Aid e mémoire Géométrie 6è me Points alignés: D e s p o i n t s s o n t a l i g n é s l o r s q u ' i l s a p p a r t i e n n e n t à la m ê m e d r o i t e . D r o i t e , d e mi - d r o i t e e t s e g m e n t d e d r o i t e : droite: A (AB ) B (AB ) C (AB ) B B (AB) A C Droites sécantes: A Deu x dr oit es s écantes so nt deux d roites a yant un seul p oint c ommun appelé point d'intersection. (d) demi-droite: C ' est une port ion de d roite limitée d'un s eu l c ôté par un point appelé origine. [AB) A (d') A Droites perpendiculaires : B segment de droite: C'est une portion de d roite limitée par deux points appelés extrémités. [AB] Deu x droites perpendiculaires formant quatre angles droits. sont deux d roites qui se coupent en (d1) (d1) (d2) A B (d2) Droites parallèles L o n g u e u r d ' u n s e g me n t : On mesu re la longueu r d'un s egm ent à l'aide d'une règle graduée. On note AB = 5 cm // : Deu x droites parallèles // sont deux droites qui ne sont pas sécantes. (d1) A B (d1) // (d2) (d2) Milieu d'un segment: Le m i l i e u d ' u n s e g m e n t e s t l e p o i n t d e c e s e g m e n t q u i l e p a r t a g e e n d e u x segm ents de m ême lon gueu r. B I A AB = 6 cm I [ AB] et IA = IB = 3 cm Droites confondues: A, B et C sont ali gnés. (AB) et (BC) ne s ont pas s écantes et sont donc parallèles // . Elles sont confondues. Propriété 1: Symétrie par rapport à une droite: Par un point donné A, on ne peut tracer qu'une une seule perp endi culai re à une droite donnée (d). Deu x figur es sont sym ét ri qu es par rapport à une dr oite si, en pli ant suivant cette droite, les deux figures se superposent. Cette droite est appelée axe de symétrie. A Les deux figures (F) et (F') ont la mêm e form e et les mêmes dimensions. (F) (d) (F') Propriété 2: Pa r un point donné A, on n e peut tracer qu'une seule para llèle une droite donnée. // à (d) (d) A Symét rique d'un point par rapport à une d roit e: Propriété 3: N' S i d e u x d r o i t e s s o n t p e r p e n d i c u l a i r e s à u n e mê me d r o i t e , a l o r s elles sont parallèles //. Données: (d2) (d1) (d3) (d1) Conclusion: (d2) // (d3) (d3) (d2 ) (d) N (d1) → M (d) alors le symétrique de M par rapport à (d), c'est luimême. → N (d) alors le symétrique de N par rapport à (d) est N' tel que (d) est la médiatrice du segment [N'N] Symétrique d'une droite: Propriété 4: Si deux droites sont para llèles // et si une troisième droite est p e r p e n d i c u l a i r e à l ' u n e , a l o r s e l l e e s t a u s s i p e r p e n d i c u la i r e à l'autre. (d3) Données: (d1) // (d2) (d3) (d1) C o n c lu s i o n : (d2) (d3) (d3) (d1) M (d2) (d1) (d2) Le symétrique d'une droite par rapport à une droite est une droite. La symét rie axiale conserve l'a lignement. ( Δ)et( Δ' )sontsymé t r i q u e s par rapport à (d). M, N et P sont alignés: leurs symétriques M', N' et P' sont aussi alignés. ( Δ) M N (d) P ( Δ' ) P' N' M' B Symétrique d'un segment: Le symét rique d'un segment par rapport à une droite est un segment de m ême longueur. La symétrie axiale conserve les longueu rs. Un segm ent admet deux axes de symétri e: - la médiatrice de ce segment - la droite qui porte ce segment. segm ent [ AB] médiatrice (d ) droite (AB) B (d) (d) [ AB] et [ A'B '] sont s ymét riques par rapport à (d) AB = A'B' A A B Propriétés: B' → Si un point à la médiatrice d'un segment, alors il est à égale distance des ext rémit és de ce segment. → Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il à la médiatrice de ce segment. A' Symétrie d'un polygone: La symétrie d'un polygone par rapport à une droite est un polygon e de mêmes mesures. La symétrie axiale conserve les angles et les aires. A (d) A (d) m édiat rice de [AB ] → SiP ( d ) , a l o r s P A = P B P → SiPA = PB,al or sP ( d ) B B' C D A' C' B D' Angles: Un angle est la part ie du plan délimit ée pa r d eux demi-droites d e m êm e Médiatrice d'un segment : La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perp endi culai rem ent en son milieu. (d) A O B o u B O A , O é t a n t l e s o m m e t d e l ' a n g l e , [ O A ) e t origine. On le note A [OB) étant les côtés. A A On symb olise par: angle O (d ) est la médiatrice d e [ AB] (d ) (AB ) et IA = IB O I B B Un angle s e mesure en degré. On not e ° (Ex: 97°) An gles et mesures: T riangl es: Un triangle est un polygone à 3 côtés. tri = 3 A nul aigu droit 0° entre 0 ° et 90 ° 90° obtus entre 90° et 180° plat AB C est un t riangle B 180° C Bissectrice d'un angle: La b i s s e c t r i c e d ' u n a n g l e e s t l a d r o i t e o u l a d e m i - d r o i t e q u i p a r t a g e c e t angle en deux angles adjacent s de