POLYGONES ET POLYEDRES

CHAPITRE V
POLYGONES
ET POLYEDRES
La Géométrie ne nous intéresse que par ses interférences avec l’Algèbre. Pourtant, nous
essayons ici de concilier les « deux » géométries, plane et dans l’espace, trop souvent
enseignées séparément, avec toutes les difficultés, qu’une telle méthode comporte. Mieux,
c’est par « l’espace », que nous commençons, car les « deux dimensions » n’en sont qu’un
aspect très particulier !
40. Géométrie plane et géométrie dans l’espace.
Dans l’appréciation de notre Univers ont peut se contenter de 3 dimensions, car
la quatrième, le temps, n’est qu’une invention – ou plutôt une découverte – assez
récente : sa connaissance n’est, en tous cas, pas indispensable ici pour nous.
Dans notre vie quotidienne, nous rencontrons sans cesse des prismes et des
parallélépipèdes sans même nous en douter, bien souvent.
Ainsi, les cubes, les diverses boîtes d’emballage, à chaussures et autres, sont
tous des parallélépipèdes, qui dérivent
des polyèdres, et appartiennent donc
bien à la « géométrie dans l’espace ».
Source
de
Notre géométrie plane à deux
lumière
dimensions, ne représente alors qu’un
ASPECT, qu’un extrait de cette
géométrie dans l’espace, mais ces deux
Cube
géométries répondent bien aux mêmes
lois, pour peu que l’on veuille bien se
Ombre
souvenir de ceci : toute figure de la
projetée
géométrie plane n’est que la
projection d’une figure
correspondante de la géométrie dans
Feuille de papier
Fig. V-1. La projection d’une figure de l’espace donne
une figure à deux dimensions.
l’espace.
Et ce terme de projection peut presque être pris
dans un sens, disons photographique ; d’un cube
angles droits
éclairé de l’extérieur, nous ne percevons, sur une
Fig. V-2. Les axes de projection
feuille de papier, donc en deux dimensions, que
Sont perpendiculaires au plan
l’ombre (fig. V-1).
qui contient cette projection.
Dans les projections photographiques, la position
de la source d’éclairage est indifférentes : pour
les projections géométriques, par contre, nous ajouterons encore l’obligation
d’abaisser des perpendiculaires, qui formeront donc des angles droits de 90°
avec le plan à deux dimensions (fig. V-2) ; ces projections seront
ORTHOGONALES.
Dans cette transposition, un POINT ne sera plus que la trace, sur notre feuille de
papier, d’une droite élevée perpendiculairement (à cette feuille) ; de même, une
ligne ne sera que la trace, sur notre feuille de papier, d’un plan (toujours
perpendiculaire à cette feuille). (G)
Ces correspondances entre les « deux géométries », nous les avons résumées
dans le tableau V-A. Occupons-nous maintenant, surtout, des polygones inscrits
vers le bas de ce tableau.
droite
perpendiculaire
point
dièdre
plans
perpendiculaires
droite
polygone
bissectrice de
dièdre
angle
cylindre droit
cercle
bissectrice
d’angle
Fig. V-3. Les différentes traces laissées par les figures de l’espace dans un plan à deux dimensions.
TABLEAU V-A (fig. V-3)
Géométrie dans l’espace
Géométrie plane
Droite perpendiculaire
Point
Dièdre
Angle
Plan bissecteur de dièdre (partage
Bissectrice d’angle (partage l’angle
le dièdre en deux parties égales)
en deux parties égales)
Arête de dièdre
Sommet de l’angle
Prisme
Polygone
Parallélépipède
Parallélogramme
Cube
Carré
Cylindre droit
Cercle
et d’autres encore…
Correspondance entre des figures de géométrie plane et de géométrie dans l’espace.
41. Polygones réguliers.
Pour qu’un polygone soit régulier, il doit remplir essentiellement 2 conditions :
tous ses côtés seront égaux et deux côtés consécutifs (fig. V-4), quels qu’ils
soient, formeront entre eux, des angles égaux. Ces polygones prennent des noms
différents, suivant le nombre, théoriquement illimité, de leurs côtés :
8 côtés donnent un octogone.
6 côtés donnent un hexagone.
5 côtés donnent un pentagone,
et ainsi de suite.
angles
égaux
angles
égaux
côtés
égaux
hexagone régulier
côtés
égaux
pentagone régulier
Fig. V-4. Des polygones réguliers ont des côtés égaux et des angles égaux entre ses côtés.
