Polynômes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

1
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Feuille d’exercices sur les POLYNÔMES
Divers
Exercice 1 (Un vrai-faux)
1. Soit P ∈ R[X]. Si deg P > 3, alors P admet au moins une racine réelle.
2. Soit P ∈ R[X]. On a deg P (X 2 ) = 2 deg P .
3. Soit P et Q dans R[X]. Si P et Q coïncident en une infinité de valeurs, alors P = Q.
4. Soit f et g des fonctions dérivables sur R. Si f et g coïncident en une infinité de valeurs alors f = g.
5. Si P = X 3 − (1 + 3i)X 2 + 2iX − 2 alors la somme des racines de P vaut 1 + 3i.
6. Soit P ∈ R[X]. Un réel a est racine double de P si et seulement si a est racine simple de P ′ .
Exercice 2 (Deux équations) Déterminer les polynômes P de K[X] tels que :
1. P (2X) = P
2. P (X 2 ) = (X 2 + 1)P
3. P − XP ′ = X
Exercice 3 (Deux équations, mais plus dur) Déterminer les polynômes P de K[X] tels que :
1. P (X + 1) = P (X) (polynômes 1-périodiques).
2. (X − 16)P (2X) = 16(X − 1)P
Exercice 4 Existe-t-il un polynôme P ∈ R[X] tel que (les questions sont indépendantes) :
1. ∀n ∈ N, P (n) = n2
3. ∀x ∈ R,
ex = P (x)
2. ∀n ∈ N, P (n) = n2 + (−1)n
√
4. ∀x ∈]0, 1[, P (x) = x.
Exercice 5
1. Résultat préliminaire : soit P ∈ Z[X], démontrer que pour tout entier x et y, x − y divise P (x) − P (y)
(interprétation graphique : le taux d’accroissement de P entre deux entiers est encore un entier).
2. Déterminer les polynômes à coefficients entiers tels qu’il existe des entiers relatifs deux à deux distincts
a, b, c, d vérfiant P (a) = P (b) = P (c) = 3 et P (d) = 4.
Exercice 6 (Une version «réelle» de D’Alembert Gauss) Soit P une fonction polynomiale sur R de degré impair.
1. Démontrer que P s’annule au moins une fois.
2. Le résultat reste-il vrai si le degré de P est pair ?
Divisibilité
Exercice 7 (Un autre vrai-faux)
1. Les diviseurs du polynôme X sont les polynômes λX avec λ ∈ K.
2. Soit A et B dans K[X] tels que A divise B et B divise A. A-t-on A = B ?
3. Soit A et B dans K[X] tels que A divise B. Alors deg A 6 deg B.
4. Un polynôme de K[X] qui admet une racine n’est pas irréductible.
5. Un polynôme de R[X] qui n’admet pas de racine dans R est irréductible.
6. Un polynôme de K[X] de degré 2 ou 3 qui n’admet pas de racine est irréductible.
2
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
7. Le polynôme X 2 − 2 est irréductible dans Q[X].
Exercice 8 (Polynômes inversibles ) Un polynôme A de K[X] est dit inversible s’il existe un polynôme
B ∈ K[X] tel que AB = 1.
1. Déterminer les polynômes inversibles de K[X].
2. Soit A et B deux polynômes de K[X] tels que A | B et B | A. Que dire de A et B ?
Exercice 9 Le reste de la division euclidienne de P par X 2 − 1 est X + 1. Quels sont les restes de la division
de P par : a) X − 1 b) X + 1 ?
Exercice 10 Trouver le reste de la division euclidienne de A par B
1. A = (X − 2)n + (X − 1)n − 2 et B = X 2 − 3X + 2 avec n > 1.
2. A = (X − 2)n + (X − 1)n − 2 et B = (X − 1)2 avec n > 2 (on pourra dériver et attention au cas n = 1).
Racines et factorisations
Exercice 11 Pour quelles valeurs de n, 1 + X + X 2 divise X 2n + X n + 1 ?