mêm e m esu re. La b i s s e c t r i c e d ' u n a n g l e e s t u n a x e d e s y m é t r i e d e c e t a n g l e . Triangle isocèle: Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longu eur C O B [OC) bi ssect ri ce de A C A A C est le sommet principal O B . (OC ) est axe de symétrie de A [ AB] est la base O B O C = C O B A BCA est isocèle en C B C B = A B C De plus, les deux angles à la base ont la même mesure: A Polygone: Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des s egments. p o l y = p lu s i e u r s Un t riangle i socèle possède un axe de sym ét rie: la médi atrice d e sa base. A A Le p olygon e s e nom me AE DCB ou ABCDE [CB] est la base B A, B, C, D et E sont les sommets L ' a x e d e s y m é t r i e e s t la E C Symétrie: D A B bissectrice de l'angle principal C [ AB], [BC], [CD], [DE] et [E A] sont les côtés Il faut respecter l'ordre des points pour nommer un polygone. le symét ri que d'un polygon e par rapport à une droit e est un polygon e de mêmes mesures. C B (d) Quadrilatère: Triangle équilatéral: Un quadri latère est un polygon e à 4 côtés. Un triangle équilatéral est un triangle dont les 3 côtés sont de même longueu r. B C Respecter l'ord re des points pour nommer un quadri latère: AB = BC = CD A C AB CD ABDC D A Rectangle: B B C = A C B = B A C De plus, les trois angles ont la même mesure: A Un rect angle est un quadrilatère dont les 4 angles s ont droi ts. Les c ôtés oppos és s ont de même longueu r. Les diagonales se coupent en leur milieu. Les diagonales ont même longueur. Un triangle équilatéral possèd e trois axes de symétrie: les médiatrices de ses côtés. A B C = B C D = C D A = D A B = 9 0 ° A B AB = CD AD = BC C (d1) AO = OC = OD = OB (d2) (d1 ), (d2) et (d3) sont les médiatrices A D C AC = BD et les axes de symét ri e. B Un rect angle a deux axes de s ym étri es: les médiatri ces de s es côt és. A (d3) B Triangle rectangle: Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le côté oppos é à l'angle droit est app elé h ypoténuse. D C C Carré: A AB C est rectangle en C. [ AB] est l'h yp oténus e. B Un carré est un quadrilatère dont les 4 angles sont droits et les 4 côtés sont de même longu eur. Les diagonales se coupent en leur milieu. Les diagonales ont même longueur. Les diagonales sont perpendiculaires. Un losange a deux axes de symétrie: les diagonales. A B B C = B C D = C D A = D A B = 9 0 ° A A B AB = CD AD = BC O AO = OC = OD = OB D ² [ AC] [BD] AC = BD C Propriété: un carré est à la fois un rectangle et un losange. Un carré a 4 axes de symétrie: - les diagonales - les médi atrices de ses côtés. A D C A Le c e r f - v o l a n t : Un cerf -volant est un quadrilatèr e a yant deux pair es de côt és consécutifs de même longu eur et dont les di agonales se coupent à l'intérieur. Un cerf-volant a un axe de symétrie: la diagonale la p lus longue. B O D C Cercle: Lo s a n g e : U n l o s a n g e e s t u n q u a d r i la t è r e d o n t le s 4 c ô t é s s o n t d e m ê m e longueu r. Les diagonales se coupent en leur milieu. Les diagonales sont perpendiculaires Les angles opposés ont même mesure. Un cerc le (C) de centre O est formé de tous les points situés à la mêm e di stance du point O. C ette distance com mune est le ra yon du cerc le. A B A i D B C O O est le centre du cercle AB = BC = CD = DA A I = I C e t D I = IB [ AC] [BD] [OA] est un rayon [BC] est un diamètre [DE] est une cord e B C = A D C A DB est un arc de cercle A D = B C D B C D E Cube: Parallélépipède rectangle: Un cube est un solide dont les 6 faces sont des carrés. D U n p a r a l l é l é p i p è d e r e c t a n g le ( o u p a v é d r o i t ) e s t u n s o l i d e d o n t l e s 6 f a c e s sont des rectangles. C A H sommet largeu r l hauteur h D A H E G E C B B F face G Perspective cavalière: arête F La p e r s p e c t i v e c a v a l i è r e e s t u n e t e c h n i q u e d e d e s s i n q u i p e r m e t d e rep résenter un solide sur une feuille de papier. Elle permet de rep résenter dans le plan un objet de l'espace. Longueur L Un pat ron d'un solide est un des sin qui permet , après d écoupage et pliage, de fabriquer ce solide. Chaque face est en vraie grandeu r. Voir le parallélépipèd e rectangle et le cube: → l esdr oi t es/ /surl esol i der est ent/ /surl edessi n → deuxar êtes // et de même longueur sur le solide restent // et de même longueur su r le dessin. → l esar êtes cachées sont représentées en pointillés (-------) Quelques propriétés: Deu x faces opposées sont parallèles // Deux faces non opposées sont perpendicu laires Deux arêtes parallèles // ont la même longueur Deux arêtes issu es d'un même sommet sont perpendicu laires