Centre de masse d`un système de deux particules Exemple 5.1.1
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Jusqu’ici, nous n’avons pas considéré la taille des objets. Ça ne paraissait pas toujours, mais on considérait que les objets étaient ponctuels. Bien sûr, on plaçait les forces aux bons points d’application sur l’objet, mais cela n’avait aucune influence sur nos équations des forces. Nous allons maintenant commencer à considérer la taille des objets puisque cela aura une influence au chapitre suivant. On pourra ensuite montrer que, même si on tient compte de la grosseur des objets, tout ce qu’on a fait dans les chapitres précédents est valide. On décrivait simplement le mouvement du centre de masse de l’objet. Nous allons premièrement expliquer comment trouver le centre de masse d’un système. Nous allons commencer par un cas simple pour ensuite trouver le centre de masse pour des systèmes plus complexes. Centre de masse d’un système de deux particules La position du centre de masse est Centre de masse d’un système composé de deux particules xcm m1 x1 m2 x2 m1 m2 Exemple 5.1.1 Où est le centre de masse de ces deux masses ? Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La position du centre de masse est xcm m1 x1 m2 x2 m1 m2 5kg 0m 5kg 6m 5kg 5kg 30kgm 10kg 3m Le centre de masse est donc exactement entre les deux masses. Exemple 5.1.2 Où est le centre de masse de ces deux masses ? La position du centre de masse est xcm m1 x1 m2 x2 m1 m2 5kg 0m 15kg 6m 5kg 15kg 90kgm 20kg 4,5m Le centre de masse est donc plus près de la masse la plus grande. Avec deux masses, le centre de masse est toujours plus près de la masse la plus grande. Plus la différence de masse est importante, plus le centre de masse est près de la masse la plus grande. Version 2016b 5 - Le centre de masse 2 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Centre de masse d’un système de plusieurs particules La position du centre de masse est Centre de masse d’un système composé de particules xcm m1 x1 m2 x2 m3 x3 m4 x4 m1 m2 m3 m4 Exemple 5.1.3 Où est le centre de masse de ces trois particules ? La position du centre de masse est xcm m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 m2 m3 5kg 0m 2kg 2m 13kg 6m 5kg 2kg 15kg 82kgm 20kg 4,1m Notez que si on augmente la valeur d’une des masses, le centre de masse se déplace vers cette masse. Version 2016b 5 - Le centre de masse 3 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Centre de masse d’un système de plusieurs particules en deux dimensions La position du centre de masse est Centre de masse d’un système composé de particules xcm m1 x1 m2 x2 m3 x3 m4 x4 m1 m2 m3 m4 ycm m1 y1 m2 y2 m3 y3 m4 y4 m1 m2 m3 m4 Exemple 5.1.4 Où est le centre de masse de ces trois particules ? La position de centre de masse en x est xcm m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 m2 m3 2kg 4m 3kg 0m 5kg 1m 2kg 3kg 5kg 8kgm 0kgm 5kgm 2kg 3kg 5kg 3kgm 10kg 0,3m Version 2016b 5 - Le centre de masse 4 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La position de centre de masse en y est ycm m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1 m2 m3 2kg 2m 3kg 2m 5kg 3m 2kg 3kg 5kg 4kgm 6kgm 15kgm 2kg 3kg 5kg 5kgm 10kg 0,5m Le centre de masse est donc à la position (-0,3 m, -0,5 m). Centre de masse d’un objet Si on voulait trouver le centre masse d’un objet, on utilise les mêmes formules que celles données précédemment. En prend l’objet et on le sépare en particules minuscules. On applique ensuite les formules de la position du centre de masse avec toutes ces particules. Vous allez surement dire que la somme sera longue à faire, mais il existe des trucs mathématiques pour réussir ce genre de somme (trucs qu’on ne verra pas ici) Utilisation des symétries pour trouver le centre de masse d’un objet Quand un objet est symétrique, le centre de masse doit être sur l’axe de symétrie. Comme les deux côtés de l’objet sont identiques par rapport à l’axe de