N4 Calcul littéral I/ Donner du sens au calcul littéral : Programme de

N4
Calcul littéral
I/ Donner du sens au calcul littéral :
1. Programme de calcul :
Une expression littérale exprime un programme de calcul sur des nombres dont certains sont
représentés par des lettres.
Exemple : 2(x+3) est l’expression du programme qui pour chaque valeur de x donne le double de la
somme de x est de 3.
Pour x = 4 le programme donne 14
2(4+3)
2 × 7 = 14
Tester l’égalité 2-3x = 4 pour x = -1
Je remplace x par -1
2-3 × (-1)
2+3=5
5 ≠ 4 donc pour x = -1 l’égalité est fausse
Descriptions d’un nombre :
Une expression littérale permet aussi de décrire des nombres
n désigne un entier relatif
n+1
n-1
n + 1 désigne le nombre entier qui est le suivant de n
et n-1 désigne le nombre qui est le précédent de n
Exemple 2 :
k désigne un entier positif
2k
2k décrit les nombres pairs
3 k décrit les multiples de 3
II/ Réduction d’une expression littérale
Vocabulaire : réduire une expression littérale signifie écrire cette expression sous la forme la plus
simple.
Exemple :
Réduire E = 3x + 3 – (5x-4) +2
 On supprime les parenthèses
E = 3x +3 – 5x +4 +2
On regroupe les termes semblables
E = 3x – 5x + 3 + 4 + 2
On réduit :
E = -2x + 9
Tester l’égalité 2 – 3x = 4 pour x = -1
Je remplace x par -1
III/ Développements :
Développer signifie transformer un produit en somme
Distributivité simple :
K (a +b) = ka + kb
Distributivité double
(a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd
A
b
Ac
Ad
C
bc
bd
d
Exemple:
Developer et réduire :
F = (x+ 5) (2x + 1)
F = x × 2x + x ×1 + 5 × 2x + 5 × 1
F = 2x² + x + 10x + 5
F = 2x² + 11x + 5
G = (3x-1) (x + 7)- (2x-3) (3x-1)
G = 3x × x + 3 x × 7 – 1 × x – 1 × 7 [ 2x × 3x +2 x × (-1) – 3 × 3x – 3 × (-1)
G = 3x ² + 21x – x – 7 – 6x ² + 2x + 9x -3
G = -3x² + 31x -10
IV/ Factoriser une expression littéral :
Factoriser une expression signifie transformer une somme (ou une différence)
Ka + Kb = k (a + b)
Ka – kb = k (a-b)
Exemple:
Factoriser:
3x² - 27x

On repère le facteur commun dans chaque terme :
3x × x - 3x × 9
Je factorise :
3x (x-9)
IV/ Factoriser une expression littérale :
8 π x ² - 2π x × 1
2π x × 4x – 2
2 π x (4x 1)
(3x – 1)(2x + 5) – (3x-1) (x+3) =
(3x – 1) [(2x + 5) – (x+3)]
(3x-1) (2x+5-x-3) =
(3x – 1)(x +2)
V / Egalité remarquables :
1. Carré d’une somme :
(a + b)² = (a +b)(a+b)
=a×a+a×b+b×a+b×b
= a² + ab + ab + b²
= a² + ab + b²
Exemples:
(2x + 1)² = (2x)² + 2 × 2x × 1 + 1
= 4x² + 4x +1
(3x + 7)² = (3x)² + 2 × 3 x ×7 + 7 ²
= 9x² + 42x + 49
2. Carré d’une différence
(a-b)² = (a-b)(a-b)
= a × a + ax(-b) - b×a - b×(-b)
= a² - ab – ab –ab + b²
a² - 2ab +b²
(5-2x)² = 5²-2 × 5x × 2x +(2x)²
= 25 – 20x + 4x²
(5x – 3)² = (5x)² - 2 ×5x × 3 + 3²
= 25x² - 30x + 9
3. Produit d’une somme par une différence
(a+b)(a-b) = a × a + a × (-b) + b × a + b × (-b)
= a² - ab + ab –b²
= a²-b²
Exemples
(5-2x) (5+ 2x) = 25-4x²
(5x – 3) (5x + 3) = 25x² -9
4) Factorisation :
Rappel factoriser une expression c’est transformer une somme ou une différence en un produit.
On utilisera donc les égalités remarquables dans l’autre sens :
a²+2ab+b² = (a+b) ²
a²-2ab+b² = (a-b) ²
a²-b² = (a+b) (a-b)
Exemple:
9-12x + 4x² =
3² - 12x + (2x) ² =
3² - 2 × 3 × 2x + (2x) ²=
(3-2x)²
3-x² + 1 + 12 x=
(6x)² + 1² +2 × 6x × 1
(6x+1)²
81x²-16 =
(9x) ² - 4² =
(9x-4) (9x+4)
Factoriser:
(5x – 2)² - (3x+1)²
A²
-
B²
A = (5x-2)
B = (3x +1)
[(5x-2) + (3x +1)] [(5x-2) – (3x +1)] =
(5x -2 + 3x + 1) (5x-2-3x-1) =
(8x-1) (2x-3)
(3x-2)² - 4(x-3)² = -9x² + 8²
A = (3x-2)² - (3x-2) (x+7) -9x²+4
B = (2x-1)² - (1-2x) (5x-3) + 4x² - 4x² - 4x+1
A = 9x² - 4²
B = 4x -1 – 18x²
Correction:
E = (2x-1)²- (2x-1) (3x-2) + (2x-1)
E = 4x² - 4x × 1x + 1 – (6x²+ 2 – 4x – 3x) + (2x-1)
E = 4x²-4x+1 + 6x² - 2 + 4x + 3x + 2x-1
E = -2x² + 5x -2
E = (2x-1) [(2x – 1) (3x-2)] – 1]
E =(2x-1) [2x-1-3x+2+1]
E = (2x-1) (-x+2)