Exercice 12 Factoriser dans C puis dans R les polynômes suivants :
1. X 3 − 3X − 2
2. X 4 − 4
3. X 4 + X 2 + 1
4. X 7 − 2X 6 + X − 2
5. X 6 + 1
Exercice 13 Déterminer les entiers naturels n tels que n4 + 4 est un nombre premier.
Exercice 14 Soit n ∈ N∗ , factoriser le polynôme Pn = 1 +
X(X + 1)
X(X + 1) . . . (X + n − 1)
X
+
+ ··· +
.
1
2!
n!
Exercice 15 Soient θ ∈ R et n ∈ N∗ . Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans C[X], puis dans
R[X] le polynôme
P = X 2n − 2X n cos(nθ) + 1.
Exercice 16 (Une application des relations coefficients racines) Le but de l’exercice est de résoudre le
système suivant :

=1
 x+y+z
x2 + y 2 + z 2 = 9 .
(S)
 1+1+1
=1
x
y
z
Soit (x, y, z) une solution de (S). On pose P = (X − x)(X − y)(X − z) ∈ C[X].
1. Exprimer les quantités x2 +y 2 +z 2 et
associées aux racines de P .
1 1 1
+ + à l’aide de σ1 , σ2 , σ3 les fonctions symétriques élementaires
x y z
2. En déduire les valeurs de σ1 , σ2 , σ3 .
3. Conclure.
√
Exercice 17 Déterminer tous les polynômes de degré 5 de R[X] ayant dans C[X] une racine double 1 − i 2.
Exercice 18 Déterminer tous les polynômes P tels que :
P (2) = 6,
P ′ (2) = 1,
P ′′ (2) = 4 et
∀n > 3, P (n) (2) = 0.
Exercice 19 Soit n > 2 un entier. Déterminer les racines triples du polynôme
P = nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n.
Exercice 20 Soit n ∈ N. Démontrer que le polynôme Pn =
n
X
Xk
k=0
k!
n’admet pas de racines multiples dans C.
3
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Exercices plus longs
5
Exercice 21 (Valeur exacte de cos 2π
5 ) On considère le polynôme P = X − 1 de R[X].
4π
Le but de cet exercice 1 est de déterminer la valeur exacte du réel α = cos 2π
5 . On pose aussi β = cos 5 .
1. Décomposer dans R[X] le polynôme P .
2. Justifier que le polynôme X − 1 divise le polynôme X 5 − 1 et déterminer le quotient Q =
donnera l’expression développée du polynôme Q.
X5 − 1
. On
X −1
3. En déduire sans aucun calcul l’écriture factorisée de Q dans R[X].
4. Développer cette dernière expression, et en déduire la valeur des réels α + β et αβ.
5. En déduire la valeur exacte de α.
Exercice 22 Le but de l’exercice est de déterminer tous les polynômes P ∈ R[X] vérifiant
(X − 1)P = XP (X − 1).
Soit P une solution du problème.
1. Déterminer une racine évidente de P
2. Démontrer que si a ∈ C∗ est racine de P , alors a + 1 est encore racine. En déduire que P est scindé sur R.
3. Conclure
Exercice 23 (Polynôme interpolateur de Lagrange) Soit n ∈ N∗ et x0 < x1 < · · · < xn des réels. On
note Rn [X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Pour tout entier i de J0, nK, on définit le polynôme li par :
li (X) =
n
Y
X − xj
.
x − xj
j=0 i
j6=i
1. Un exemple : dans cette question uniquement, on prend n = 2.
(a) Écrire l0 , l1 et l2 , puis donner la valeur des réels
l0 (x0 ), l0 (x1 ), l0 (x2 )
l1 (x0 ), l1 (x1 ), l1 (x2 ) .
l2 (x0 ), l2 (x1 ), l2 (x2 )
(b) On considère le polynôme L = 5l0 − 2l1 + 7l2 . Que valent L(x0 ), L(x1 ) et L( x2 ) ?