symétrie, on ne voit pas pourquoi le centre de masse serait plus d’un côté que de l’autre. Le centre de masse doit donc être sur l’axe de symétrie. S’il y a plusieurs axes, le centre de masse sera donc au croisement des axes de symétrie. Sachez qu’il est impossible que les axes de symétrie ne se croisent pas tous au même endroit. Centre de masse et axe de symétrie Si l’objet possède un axe de symétrie, le centre de masse doit être sur cet axe. S’il y a plusieurs axes de symétrie, le centre de masse est au croisement des axes de symétrie. Notez qu’il n’y a pas que la forme de l’objet qui doit être symétrique, la densité de l’objet doit l’être aussi. Version 2016b 5 - Le centre de masse 5 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Cette simple utilisation de la symétrie nous permet donc de trouver le centre de masse d’objets simples sans devoir faire de longs calculs pour le trouver. Prenons une plaque triangulaire par exemple. Il y a trois axes de symétrie sur cette plaque en forme de triangle équilatéral. Le centre de masse est au croisement de ces axes. En utilisant ce truc, on peut donc trouver le centre de masse de plusieurs objets. On va se contenter ici de tiges ou de plaques, mais on pourrait appliquer cette idée pour des objets en trois dimensions (le centre de masse se trouverait alors au croisement des plans de symétrie) Si vous avez affaire à un objet qui n’est pas symétrique, mais qui est composé d’objets symétriques, vous pouvez trouver son centre de masse en utilisant le truc suivant : Si un objet est composé d’objets moins massifs dont vous connaissez la position du centre de masse, remplacez ces objets par des masses ponctuelles situées au centre de masse de l’objet. Appliquer ensuite les formules pour trouver le centre de masse d’un système formé de masse ponctuelle pour trouver le centre de masse. Version 2016b 5 - Le centre de masse 6 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 5.1.5 Où est le centre de masse de cet assemblage de 3 tiges ? Comme on sait que le centre de masse d’une tige uniforme est au milieu de la tige, nous allons remplacer chaque tige par une masse ponctuelle située au milieu de la tige. Vous vous demandez peut-être comment on a trouvé le centre de la tige de 3 kg. En fait, c’est assez facile. En x, un des bouts de la tige est à x = 0 et l’autre bout est à x = 8 m. Le milieu est donc à x = 4 m. En y, un des bouts de la tige est à y = 0 et l’autre bout est à y = 6 m. Le milieu est donc à y = 3 m. On applique ensuite la formule du centre de masse pour trouver sa position. xcm m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 m2 m3 1kg 0m 2kg 4m 3kg 4m 1kg 2kg 3kg 0kgm 8kgm 12kgm 1kg 2kg 3kg 20kgm 6kg 3, 33m Version 2016b 5 - Le centre de masse 7 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec ycm m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1 m2 m3 1kg 3m 2kg 0m 3kg 3m 1kg 2kg 3kg 3kgm 0kgm 9kgm 1kg 2kg 3kg 12kgm 6kg 2m Le centre de masse est donc à la position (3,33 m, 2 m) Exemple 5.1.6 Où est le centre de masse de cette plaque de bois si la plaque 1 a une masse de 8 kg et la plaque 2 a une masse de 16 kg ? www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2011-may-11 On remplace chacune des plaques par une masse ponctuelle au centre de la plaque Version 2016b 5 - Le centre de masse 8 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La position du centre de masse en x est donc xcm m1 x1 m2 x2 m1 m2 8kg 2m 16kg 4m 8kg 16kg 16kgm 64kgm 8kg 16kg 80kgm 24kg 3, 33m La position du centre de masse en x est donc ycm m1 y1 m2 y2 m1 m2 8kg 3m 16kg 1m 8kg 16kg 24kgm 16kgm 8kg 16kg 40kgm 24kg 1, 67m Le centre de masse est donc à la position (3,33 m, 1,67 m) Version 2016b 5 - Le centre de masse 9 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Notez que le centre de masse n’est pas nécessairement à l’intérieur de la matière qui compose l’objet. L’image montre la position du centre de masse de 4 objets. Pour