Maille 1

Chapitre 2 :
Méthodes de résolution de réseaux linéaire
I_ Définition :
 Réseaux : ce sont des systèmes de dipôles reliés par des conducteurs de résistance
négligeable
 Réseaux linéaires : les caractéristiques de tous les dipôles sont linéaire c’est à dire qu’une
tension est soit constante, soit proportionnelle à un courant
 une branche : elle est constituée d’un ensemble de série sans aucune ramification hors de
ses extrémités autrement dit c’est un ensemble de dipôles situés entre 2 nœuds.
 un nœud : c’est l’intersection de plusieurs branches
 une maille : c’est un circuit fermé composé d’un certain nombre de branches
 l’arbre d’un circuit : c’est un ensemble de branches du réseau reliant tous les nœuds sans
former de maille
_ Cf fig 1
 il y a 5 nœuds (A, B, C, D, E)
 8 branches (AD, AC, AB, ...)
A

D

C


B
D

A
C

E



D
 A
C

E

B

 Résoudre un réseau linéaire : Les valeurs des ressources et des résistances sont
supposées connues, on veut déterminer les intensités qui parcourent les différentes branches
ou bien les tensions aux bornes des différentes branches.
II_ Lois de Kirchhoff:
1) Rappels :
_ Cf fig 2
2) Loi des nœuds :
Exemple :
I1
I2
I8
I3
I4
I7
I5
I6
1
La somme des courants arrivant à un nœud est nulle
I1 + I2 – I3 – I4 + I5 + I6 – I7 + I8 = 0
3) Loi des mailles :
La somme des tensions Uk aux bornes des branches successives d’une maille
parcourue dans un sens déterminé est nulle.
Exemple :
i1
r1
e1
r2
e3
r3
i3
 choix du sens positif de circulation
 on a  uk = 0
soit e1 + r1 + i1 – r2.i2 – r3.i3 – e3 = 0
ou encore e1 – e3 = -r1.i + r2.i + r3.i3
 généralisation : Loi de Pouillet :
La somme algébrique des sources de tension est égale à la somme des tensions aux
bornes des résistances dans la maille
 ek =  rk.ik
 ek > 0 si ek a le sens positif choisi
 ek < 0 si ek a le sens négatif choisi
 ik > 0 si ik a le sens positif choisi
 ik < 0 si ik a le sens négatif choisi
avec un sens positif opposé :
e3-e1 = -r3.i3 – r2.i2 + r1.i1
le résultat final est indépendant du sens positif choisi
4) Mise en équation par les lois de Kirchhoff :
Soit un réseau comportant b branches et n nœuds.
On a donc b inconnues, loi des nœuds  n – 1 équations indépendantes, avec la loi
des mailles  b – n + 1 équations.
i1
N1 i2
e1

