1. Nombres complexes en électrotechnique

MATHE T2EC(F)
1. Nombres complexes en électrotechnique
1. Nombres complexes en électrotechnique
1.1
Introduction
La condition pour pouvoir résoudre un problème dans un circuit RLC était jusqu’à présent de
pouvoir tracez un diagramme vectoriel (deut.: Zeigerdiagramm). Ceci devient quasiment impossible dans des circuits plus complexes. Avec les nombres complexes on aura un outil qui
nous permettra de traiter aussi ces circuits d'une façon purement algébrique (deut.: rechnerisch).
1.2
L'unité imaginaire j
Essayons de résoudre les équations suivantes:
•
2x = 6
solution: x = 3
x ∈ ℕ (ℕ est l'ensemble des nombres entier positifs)
•
2x = -6
pas de solution dans ℕ mais dans ℤ. x = -3
(ℤ est l'ensemble des nombres entier positifs et négatifs). ℕ
•
3x = 5
pas de solution dans ℤ mais dans ℚ. x =
(ℚ est l'ensemble des fractions). ℤ
•
x2 = 5
x2 = -1
5
3
ℚ.
pas de solution dans ℚ mais dans ℝ. x = 5 ou x = − 5
(ℝ est l'ensemble des nombres réels). ℚ
•
ℤ.
ℝ.
pas de solution dans ℝ mais dans ℂ. x = j ou x = − j
(ℂ est l'ensemble des nombres complexes). ℝ
ℂ.
C’est en 1777 que le mathématicien Leonhard Euler a eu l’idée d’inventer le nouveau nombre
j avec la propriété suivante:
j2 = −1
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On peut donc noter que:
j = −1
1.3
Les nombres complexes
On appelle nombre complexe tout nombre z qui est de la forme suivante:
z = a + j·b
où a et b sont des nombres réelles
On appelle le nombre a la partie réel de z. On écrit: a = Re(z)
On appelle le nombre b la partie imaginaire de z. On écrit: b = Im(z)
Exemple d'un nombre complexe:
z = -3 + 4,5 · j
Question:
A quoi sert l'invention des nombres complexes?
Réponse:
Voir p.ex. l'Exercice 1:
Exercice 1:
Résolvez les équations suivantes:
a)
z2 = -4
b) z2-4z+5=0
c)
z2-8z+52=0
solution: z1=2-j
z2=2+j
solution: z1=4-6j
z2=4+6j
Question:
Qu'est ce que ça nous apporte en électrotechnique?
Réponse:
Jusqu'à présent rien.
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1. Nombres complexes en électrotechnique
Ce n'est que par l'idée de Carl Friederich Gauß de représenter un nombre complexe par un
point dans un plan à deux dimensions que les nombres complexes trouvent aussi une application en électrotechnique.
1.4
Représentation graphique des nombres complexes
Un nombre complexe peut être représenté par un point dans le plan des nombres complexes.
Exemple:
Exercice 2:
Tracez les nombres complexes suivants dans un plan:
•
z1 = -2+3j
•
z2 = -
•
z3 = j
1
-3j
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1.5
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Notations (deut. Schreibweisen) des nombres complexes
z est la distance entre l'origine O et le point z.
1.5.1
Notation algébrique
z=x+y·j
1.5.2
Notation polaire
Comme x = z · cos(α) et y = z · sin(α) on peut aussi écrire z sous la forme:
z = z ⋅ cos(α) + j ⋅ z ⋅ sin(α)
En mettant z en évidence on obtient la notation polaire.
z = z ⋅ [cos(α) + j ⋅ sin(α)]
1.5.3
avec
z = x2 + y2
Notation exponentielle
On peut monter que:
z ⋅ cos(α ) + z ⋅ j ⋅ sin(α ) = z ⋅ e jα où e = 2,71828…
On peut donc aussi écrire un nombre complexe sous la forme:
z = z ⋅ e jα
Cette notation s'appelle notation exponentielle.