tous ces objets, le centre de masse est à l’extérieur de la matière qui compose l’objet, ce qui signifie qu’on pourrait toucher le centre de masse avec notre doigt (en passant, on ne sentirait rien avec notre doigt en touchant le centre de masse) schools.wikia.com/wiki/Center_of_Mass Gravitation et centre de masse La force de gravitation On pourrait commencer par un rappel concernant la force de gravitation. On avait alors Poids (P) ou Force de gravitation (Fg) 1) Grandeur de la force Fg mg 2) Direction de la force Vers le bas (centre de la Terre) 3) Point d’application de la force À partir du centre de masse de l’objet. On voit donc une première raison pour laquelle le centre de masse est important. En réalité, la force de gravitation s’applique sur tous les atomes du corps, mais pour calculer le mouvement d’un objet, ça revient au même si on fait comme si toute la force s’appliquait au centre de masse. Version 2016b 5 - Le centre de masse 10 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La première loi de Newton De façon correcte, la première loi de Newton dit que la vitesse du centre de masse doit rester constante. Si vous êtes immobile dans l’espace loin de toutes autres masses, il n’y aura pas de forces externes et votre centre de masse restera toujours au même endroit. Il n’y a aucun mouvement que vous pouvez faire pour vous mettre le centre de masse en mouvement. Si vous lancez quelque chose, disons une botte, vous allez partir dans la direction opposée, mais le centre de masse de vous et de la botte restera toujours à la même place. Même si le centre de masse va en vitesse constante, l’objet peut être en rotation. Par exemple, le mouvement de cet outil se fait en l’absence de force externe. schools.wikia.com/wiki/Center_of_Mass Le seul point de l’objet qui se déplace en ligne droite, comme le spécifie la première loi de Newton s’il n’y a pas de force externe, est le centre de masse. Le reste des atomes de l’objet peut faire un mouvement beaucoup plus compliqué que cela. Si on reprend l’exemple dans lequel vous êtes pris dans l’espace et qu’il n’y a pas de forces externes, cela veut dire que les mouvements ne peuvent changer la vitesse du centre de masse, mais ils peuvent vous mettre en rotation. Erreur dans les films On voit souvent des erreurs dans les films de science-fiction quand un vaisseau spatial explose. Comme l’explosion est une force interne, elle ne devrait pas changer la vitesse du centre de masse. Le centre de masse de tous les débris devrait donc continuer avec la même vitesse que le vaisseau. Pourtant, il arrive souvent qu’après l’explosion, le centre de masse de tous les débris change de vitesse (il semble devenir immobile bien souvent). Ça semble être le cas pour l’explosion de ce vaisseau dans « star wars I » http://physique.merici.ca/mecanique/explosion.wmv Version 2016b 5 - Le centre de masse 11 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Quand le vaisseau explose, le centre de masse des débris devrait continuer avec la même vitesse et venir frapper le vaisseau qui l’a détruit. Le vaisseau serait alors bombardé de fragments provenant de l’explosion et plusieurs de ces fragments pourraient faire des dommages considérables. La deuxième loi de Newton De façon précise, la deuxième loi de Newton (F = ma) décrie le mouvement du centre de masse. Par exemple, quand on affirme que les projectiles suivent une trajectoire parabolique, on affirmait en réalité que c’est le centre de masse de l’objet qui suivait une trajectoire parabolique. www.ux1.eiu.edu/~addavis/1350/09Mom/CoM.html Quand on appliquera les lois de Newton au corps humain (donc quand on fera de la biomécanique), on devra connaitre la position du centre de masse de certaines parties du corps. Par exemple, on pourrait avoir besoin de connaitre la position du centre de masse d’un membre supérieur www.gettyimages.ca/detail/photo/close-up-of-a-mans-extended-arm-royalty-free-image/78027328?Language=en-GB