i

e2
R
r1
N2
Ecrivons la loi des nœuds :
r2
EnN1 : i1 + i2 – i = 0
EnN2 : -i1 – i2 + i = 0
2
Ecrivons la loi des mailles :  e1 = r1.i1 + R.i loi de Pouillet pour la maille 1
 e2 = r2.i2 + R.i
maille2
i1 + i2 – i = 0
e2 = r2.i2 + Ri
e1 = r1.i1 + R.i
III_ Méthode des mailles indépendantes :
1) Principe :
On considère un circuit qui comporte b branches, n nœuds, ni générateurs de
courants pur et ne générateur de tension purs seul dans une branche.
La méthode des mailles indépendantes permet la mise en équation et la résolution
systématique en se donnant comme inconnue les courants dans chaque maille.
Elle se décompose en 5 étapes :
 bilan du circuit :
b – n + 1 – n1 inconnues
 choix d’un arbre :
 ne pas introduire dans l’arbre les branches comportant un générateur de courant
 ne pas introduire la ou les branches pour lesquelles on recherche la valeur du courant
 choisir un sens pour les courants de mailles :
C ‘est à dire une maille est formée à partir de l’arbre auquel on ajoute une et une
seule branche, on ferme ainsi les mailles jusqu’à avoir reconstitué tout le circuit, on
oriente le courant dans chacune de ces mailles.
 remplir le tableau suivant :
Maille 1
Maille 2
......
Maille m
i1
R11
R21
i2
R12
R2
Rm1
Rm2
.......
Im
Rr1m
R2m
 E alg
 E alg 1
 E alg 2
Rmm
E alg m
 les termes de la diagonale Rii sont égaux à la somme des résistances de la maille n°i
et sont toujours positifs
 les termes hors de la diagonale Rij (avec i  j) Ri’j = Rji sont égaux à la somme des
résistances communes aux mailles i et j dans le même sens sinon ils sont négatifs.
 les termes de la dernière colonne sont la somme algébrique des générateurs de
tension présent dans la maille, leur signe est déterminé par le sens de parcours de
maille choisi.
 résoudre le système :
R11.i1 + R12.i2 + ... + R1m.im =  E alg 1
.......
Exemple :
_ Cf fig 3
3
 bilan du circuit :
6 branches et 4 nœuds, 0 générateurs de courant seul dans une branche
b – n + 1 – ni = 6 – 4 + 1 – 0 = 3
 choix de l’arbre :
A
B
D
C
 Choix du sens des courants de mailles :
A
B
I1
I2
Maille 1
Maille 2
Maille 3
I3
 Tableau :
I1
Maille 1
Maille 2
Maille 3
R1 + R4 + R5 + R6
I2
-( R4 + R5 + R6)
- ( R4 + R5 + R6)
R2 + R4 + R5 + R6
R4
- R4
I3
R4
- R4
R3 + R4
 E alg
E1 – E6
E6
E3
 système à résoudre :
I1 ( R1 + R4 + R5 + R6) –(R4 + R5 + R6)I2 + R4.I3 = E1-E6
-(R4+R5+R6)I1 + (R2 + R4 + R5 + R6)I2 – R4I3 = E6
R4I1 – R4I2 + (R3 + R4) I3 = E3
IV_ Méthode des potentiels de nœuds :
1) Principe :
 bilan du circuit :
le circuit comprend b branches, n nœuds, ni générateurs de courant, ne générateur de
tension pur
n – 1 – ne inconnues
 choix d’un des nœuds comme origine des potentiels : Vn = 0
 numéroter les nœuds
 remplir le tableau suivant :
soit m le nombre d’inconnues
V1
V2
Vm
 I cc alg
nœuds 1
G11
G12
G1m
 Icc alg 1
nœuds 2
G21
G22
G2m
 Icc alg 2
.....
nœuds m
Gm1
Gm2
Gmm
 Icc alg m
4
Règles :
1) calcul des Gii de la diagonale : les coefficients Gii sont toujours positifs et sont
égaux à la somme des conductances des branches reliées au nœud
2) les coefficients Gij = Gji : ils sont toujours négatifs et sont égaux à la somme des
conductances des branches reliant directement les nœuds n°i et n°j
3) dans la dernière colonne c’est la somme des courants de court circuits de chacune
des branches aboutissant aux nœuds n°i
Si le courant de court circuit arrive au nœud i, il est compté positif, il est compté
négatif sinon.
4) résoudre le système :
G11.V1 + G12.V2 + ... + G1m.Vm =  Icc alg 1
....
2) exemple :
_ Cf fig 4 ( m^me que 3)
 bilan du circuit :
n = 4 ; n1 = 0 ; ne = 0 donc n – 1 - ne = 3 inconnues
 choix d’un des nœud comme origine des potentiels
Vc = 0
 numérotation des nœuds :
par ex : A = 1, B = 2, D = 3
 remplir le tableau
Noeud 1
Noeud 2
Noeud 3
V1
G1 + G2 + G5
- G5
-(G1 + G2)
V2
- G5
G3 + G4 + G5
0
V3
-(G2 + G1)
0
G1 + G2 + G6
 Icc alg
E1/ R1 = G1E1
G3E3
-G1E1-G6E6
 système à résoudre :
(G1 + G2 + G5) . V1 – G5.V2 – (G1 + G2).V3 = G1E1
-G5V1 + (G3 + G4 + G5).V2 = G3E3
-(G1 + G2)V1 + (G1 + G2 + G6)V3 = -G1E1 – G6E6
3) cas particulier : théorème de Millmann
On considère un nœud N auquel aboutissent b branches comportant chacune une
conductance Gi et dont l’extrémité est au potentiel Vi. Le potentiel d’un nœud N est
alors donné par la relation :
Vn =  Gi .Vi
 Gi
5
Exemple :
V2
R1
V1
R2
Vn
N
R3
V3
Vn = G1V1 + G2v2 + G3V3
G1 + G2 + G3
V_ Théorèmes de superposition :
1) Enoncé :
Considérons un circuit comportant plusieurs sources de tension ; le courant dans
une branche donnée est la somme des courant que chacune des sources produirait
dans cette branche si elle était seule dans le circuit.
Pour appliquer le théorème de superposition le circuit doit être linéaire.
2) Règles d’extinction des sources :
A
e
e
B
r
A

B
r
B

A
B
A
B

A
B
A
B

A
A
io
B
3) Exemple :
I
I1
R1
R2
I2
6
I = I + I
Calcul de I :
I
I1
R1
R2
I =
G1
I1
I = G1
I2
G1 + G2
G1 + G2
I = I + I =
G1
(I1 + I2)
G1 + G2
VI_ Théorème de Thévenin :
1) But :
Le but est de remplacer un circuit linéaire quelconque actif complexe, vu de 2 bornes
A et B, par un générateur équivalant dit « générateur de Thévenin ».
A
A
Résistances et
Rt
sources
B

eT
d’énergie
B
2) énoncé :
Tout réseaux dipolaire linéaire de bornes A et B est équivalent à un générateur de
tension (eT, Rt) où eT est la tension Uab mesurée entre A et B en circuit ouvert et où
Tr est la résistance du circuit vu des bornes A et B à source éteinte.
3) Exemple :
R
e
A
R
R1
U1
B
7
Détermination de e(t) :
R
e
A
R
B
eT=
R e=e
R+R
2
Détermination de Rt :
R
A
R
Rt = R / 2
B
Rt = R / 2
A
e (t) = e / 2
U1 = R1 e(t)
R1 + Rt
R1
=
R1
R1 + R/2
U1
B
e
VII_ Théorème de Norton :
1) But :
Simplifier un réseaux complexe et de le ramener à un générateur de courant
A
A
Résistances
in
et sources
d’énergie

B
B
2) énoncé :
Tout réseaux dipolaire linéaire de borne A et B est équivalant à un générateur de
courant (in, Rn) où : in est le courant circulant entre A et B lorsque ses bornes sont
8
court-circuitées et où Rn est la résistance du circuit vu des bornes A et B à source
éteinte.
R
e
A
R
B
Détermination de in :
R
e
A
R
i ab = i n
R en parallèle avec 0
 R est supprimée
B
 i n = i ab = e / R
détermination de Rn :
R
A
R
Rn = R / 2
B
R
i n = e /R
A
Rn=R/2
B
3) équivalence Thévenin-Norton :
Rt = Rn
E T = Rn.In
Ces méthodes sont valables lorsqu’il y a des proportionnalités entre U et i et losqu’il
y a des résistances dans le circuit.
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