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Exercice 3:
Tracez les nombres complexes suivants dans un plan:
• z1 = 3·ej60°
• z2 = 6·ej(-45°)
Exercice 4:
Convertissez algébriquement (deut.: rechnerisch) la notation des nombres complexes suivants
comme demandé.
a)
z = 3 ⋅ e j60° en notation algébrique
b)
z = 3 + j2 en notation exponentielle
c)
z = 3 ⋅ e j( −60°) en notation algébrique
d)
z = −3 − j2 en notation exponentielle
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1.6
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Règles de calcul dans ℂ
Toute la thématique de la représentation graphique et de la notation des nombres complexes
devrait nous faire fortement penser aux vecteurs. Les nombres complexes on pourtant un grand
avantage par rapport aux vecteurs, c'est qu'on peut aussi les multiplier et diviser. Cette propriété est très importante en électrotechnique comme p.ex. P = U ⋅ I et Z =
U
.
I
Avant de se lancer définitivement dans l'application des nombres complexes en électrotechnique il faudra traiter les règles de calcul sur les nombres complexes.
1.6.1
Addition de nombres complexes
addition en notation classique:
Soit U1 = x 1 + jy 1 ; U2 = x 2 + jy 2 et U T = U1 + U2 alors:
U T = U1 + U2
= x 1 + jy 1 + x 2 + jy 2
U T = (x 1 + x 2 ) + j(y 1 + y 2 )
exemple:
Soit U1 =
3 5
+ j et U2 = 3 + j alors:
2 2
UT = U1 + U2
3 5
+ j +3+ j
2 2
3
 5 
=  + 3 + j + 1
2
 2 
9 7
UT = + j
2 2
=
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représentation graphique de l'exemple précédent:
y=Im(z)
yT
y2
U2
y1
U1
O
UT
x1
x2
x=Re(z)
xT
L'addition en notation classique est assez intuitive. Si les deux nombres complexes sont en notation exponentielle il faut passer par la notation polaire pour résoudre le problème.
addition en notation exponentielle:
Soit U1 = U1 ⋅ e jα1 ; U2 = U2 ⋅ e jα 2 et U T = U1 + U2 alors:
UT = U1 + U2
= U1 ⋅ e jα1 + U2 ⋅ e jα2
= U1 ⋅ cos(α 1) + j ⋅ U1 ⋅ sin(α 1) + U2 ⋅ cos(α 2 ) + j ⋅ U2 ⋅ sin(α 2 )
UT = [U1 ⋅ cos(α 1) + U2 ⋅ cos(α 2 )] + j ⋅ [U1 ⋅ sin(α 1) + U2 ⋅ sin(α 2 )]
Exercice 5:
Additionnez z1 = 3·ej60° et z2 = 6·ej(-45°).
1.6.2
Soustraction de nombres complexes
La soustraction de nombres complexes se fait analogue (deut.: entsprechend) à l'addition.
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1.6.3
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Multiplication et division de nombres complexes
multiplication et division en notation exponentielle:
Rappel sur les puissances:
a n ⋅ a m = an + m
an
n −m
=
a
am
Soit U = U ⋅ ejα et I = I ⋅ ejβ alors:
U ⋅ I = U ⋅ ejα ⋅ I ⋅ ejβ
= U ⋅ I ⋅ ejα ⋅ ejβ
= U ⋅ I ⋅ ejα+jβ
U ⋅ I = U ⋅ I ⋅ ej( α +β )
U U ⋅ ejα
=
I I ⋅ ejβ
U
= ⋅ ejα−jβ
I
U U j( α−β )
= ⋅e
I I
multiplication et division en notation classique:
Exercice 6:
Démontrez la règle suivante en développant:
(a + jb) ⋅ (c + jd) = (ac − bd) + j(ad + bc)
Exercice 7:
Démontrez la règle suivante en utilisant votre savoir faire du chapitre "rendre rationnel le dénominateur":
a + jb  ac + bd   bc − ad 
=
 + j

c + jd  c 2 + d2   c 2 + d2 
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Exercice 8:
Appliquez les deux formules démontrées aux exercices précédents sur les exemples suivants:
a)
(2+3j)·(4+5j)
b)
2 + 3j
4 + 5j
Exercice 9:
Démontrez que:
1
= −j
j
Exercice 10:
Démontrez l'égalité suivante en passant par la notation polaire:
e j90° = j
Rappel sur sin et cos:
α
sin α
cos α
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0°
30°
45°
60°
90°
0
=0
2
4
=1
2
1 1
=
2 2
3
2
2
2
2
2
3
2
1 1
=
2 2
4
=1
2
0
=0
2
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1.7
1.7.1
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Application des nombres complexes en électrotechnique
Impédance et admittance (deut.: Scheinleitwert) complexe de résistances
ohmiques, bobines et condensateurs
L'impédance complexe est définie comme suit:
Z=
U
I
On sait que sur une résistance ohmique la tension et le courant sont en phase.