Version 2016b 5 - Le centre de masse 12 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Il serait vraiment difficile de calculer la position du centre de masse dans ce cas à partir de nos formules. Cependant, il y a des chercheurs qui ont déterminé pour vous où se trouve le centre de masse d’un membre supérieur. En moyenne, le centre de masse se trouve à 53 % de la distance entre l’épaule et le poignet si on mesure la distance à partir de l’épaule. Si on mesure la position du centre de masse à partir du poignet, le centre de masse est à 47 % de la distance entre l’épaule et le poignet. www.gettyimages.ca/detail/photo/close-up-of-a-mans-extended-arm-royalty-free-image/78027328?Language=en-GB Veuillez noter que ceci nous permet de trouver la position du centre de masse de tout le membre supérieur, incluant la main, même si on utilise une distance qui n’inclue pas la main. En fait, on a trouvé la position du centre de masse de plusieurs parties du corps. On donne les résultats de ces mesures dans la table de Winter, du nom du chercheur qui a dirigé ces études. Dans la table, on donne toujours le choix entre deux points de référence pour trouver le centre de masse. Dans le cas du membre supérieur, on peut donc trouver la distance entre le centre de masse et l’épaule (qu’on appelle le point proximal) ou entre le centre de masse et le poignet (qu’on appelle le point distal). Le point proximal est toujours plus près du cœur que le point distal. Version 2016b 5 - Le centre de masse 13 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Table anthropométrique de Winter Membre Main Avant-bras Bras Avant-bras et main Membre supérieur (tenu droit) Pied Jambe Cuisse Jambe et pied Membre inférieur (tenu droite) Tête, cou et tronc Tête et cou Version 2016 Segment Point proximal/ Point distal Poignet (processus styloïde) / 2e articulation du majeur (IPP du 3e doigt) Coude (ligne des épicondyles)/ Poignet (processus styloïde) Épaule (acromion)/ Coude (ligne des épicondyles) Coude (ligne des épicondyles) Poignet (processus styloïde) Épaule (acromion)/ Poignet (processus styloïde) Cheville (Malléole latérale)/ Tête du 2e métatarse (MTP II) Genou (ligne des épicondyles fémorale)/ Cheville (ligne de malléoles) Hanche (grand trochanter)/ Genou (ligne des épicondyles fémorale) Genou (ligne des épicondyles fémorale)/ Cheville (ligne des malléoles) Hanche (grand trochanter)/ Cheville (ligne des malléolaires) Dessus du crâne / Hanche (grand trochanter) 7e cervicale/ canal de l’oreille Masse segment/ Masse corps Distance du c.m./ longueur du segment proximal Distance du c.m./ longueur du segment distal 0,006 0,506 0,494 0,016 0,430 0,570 0,028 0,436 0,564 0,022 0,682 0,318 0,050 0,530 0,470 0,0145 0,500 0,500 0,0465 0,433 0,567 0,100 0,433 0,567 0,061 0,606 0,394 0,161 0,447 0,553 0,578 0,604 0,396 0,081 1,000 0,000 5 - Le centre de masse 14 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La figure suivante précise les points de référence utilisés dans la table de Winter. staps.bordeaux.free.fr/cours/biomeca/chapitre4.pdf Exemple 5.3.1 Voici Natasha qui fait son yoga matinal. Natasha a une masse de 55 kg. Il y a 80 cm entre la cheville et la hanche de Natasha. 30dyc.com/yoga-extended-forward-bend-half-split/ Version 2016 5 - Le centre de masse 15 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec a) Quelle est la masse du membre inférieur de Natasha ? La table de Winter nous dit que le rapport entre la masse du membre inférieur et la masse de corps (3e colonne de la table) est de 0,161. La masse du membre inférieur est donc m 0,161 55kg 8,855kg b) Quelle est la distance entre la hanche et le centre de masse du membre inférieur de Natasha ? La table de Winter nous dit que la distance entre le centre de masse du membre inférieur et le point proximal (4e colonne de la table) est de 0,447. La distance est donc x 0, 447 80cm 35, 76cm c) Quelle est la distance entre la cheville et le centre