Similitudes indirectes

Similitudes indirectes et nombres complexes
 Exercice 1 : Application z  az  b
Soit F l'application définie dans C par z'  3 i z  2 . Caractériser géométriquement la
transformation f qui, à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z'.
Même exercice :
z'  (1 i) z  2
z'  (1 i) z  i 2
z'  i 3 z  2i
z'  (1 i ) z  i  1
 Exercice 2 : On considère l'application f de C dans C, qui à tout nombre complexe z,
associe z '  f ( z)  2 iz  2  i ,
z désignant le nombre complexe conjugué de z.
On désigne par F la transformation du plan complexe, qui au point M d'affixe z, fait
correspondre le point
M ' = F (M), d'affixe z' = f(z).
1) La transformation f admet-elle des points invariants ?
2) Déterminer la nature de F et préciser les éléments géométriques qui la caractérisent :
centre, rapport, axe.
 Exercice 3 : Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé direct. Le complexe
z = x+iy est l'affixe du point M de coordonnées (x, y) de ce plan. z est le conjugué de z.
a) Déterminer la nature et les éléments de chacune des applications S1 et S2 de P dans P Qui
associent au point M d'affixe z respectivement les points S1 (M) d'affixe z1  iz et S2 (M) d'affixe
z2 = 2iz + 5i.
b) Déterminer l'ensemble E des points M du plan pour lesquels la distance des points S1 (M)
et S2 (M) est égale à 1. Préciser la nature des éléments de symétrie de E.
 Exercice 4 : a) - Soit A, B, A' et B' quatre points distincts de P. Montrer qu’il existe une
unique similitude indirecte f telle que f(A) = A' et f(B) = B'. Quand f est-elle une isométrie ?
Quand possède-elle un unique point fixe ?
b) - Dans le cas où f est une similitude à centre donner une construction à la règle et au
compas de son centre.
 Exercice 5 : Dans le plan affine euclidien P muni d'un repère orthonormé, on considère le
point M (x, y) d'affixe
z = x + iy. On pose z  x  iy .
1) Déterminer l'ensemble des points M de P dont l'affixe z vérifie la relation
2 iz  1  i 
2.
2) Soit f l'application de P dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'
définie par z' 2 i z  1  i .
a- Montrer que f admet un point invariant  unique.


b- Déterminer l'ensemble des points M du plan P tel que  M '  2  M .
c- Indiquer alors la nature et les éléments géométriques précis de l'application f.
3) Utiliser la question 2) pour retrouver les résultats de la question 1) par une méthode
géométrique.

 Exercice 6 : Le plan euclidien E est rapporté à un repère orthornomé R  (O, u , v ) .
2
; s1 est
3
la similitude qui, au point M d'affixe z, fait correspondre M' d'affixe z', tel que : z '  2 i z  i  2
Déterminer la similitude s2 telle que s = s2 o s1.
s est la similitude plane directe de centre I (-1 , 1) de rapport k = 2 et d'angle  