La tension UR et le courant IR complexe peuvent donc être notés come suit:
UR = UR ⋅ ej0°
IR = IR ⋅ ej0°
Il en suit que:
ZR =
UR
IR
UR ⋅ ej0°
IR ⋅ ej0°
U
= R
IR
ZR = R
=
L'impédance complexe ZR d'une résistance ohmique est donc purement réelle.
1
ZR
1
YR =
R
YR =
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On sait que sur une bobine le courant est 90° en retard par rapport à la tension.
Im
ZL
O
UL
Re
IL
La tension UL et le courant IL complexe peuvent donc être notés come suit:
UL = UL ⋅ ej0°
IL = IL ⋅ ej( −90°)
Il en suit que:
ZL =
UL
IL
UL ⋅ ej0°
=
IL ⋅ ej( −90°)
U
= L ⋅ ej(0°−( −90°))
IL
= XL ⋅ ej90°
= XL ⋅ j
ZL = j⋅ XL
L'impédance complexe ZL d'une bobine est donc purement imaginaire.
Remarque: Il vaut encore que XL = ωL .
1
ZL
1
=
jXL
1
Y L = −j
XL
YL =
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On sait que sur un condensateur la tension est 90° en retard par rapport au courant.
Im
IC
ZC
Re
UC
La tension UC et le courant IC complexes peuvent donc être notés come suit:
UC = UC ⋅ ej( −90°)
IC = IC ⋅ ej0°
Il en suit que:
ZC =
UC
IC
UC ⋅ ej( −90°)
=
IC ⋅ ej0°
U
= C ⋅ ej( −90°−0°)
IC
= X C ⋅ ej( −90°)
1
j
= X C ⋅ −j
= XC ⋅
ZC = −j⋅ XC
L'impédance complexe ZC d'un condensateur est donc purement imaginaire.
Remarque: Il vaut encore que XC =
1
.
ωC
YC =
1
ZC
1
− jXC
1
YC = j
XC
=
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1.7.2
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Résolution de problèmes électrotechniques à l'aide des nombres complexes
Exercices sur l'application des nombres complexes en électrotechnique:
1. Soit un circuit RL en série avec UT=10V·ej0°; f=1kHz; R=50Ω; L=10mH. Déterminez à
l'aide des nombres complexes sans tracer un diagramme vectoriel:
a)
Le courant complexe total IT en notation exponentielle.
b) La valeur efficace (deut.: Effektivwert) du courant.
c)
Le déphasage entre la tension totale et le courant total.
d) Comment est-ce qu'on voit dans le résultat du point c) que le courant est en retard part
rapport à la tension?
2. Soit un circuit RC en série avec UT=10V·ej0°; f=1kHz; R=50Ω; C=2µF. Déterminez à
l'aide des nombres complexes sans tracer un diagramme vectoriel:
a)
Le courant complexe total IT en notation exponentielle.
b) La valeur efficace (deut.: Effektivwert) du courant.
c)
Le déphasage entre la tension totale et le courant total.
3. Déterminez l'impédance complexe totale ZT du circuit suivant:
4. Déterminez l'impédance complexe totale ZT du circuit suivant:
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5. Calculez les valeurs de RS et LS de façon à ce que les deux circuits se comportent de la
même façon (ZTP = ZTS) à une fréquence de 1kHz.
6. Calculez les valeurs de RS et CS de façon à ce que les deux circuits se comportent de la
même façon (ZTP = ZTS) à une fréquence de 1kHz.
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