de masse du membre inférieur de Natasha ? La table de Winter nous dit que la distance entre le centre de masse du membre inférieur et le point distal (5e colonne de la table) est de 0,553. La distance est donc x 0,553 80cm 44, 24 cm La position du centre de masse est donc montrée sur cette figure Version 2016 5 - Le centre de masse 16 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La table donne la position du centre de masse des segments quand ils sont tenus droits. Difficile d’avoir un avant-bras qui ne sera pas droit, mais ce serait possible qu’un membre inférieur, par exemple, ne soit pas droit. Il pourrait avoir une configuration telle que celle de la jambe gauche de cette personne. breakingmuscle.com/awake-evolve/awake-evolve-cycle-2-side-angle-bend-pose-focus Dans ce cas, on trouve le centre de masse de chacun des segments et on remplace le segment par une masse au centre de masse. Dans le cas du membre inférieur sur la figure. On trouverait la position du centre de masse de la jambe et ensuite celui de la cuisse. On remplacerait la cuisse par une masse au centre de masse de la cuisse et on remplacera la jambe par une masse située au centre de masse de la jambe. On trouve finalement la position du centre de masse du membre inférieur avec notre formule de la position du centre de masse. xcm m1 x1 m2 x2 m3 x3 m4 x4 m1 m2 m3 m4 ycm m1 y1 m2 y2 m3 y3 m4 y4 m1 m2 m3 m4 Probablement qu’un exemple rendra cette procédure plus concrète. Version 2016 5 - Le centre de masse 17 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 5.3.2 Où est le centre de masse du membre supérieur (incluant la main) de Grace ? Il y a 30 cm entre son épaule et son coude et 25 cm entre son coude et son poignet. Grace a une masse de 60 kg www.gettyimages.ca/detail/photo/beauty-queen-waving-hand-holding-magic-wand-smiling-royalty-freeimage/72867816?Language=en-GB On va travailler avec 2 segments droits : 1) Le bras 2) L’avant-bras et la main Le bras Selon la 3e colonne de la table de Winter, la masse du bras de Grace est m 0, 028 60kg 1, 68kg La distance entre le centre de masse et l’épaule (qui est le point proximal) est (selon la 4e colonne de la table) et 0,436 fois la distance entre l’épaule et le coude. On a donc x 0, 436 30cm 13, 08cm Avant-bras et main Selon la 3e colonne de la table de Winter, la masse de l’avant-bras et de la main de Grace est Version 2016 5 - Le centre de masse 18 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec m 0, 022 60kg 1, 32 kg La distance entre le centre de masse et le coude (qui est le point proximal) est (selon la 4e colonne de la table) et 0,682 fois la distance entre le coude et le poignet. On a donc x 0, 682 25cm 17, 05cm Position du centre de masse On travaillera avec des axes x et y dont l’origine est à l’épaule. On remplace ensuite le bras par une masse concentrée au centre de masse du bras et l’avant-bras et la main. On a donc les masses suivantes 1) Une masse de 1,68 kg à la position x = 13,08 cm et y = 0 cm 2) Une masse de 1,32 kg à la position x = 30 cm et y = 17,05 cm La position du centre de masse en x est donc xcm m1 x1 m2 x2 m1 m2 1,68kg 13,08cm 1, 32kg 30cm 1,68kg 1, 32kg 61,5744kgcm 3kg 20,5248cm Version 2016 5 - Le centre de masse 19 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La position du centre de masse en y est ycm m1 y1 m2 y2 m1 m2 1,68kg 0cm 1,32kg 17,05cm 1, 68kg 1,32kg 22,506kgcm 3kg 7,502cm Exemple 5.3.2 À quelle hauteur est le centre de masse de Betty quand elle est dans cette position ? www.faqs.org/oc/Overcoming-Digestive-Problems/Yoga-for-your-tummy.html On a les informations suivantes concernant Betty Masse : 70 kg Distance entre la cheville et la hanche = 70 cm Distance entre la hanche et les épaules = 50 cm Distance entre la hanche et le dessus du crâne = 84 cm Hauteur de la cheville = 8 cm On va séparer Betty en segments suivants 1) Les membres inférieurs Version 2016 5 - Le centre de masse 20 