Pour connaître la somme
des angles d’un polygone
(surtout convexe), il faut
points
compter le nombre de ses
de contact
côtés, en retrancher deux et
multiplier ce résultat par
180°. Pour un octogone, on
trouvera 6 fois 180° =
1080°, pour un rectangle 2
Seule,
cette zone
fois 180° = 360°, pour un
distingue le côté
triangle 1 fois 180° . (G)
de la
Lorsqu’un polygone
circonférence
régulier compte un nombre,
Fig. V-5. Lorsque le nombre de côtés d’un polygone augmente
toujours plus grand de
ces côtés ne se distinguent plus guère de la circonférence
circonscrite.
côtés, on pourra confondre
ceux-ci avec le cercle, qui
lui est circonscrit, autrement dit, avec le cercle, qui touche tous ses sommets,
mais aucun de ses côtés. (voir fig. V-5)
42. Quadrilatères et leurs surfaces.
Les polygones à 4 côtés forment le groupe des quadrilatères qui englobent les
figures géométriques, les plus connues : parallélogrammes, rectangles, carrés,
losanges, trapèzes. Pour alléger notre texte, nous avons préféré résumer leurs
principales caractéristiques dans le tableau V-B ci-dessous
Nous ajouterons, tout juste, que le point de rencontre des diagonales du rectangle
et du carré sert également de centre au cercle, que l’on peut leurs circonscrire
(fig. V-7 ci-contre), comme à tout polygone régulier.
On remarquera que le carré pourrait être considéré comme provenant aussi bien
d’un rectangle, qui aurait ses 4 côtés égaux, que d’un losange, qui aurait l’un de
ses angles droits. La surface de ces quadrilatères, sauf le trapèze, s’obtient tout
simplement, en multipliant un côté par la hauteur, qui y aboutit. La hauteur, elle,
côtés du parallélogramme
côtés du losange
longueurs égales des diagonales
paralèlogramme
côtés paralèles (les bases)
trapèze quelconque
intersection
des diagonales
angles droits
losange
côtés égaux
trapèze rectangle
trapèze isocèle
Fig. V-6. Quelques quadrilatères et leurs principales propriétés.
rectangle
carré
intersection des diagonales
Fig. V-7. Les diagonales du carré se coupent à angle
droit.
sera la
distance la plus
courte, qui sépare
deux côtés opposés,
donc deux côtés
parallèles et par
« distance la plus
courte », on entend
une droite,
perpendiculaire, à la
fois,
perpendiculaire
côté a
hauteur h
même parallèlogramme
Fig. V-8. La perpendiculaire à la droite
est la plus courte dis tance entre
deux droites parallèles.
côté b
côté h’
Fig. V-8 bis . La surface d’u parallèlogramme
peut se calculer de deux manières.
à ces deux côtés (fig. V-8).
Il existe ainsi, au moins, deux
possibilités pour le calcul de telles
surfaces (fig. V-8 bis ci-dessous).
S = a.h = b.h’
Dans les rectangles et dans les
carrés, on pourra se borner à multiplier l’un par l’autre, deux côtés adjacents,
puisque, aussi bien, ces côtés sont perpendiculaires l’un à l’autre (tableau V-B).
TABLEAU V-B (fig. V-6)
Parallélogramme
Losange
Parallèle 2 à 2
Trapèze
2 côtés opposés
(les bases)
Côtés
Egaux
Egaux
seulement sont
2à2
Tous les 4
parallèles
Diagonales
Se coupent en leur milieu
Se coupent en
(droites, qui
leur milieu,
joignent deux
dans les trapèzes
Et à angle
sommets
isocèles
droit
seulement
opposés)
ISOCÈLE :
lorsque deux
côtés non
parallèles sont
Formes
Rectangle
Carré
égaux
particulières
RECTANGLE :
lorsque l’un des
angles de chaque
base est droit.
Dans un trapèze, deux côtés seulement sont parallèles ; il n’existe alors qu’un
seul moyen de calculer sa surface ; mais laquelle des deux bases faudra-t-il alors
prendre comme « côté réel » ? En fait, aucune, mais plutôt leur valeur
moyenne (fig. V-9), autrement dit, la moitié de leur somme, soit a+b et la
2
a
+
b
surface devient, dans ce cas, S =h
2
43. Triangles et droites caractéristiques.
On n’a pas l’habitude de classer des triangles parmi les polygones, bien que
l’étymologie du terme polygone nous y
base a
autorise bien.
haut eur
valeur moyenne
Dans tout triangle, on peut tracer, au moins, 3
droites caractéristique (fig. V-10 ci-contre) :
Les trois MÉDIANES, qui joignent chaque
sommet au milieu du côté opposé ; ces trois
médianes se coupent en un seul point, qui
base b
sera le centre de gravité du triangle ; (G).
Fig. V-9. La surface du trapèze se calcule à
l’aide de la valeur moyenne des deux bases.
Les trois MÉDIATRICES,
perpendiculaires élevées au milieu de
chaque côté, et dont le point d’intersection, également unique, sera le centre
du cercle circonscrit (§ 41). Ce point de rencontre peut, d’ailleurs, se trouver
en dehors de la surface, délimité par les côtés du triangle ;
Les trois HAUTEURS ou perpendiculaires, abaissées en partant de chaque
sommet sur le côté opposé (§ 42). Elles aussi, se rencontrent en un seul point,
qui peut se trouver en dehors du triangle, surtout si l’un de ses angles est
obtus (angle compris entre 90° et 180° ; les angles aigus, eux, sont inférieurs
à 90°).
