universalité : en effet, les classements
avec ex aequo ne sont pas des ordres !
Majorité : plus de la moitié des voix se portent sur un même candidat / sur un même
ordre / expriment une même préférence.
Unanimité : toutes les voix se portent ...
L’axiome de Pareto dit que toutes les préférences unanimes doivent être respectées par
l’ordre agrégé ; il ne dit rien des préférences majoritaires.
 Dictateur : personne dont l’avis est pris comme avis agrégé, contre l’avis de tous les
autres votants, et dans tous les cas.
Il y a des systèmes d’agrégation de préférences dans lesquels l’avis d’une personne peut
parfois passer contre l’avis de tous les autres votants, sans que cela soit
systématiquement le cas ; une telle personne, malgré les apparences, ne correspond pas à
la définition d’un dictateur.
Par exemple : 3 candidats, 4 votants. Système : si tout le monde est d’accord sur
l’ordre, cet ordre est choisi ; sinon, l’ordre agrégé est C1>C3>C2.
Si Jules vote C1>C3>C2, et tous les autres C3>C1>C2, l’ordre agrégé est C1>C3>C2 :
Jules impose son classement.
Mais si Jules vote C1>C2>C3, et les autres
C3>C1>C2, l’ordre agrégé n’est pas celui choisi par Jules : il n'impose pas toujours
son classement ; il n’est donc pas dictateur.
Chapitre 5.
 Pour que l’ensemble des vecteurs du plan (ou de l’espace) puisse être érigé en espace
vectoriel, il faut considérer les vecteurs comme attachés au point origine du plan (ou de
l’espace), ce qui ne correspond pas à la notion de vecteurs vue dans le secondaire. Sans
cela, on ne peut définir la somme de deux vecteurs, l’indépendance, ...
 Une matrice est un ensemble de nombres, présentés sous la forme d’un tableau. Elle
peut servir à représenter un graphe, les coûts d’une affectation, les coefficients d’une
application linéaire ...
Un déterminant n’est pas une série de nombres, mais un seul nombre.
Chaque matrice carrée (autant de lignes que de colonnes) possède un déterminant : un
nombre qui lui est attaché.
 La méthode de Cramer pour le calcul d’un déterminant (réécriture de colonnes et
multiplication le long des diagonales montantes et descendantes) n’est valable que pour
les déterminants de dimension 3 ; pour les dimensions supérieures, la seule méthode
efficace consiste à développer selon les éléments d’une ligne ou d'une colonne.