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 2) Le tronc, le cou et la tête 3) Les membres supérieurs On va trouver le centre de masse de chacun de ces segments et remplacer le segment par une masse concentrée au centre de masse du segment. Comme on demande uniquement la hauteur du centre de masse, on n’a besoin que de la position en y du centre de masse de chaque segment. Si on avait demandé où est le centre de masse en x, cela aurait été très facile puisqu’il y a un axe de symétrie en x qui passe par le centre de Betty, ce qui signifie que le centre de masse en x est sur cet axe. Reste à voir à quelle hauteur est ce centre de masse. Les membres inférieurs Selon la table de Winter, la masse d’un membre inférieur est de 0,161 fois la masse du corps. Pour les deux membres inférieurs, la masse est donc m 2 0,161 70kg 22,54kg Trouvons maintenant la distance entre le centre de masse et la cheville (qui est le point distal). Selon la table de Winter, cette distance est 0,553 fois la distance entre la cheville et la hanche. La distance est donc x 0,553 70cm 38, 71cm Ceci est la hauteur, par rapport à la cheville. Comme la cheville est déjà à 8 cm du sol, la distance entre le sol et le centre de masse des membres inférieurs est de 38,71 cm + 8 cm = 46,71 cm Le tronc, le cou et la tête Selon la table de Winter, la masse est de 0,578 fois la masse du corps. La masse est donc m 0,578 70kg 40, 46kg Trouvons maintenant la distance entre le centre de masse et la hanche (qui est le point distal). Selon la table de Winter, cette distance est 0,396 fois la distance entre la hanche et le dessus du crâne. La distance est donc Version 2016 5 - Le centre de masse 21 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec x 0, 396 84 cm 33, 264 cm Ceci est la hauteur, par rapport à la hanche. Comme la hanche est à 70 cm de la cheville et que la cheville est à 8 cm du sol, la distance entre le sol et le centre de masse des membres inférieurs est de 33,246 cm + 70 cm + 8 cm = 111,246 cm Les membres supérieurs Selon la table de Winter, la masse d’un membre supérieur est de 0,050 fois la masse du corps. Pour les deux membres supérieurs, la masse est donc m 2 0,050 70kg 7kg Les membres supérieurs sont partout à la même hauteur que les épaules. Le centre de masse des membres supérieurs est donc à la même hauteur que les épaules. (La table de Winter nous permettrait de trouver la position en x des membres supérieurs, une information inutile ici.) Les épaules sont à 50 cm de la hanche. Comme la hanche est à 70 cm de la cheville et que la cheville est à 8 cm du sol, la distance entre le sol et le centre de masse des membres inférieurs est de 50 cm + 70 cm + 8 cm = 128 cm Hauteur du centre de masse On travaillera avec un axe des y dont l’origine est au sol. On remplace ensuite chacun des segments par une masse concentrée au centre de masse du segment. Version 2016 5 - Le centre de masse 22 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La position du centre de masse en y est donc ycm m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1 m2 m3 22,54kg 46,71cm 40, 46kg 111, 246cm 7kg 128cm 22,54kg 40, 46kg 7kg 6449, 9kgcm 70kg 92,14cm Voici un dernier fait intéressant pour ce chapitre. Les athlètes qui sont du saut en hauteur réussissent à passer par-dessus la barre même si leur centre de masse passe sous la barre. Ils y parviennent en prenant une forme très courbée au moment de passer la barre. www.sciencemadesimple.co.uk/activities/lift_your_leg Centre de masse d’un système composé de particules xcm m1 x1 m2 x2 m3 x3 m4 x4 m1 m2 m3 m4 ycm m1 y1 m2 y2 m3 y3 m4 y4 m1 m2 m3 m4 Centre de masse et axe de symétrie Si l’objet possède un axe de symétrie, le centre de masse doit être sur cet axe. S’il y a plusieurs axes de symétrie, le centre de masse est au croisement des axes de symétrie. Version 2016 5 - Le centre de masse 23 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 5.1 Position du centre de masse 1. Jean, d’une masse de 75 kg, se trouve à la position x = 0 et Jacques, d’une masse de 60 kg, se trouve à la position x = 5 m. Où se trouve leur centre de masse ? 