Constructions à la règle et au compas Christian Côté Cégep de Terrebonne 1. Quadrature du cercle Peut-on construire, à la règle et au compas, un carré ayant la même aire qu’un cercle donné? r 1. Quadrature du cercle Peut-on construire, à la règle et au compas, un carré ayant la même aire qu’un cercle donné? r 2. Duplication du cube Peut-on construire, à la règle et au compas, un cube ayant le double du volume d’un cube donné? L 3 2L Volume = L3 Volume = 2L3 3. Trisection de l’angle Peut-on séparer, à l’aide d’une règle et d’un compas, un angle donné en trois parties égales? A C D O B Angle AOC = Angle COD = Angle DOB Nous verrons dans cette conférence que la réponse à ces trois questions est non. Qu’est ce qu’une construction à la règle et au compas? Voici quelques exemples de constructions à la règle et au compas. Trouver le point milieu d’un segment. r r M Élever la perpendiculaire à une droite passant par un point donné. r r Séparer un angle donné en deux parties égales. r r 1 = l’ensemble des nombres que l’on peut construire à l’aide de la règle, du compas et du segment 1 Les entiers sont constructibles. 1 2 3 4 … n 1 Les rationnels sont constructibles. Soit a, b deux nombres constructibles. Nous allons montrer qu’il est possible de construire a/b. a x 1 b On a x a = 1 b d’où x = a/b. 1 La racine carré d’un nombre constructible est aussi constructible. Soit a un nombre constructible. D M B a h C 1 E 1 La racine carré d’un nombre constructible est aussi constructible. Soit a un nombre constructible. D Les triangles BCD et CDE sont semblables. Donc on a h h B a C 1 E 1 = a h ou encore h2 = a c’est-à-dire h = a = les nombres constructibles 1 2 1 0, 3 2 1 5 4 ? 1 3 5 2 3 ? 2 1 1 17 34 2 17 68 12 17 2 1 17 16 34 2 17 16 34 2 17 = Le plus petit corps contenant et stable sous la racine carrée Constructibilité des angles On dit qu’un angle est constructible si le nombre cos() est constructible. 1 cos() = les nombres constructibles 1 2 1 0, 3 2 2 1 5 cos 4 5 Loin d’être évident. L’angle 2 5 est constructible. ? 1 3 5 2 3 ? 2 1 1 17 34 2 17 68 12 17 2 1 17 16 34 2 17 16 34 2 17 Reformulation des trois problèmes 1. Il est impossible de construire un carré ayant la même aire qu’un cercle de rayon 1; n’appartient pas à . 2. On ne peut pas construire un cube ayant un volume de 2 (le double d’un cube ayant des côtés de longueur 1); n’appartient pas à . 3. On ne peut pas trisecter l’angle π/3; cos(π/9) n’appartient pas à . Maintenant les desserts!!! Comment faire pour construire un pentagone régulier? 2π/5 Réponse: Il faudrait pouvoir construire l’angle 2π/5. Comment faire pour construire un pentagone régulier? 2π/5 2 1 5 1 cos 4 5 Pour quelles valeurs de n peut-on construire un n-gone? Gauss a montré, en 1796, que 2 1 cos 1 17 34 2 17 68 12 17 2 1 17 34 2 17 16 34 2 17 17 16 c’est donc dire que le 17-gone est constructible. Théorème Un n-gone est constructible à la règle et au compas si et seulement si n=2sp1p2…pr où pi est un nombre premier de Fermat. Nombres de Fermat Fermat croyait que tous les nombres de la t 2 forme 2 + 1 étaient premiers. Cet énoncé est vrai pour t=0,1,2,3,4 (3, 5, 17, 257, 65537) mais pour t=5, il est faux. Euler a trouvé, en 1742, que 641 divise 5 2 2 + 1 = 4 294 967 297 et ce sans calculatrice! Aujourd’hui, on pense que tous les autres nombres de Fermat ne sont pas premiers. 3 5 17 257 3 5 15 = 3*5 17 51 = 3* 17 85 = 5*17 255 = 3*5*17 257 65 537 Triangle de Pascal 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 7 8 2 3 4 5 1 1 3 6 1 4 10 10 1 5 15 20 15 21 35 35 21 1 6 1 7 28 56 70 56 28 8 1 1 Triangle de Pascal 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 7 8 2 3 4 5 1 1 3 6 1 4 10 10 1 5 15 20 15 21 35 35 21 1 6 1 7 28 56 70 56 28 8 1 1 Triangle de Pascal 1 1 1 1 2 1 x y 2 x 2 2xy y 2 3 1 x y 3 x3 3x2 y 3xy 2 y3 1 3 1 1 1 1 1 8 5 6 7 4 6 4 10 10 1 5 15 20 15 21 35 35 21 1 6 1 7 28 56 70 56 28 8 1 1 Triangle de Pascal 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 7 8 2 3 4 5 1 1 3 6 1 4 10 10 1 5 15 20 15 21 35 35 21 1 6 1 7 28 56 70 56 28 8 1 1 Triangle de Pascal 1 2 3 5 8 13 21 34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 7 8 2 3 4 5 1 1 3 6 1 4 10 10 1 5 15 20 15 21 35 35 21 1 6 1 7 28 56 70 56 28 8 1 1 Triangle de Pascal 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 7 1 8 0 5 1 0 6 1 3 1 0 4 1 1 3 5 1 3 1 0 6 1 0 4 10 0 0 10 15 17 1 5 1 1 0 15 15 1 20 21 1 35 1 35 1 21 1 1 0 6 51 85 1 7 1 28 0 56 0 70 0 56 0 28 0 80 1 255 1 257 L’origami à notre secours ! Qu’est ce qu’une construction à l’origami? Trisection de l’angle avec l’origami Duplication du cube avec l’origami C B’ CA’ A’D = 3 2 A’ B D A Il faut d’abord plierce la soir feuille en trois À faire Les nombres constructibles par origami = Le plus petit corps contenant et stable sous la racine carrée et la racine cubique Quadrature du cercle avec l’origami n’est pas constructible par origami. Théorème Un n-gone est constructible par origami si et seulement si n=2a3bp1p2…pr où pi est un nombre premier de la forme1+2c3d. Le problème de Napoléon Trouver le centre de ce cercle à l’aide d’un compas et d’une règle. Le problème de Napoléon Trouver le centre de ce cercle à l’aide d’un compas. Merci ! http://ccote.ep.profweb.qc.ca