De même que la somme des angles d’un triangle représente la moitié des angles
du quadrilatère, de même la surface d’un triangle sera la moitié de la surface
d’un quadrilatère, soit
S = 1 a.h
2
Dans un triangle , on dispose
de 3 moyens de calculer cette
surface, en prenant
successivement chacun des
côtés de la hauteur, qui y
aboutit.
La surface d’un
parallélogramme même
pourrait être considérée (fig.
V-13) comme les différences
entre un rectangle extérieur
(S=a.h) et les deux triangles,
hachurés, ayant chacun pour
surface S ''= 1 b.h
2
b
.
h
S =(a.h)−2
2
=ah − bh
=h(a − b)
côtés égaux
base
point
milieu
de la base
angl es égaux
triangle isocèle
côtés égaux
angl es égaux
(60°)
triangle équilatéral
Fig. V -11. Le triangle équilatéral est un cas partic ulier du
triangle is ocèle.
3 médianes
parties égales
angle droit
3 hauteurs
angle droit
intersection
de
médiat rices
médiat rices
L’expression (a − b)
correspond bien à ce que nous
à la fois
haut eur,
médiane et
médiat rice
centre de
gravité
cercle
circonscrit
Fig. V-10. Les trois droites caractéris tiques d’un
triangle.
avons appelé (§ 42), fig. V-9, le « côté du
parallélogramme » et les résultats seront
donc identiques.
44. Triangles isocèles et rectangles.
(G)
Dans les triangles isocèles, les deux
angles, situés aux extrémités de la base
(c’est le nom de ce côté), seront égaux et
les côtés opposés à ces angles seront
égaux, eux aussi (fig. V-11).
Lorsque, dans un triangle isocèle, un
angle à la base vaut 60°, le deuxième, qui
lui est égal, vaut par définition également
60° et il ne reste plus que 60° au
troisième : on aura formé un triangle
« équiangle » (terme inhabituel, qui
montre cependant bien, que ces trianglesci découlent des triangles isocèles) . Or,
aux côtés égaux – nous venons tout juste
de le voir – sont opposés deux angles égaux et de tels triangles seront également
dits « équilatéraux » (fig. V-11)
Dans les triangles isocèles, les 3 droites
A
caractéristiques (§ 43), qui aboutissent à
la base, se confondent en une seule et
ainsi, la hauteur, par exemple, aboutit au
milieu même de cette base, tout comme le
fait normalement le fait normalement la
médiatrice.
C
B
Dans les triangles équilatéraux, il en sera
H
ainsi, même pour les droites
haut eur
angle droit
caractéristiques, qui aboutissent aux
Fig. V-12. Dans un triangle équilatéral, la
côtés, autres que la base.
hauteur aboutit au milieu du côté opposé.
Dans les triangles rectangles, l’un des
angles vaut, à lui seul, 90° (voir
rectangle
aussi le chapitre X), et le côté
opposé à cet angle est
b
a
l’hypoténuse. Rien ne s’oppose,
d’ailleurs, à l’existence de
triangles, qui seraient, à la fois,
h
rectangles et isocèles.
Ces triangles rectangles donnent
lieu, surtout, à une des relations
fondamentales de toute la
a
b
parallèlogramme
géométrie, le fameux théorème de
Fig. V13. On peut considérer le
Pythagore, que nous ne cherchons
parallèlogramme comme la différence
pas à démontrer ici, dont nous
entre un rectangle et deux triangles égaux.
rappelons l’énoncé : la SOMME
des carrés des côtés de l’angle droit égale le carré de l’hypoténuse, ce qui peut
s’écrire
h2 = a2 + b2
et encore h= a 2+b2
Il s’agit bien de la somme des carrés et non pas du carré de la somme qui serait
(a + b)2, le produit remarquable du § 15.
Ainsi, si, dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit valent
respectivement 4 et 3 (unités quelconques) l’hypoténuse mesurera
h= a 2+b2
= (4) +(3)
2
2
= 16+9
= 25
=5
(unités quelconques)
45. Calculs dans les triangles.
Dans un triangle équilatéral, une hauteur quelconque aboutit toujours au milieu
du côté opposé et forme (fig. V-12) deux triangles rectangles, dans lesquels nous
pourrions encore écrire :
(AH)2 = (AB)2 − (BH)2
Si l’on appelle a le côté AB, BH vaudra automatiquement a et nous aurons :
2
2
( AH )2 =a 2− a2
2
=a 2 − a
4
2
= 3a
4
et on tire
()
( 2)(3) = a 3
AH = a
4
2
On peut ainsi trouver directement la hauteur, en connaissant uniquement le côté
du triangle.
Inversement, en partant de la hauteur h d’un tel triangle équilatéral, on pourrait
calculer son côté x ; d’après le calcul précédent, nous aurions :
x 3
h=
2
2h= x 3
x= 2h
3
2h 3
x=
3