2. Où est le centre de masse de ces 4 masses ? www.wired.com/wiredscience/2013/12/a-crane-a-tank-and-the-center-of-gravity/ 3. Où est le centre de masse de cette poutre composée de 3 tiges ? 4. Où est le centre de masse de ces trois masses ? www.batesville.k12.in.us/Physics/APPhyNet/Dynamics/Center%20of%20Mass/2D_1.html Version 2016 5 - Le centre de masse 24 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 5. Une tige de longueur 60 cm est fixée perpendiculairement au bout d’une tige de longueur 30 cm. Si la tige verticale a une masse de 2 kg et la tige horizontale à une masse de 1 kg, où se trouve le centre de masse des deux tiges ? 6. Où est le centre de masse de cet objet formé de trois tiges ? www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/rods-uniform-density-connected-shown-form-triangular-shapedetermine-location-center-mass--q4225150 7. La forme représentée sur figure a été découpée dans une feuille de plastique homogène. Chaque carré a une masse de 10 g et une dimension de 2 cm par 2 cm. Trouvez la position du centre de masse par rapport à l’origine des axes. Version 2016 5 - Le centre de masse 25 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 5.3 Le centre de masse du corps humain 8. Une personne de 50 kg a une cuisse d’une longueur de 0,40 m. a) Quelle est la masse de la cuisse ? b) À quelle distance du genou se trouve le centre de masse de la cuisse ? c) À quelle distance de la hanche se trouve le centre de masse de la cuisse ? 9. Déterminer la position du centre de masse des trois segments tête/tronc, bras et avant-bras par rapport à l’origine dans la position montrée sur la figure. Les dimensions sont en cm. 10. Une personne de 70 kg maintient sa jambe pliée avec un angle de 90°. La cuisse à une longueur de 40 cm et la jambe (du genou jusqu’à la cheville) à une longueur de 42 cm. a) Quelle est la masse de la cuisse ? b) Quelle est la masse de la jambe et du pied ? c) En prenant le genou comme origine des coordonnées, à quelle position se trouve le centre de masse de la cuisse ? d) À quelle position se trouve le centre de masse de la jambe et du pied ? e) À quelle position se trouve le centre de masse de tout le membre inférieur dans cette position ? Version 2016 5 - Le centre de masse 26 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 11. Une personne se tient debout avec les bras pendant le long de corps. Cette personne a une masse de 75 kg et mesure 170 cm. Sa cheville est à 8 cm du sol, sa hanche est à 82 cm du sol. L’épaule est située à 140 cm du sol et les membres supérieurs, de l’épaule au poignet, mesurent 45 cm. a) À quelle hauteur au-dessus du sol se situe le centre de masse des membres inférieurs ? b) À quelle hauteur au-dessus du sol se situe le centre de masse du tronc du cou et de la tête ? c) À quelle hauteur au-dessus du sol se situe le centre de masse de membres supérieurs ? d) À quelle hauteur au-dessus du sol se situe le centre de masse de tout le corps ? 12. Refaire la question précédente, mais cette fois avec les bras tenus verticalement vers le haut. De combien s’élève le centre de masse quand nos bras passent d’une position le long du corps à une position verticale vers le haut ? 11.1 Position du centre de masse 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. xcm = 2,22 m xcm = 5,5 m xcm = 2,333 m xcm = 2 m xcm = 5 cm xcm = 13,85 cm xcm = 0,25 cm ycm = 1,7 m ycm = 20 cm ycm = 5,77 cm ycm = 3,25 cm 5.3 Le centre de masse du corps humain 8. a) 5 kg b) 22,68 cm 9. x = 23,41 cm y = 12,31 cm 10. a) 7 kg b) 4,27 kg d) x = 0 y = -25,45 cm 11. a) 48,922 cm b) 116,848 cm 12. a) 48,922 cm b) 116,848 cm donc de 4,77 cm Version 2016 c) 17,32 cm c) x = -22,68 cm e) x = -14,09 cm c) 116,15 cm c) 163,85 cm y=0 y = -9,64 cm d) 94,91 cm d) 99,68 cm, il s’élève 5 - Le centre de masse 27