2. Soit i et j dans J0, nK. Donner la valeur de li (xj ).
3. Soit y0 , y1 , . . . , yn des réels.
(a) Déterminer à l’aide des polynômes li un polynôme P de Rn [X] tel que :
√
∀i ∈ J0, nK, P (xi ) = yi .
2
1
π
1
π
=
et cos
=
. Par la formule de duplication cos θ = (1 + cos 2θ), on en déduit les valeurs
3
2
4
2
2
√
π
exactes de cos π6 , cos 12
. . . Peut-on calculer une valeur exacte de cos π5 ? Il semble que oui puisque Maple renvoie 5+1
. Cet exercice
4
2π
5
à l’aide d’une factorisation sur R du polynôme X − 1.
propose une méthode de calcul de cos
5
2π
Signalons enfin que la valeur exacte que l’on obtient pour cos
permet de construire à «la règle et au compas» un heptagone
5
régulier.
1. Nous savons que cos
4
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
(b) Démontrer l’unicité d’un tel polynôme. Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de Lagrange.
Exercice 24 (Oral ⋆) Soit P ∈ R[X] tel que P (Q) ⊂ Q. Démontrer que P ∈ Q[X], c’est-à-dire que P est à
coefficients rationnels (on pourra déterminer un polynôme L ∈ Q[X] tel que ∀i ∈ J0, nK, L(i) = P (i)).
Exercice 25 (Fonctions polynomiales injectives ou surjectives)
1. Démontrer que les fonctions polynomiales P : C → C surjectives sont les fonctions polynomiales non
constantes.
2. Soit P : C → C une fonction polynomiale injective.
(a) Que dire du nombre de racines de P ?
(b) Démontrer que pour tout n > 2 et a ∈ C, la fonction z 7→ (z − a)n n’est pas injective puis conclure.
Exercice 26 (Oral ⋆ Polynômes positifs) Soit P ∈ R[X] tel que ∀x ∈ R, P (x) > 0. Le but de l’exercice
est de démontrer qu’il existe des polynômes A et B de R[X] tels que P = A2 + B 2 .
1. Démontrer le résultat lorsque P est un polynôme irréductible sur R de degré 2.
2. Soit α une réelle de P de multiplicité r > 1. Justifier que l’on a P (x) ∼ K(x − α)r avec K ∈ R. En
x→α
déduire que r est pair.
3. Soit a, b, c, d des réels. Démontrer que (a2 + b2 )(c2 + d2 ) est encore une somme de deux carrés de réels.
4. Conclure.
Exercice 27 (Une factorisation délicate) Soit n ∈ N∗ , on pose P = (X + 1)n − (X − 1)n .
1. Déterminer le degré de P et préciser son coefficient dominant.
2. Justifier que la fonction cotan : x 7→
cos x
sin x
est injective sur ]0, π[.
3. Démontrer que les racines complexes de P sont les nombres
γk = −i cotan
kπ
n
,
k ∈ {1, . . . , n − 1}.
4. Représenter graphiquement ces racines, on distinguera les cas n pair et n impair.
5. En déduire avec soin une factorisation de P dans R[X].
6. On considère les deux fonctions symétriques élémentaires suivantes :
σ1 =
n−1
X
γk
et σ2 =
X
γp γq
16p<q6n−1
k=1
qui sont respectivement la somme des racines de P et la somme des produits de 2 racines distinctes de P
(sans répétition).
(a) À l’aide des relations coefficients/racines, donner la valeur de σ1 et σ2 .
(b) Déterminer une relation entre
n−1
X
γk2 et σ1 et σ2 .
k=1
(c) En déduire que
n−1
X
k=1
cotan
2
kπ
n
=
(n − 1)(n − 2)
.
3