3°7 Correction du devoir surveillé de mathématiques numéro 1 Exercice 1 : 1- On cherche le PGCD de 45 et 75. 45 = 9 5 = 3 3 5 75 = 3 25 = 3 5 5 Le PGCD de 45 et 75 est 3 5, c’est à dire 15. On cherche le PGCD de 3640 et 1365. Pour cela, on choisit d’appliquer l’algorithme d’Euclide. 3640 – 1365 = 2275 2275 – 1365 = 910 1365 – 910 = 455 910 – 455 = 455 455 est donc le PGCD de 3640 et 1365. 2- On sait que le PGCD de 3640 et de 1365 est 455 d’après la question précédente. D’après le cours, il suffit de simplifier une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur pour la rendre irréductible. 3640 8455 8 8 = = On obtient qui est en effet une fraction irréductible. 1365 3455 3 3 Exercice 2 : On cherche un nombre à trois chiffres dont le chiffre des dizaines est 5. Il sera donc de la forme _5_ . Pour qu’il soit le plus grand possible, on met un 9 au chiffre des centaines. Notre nombre devient donc de la forme 95_. On cherche à déterminer le chiffre des unités. Il faut encore que notre nombre soit divisible par 9. On cherche un chiffre C tel que 9+5+C soit un multiple de 9 (car un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 9). 9, 8, 7, 6 et 5 ne conviennent pas (je pars du plus grand pour avoir le plus grand nombre possible) mais C=4 convient. Le nombre cherché peut donc être 954. Il reste à vérifier que 954 est divisible par 2. C’est le cas, car c’est un nombre pair. Donc 954 est le plus grand nombre à trois chiffres dont le chiffre des dizaines est 5 qui soit divisible par 9 et 2. Exercice 3 : 15 = 5 3 20 = 5 2 2 Le PGCD de 15 et 20 est donc 5. 15 et 20 sont donc deux nombres dont le PGCD est 5. 7 1 14 1 15 35 3 + = + = = = 5 10 10 10 10 25 2 12 7 127 3227 1 B= = = = 35 24 3524 75322 5 22 11 22 6 226 11223 22 4 C= : = = = = = 15 6 15 11 1511 5 5 3511 Exercice 4 : A = Exercice 5 : 64 64 = = 16 100 4 Dans cette classe, il y a 16 élèves qui étudient l’anglais. 2- Il reste donc 25 – 16 soit 9 élèves qui étudient l’allemand sans l’anglais. Sachant que 9 élèves étudient les deux langues, ça nous fait 9+9, soit 18 élèves qui étudient l’allemand. 3- 18 et 16 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous les deux divisibles par 2, et donc leur PGCD n’est pas 1. 1- Nombre d’élèves qui étudient l’anglais : 25