NOMBRES PREMIERS I) Généralités. 1°) Définition. Un entier naturel est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs naturels. Autrement dit : s’il est divisible par 1 et lui-même. Exemples : Un nombre qui n’est pas premier est aussi appelé nombre composé. 0 admet une infinité de diviseurs et n’est donc pas premier. 1 admet un seul diviseur et n’est donc pas premier. 2 est le plus petit des nombres premiers. C’est le seul nombre premier pair. Liste des 10 premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. 2°) Propriétés fondamentale. Tout entier naturel autre que 1 admet au moins un diviseur premier. Preuve : On pose un entier naturel autre que 1. Si est premier, comme divise , la propriété est démontrée. Si n’est pas premier. Alors il admet au moins un diviseur strictement supérieur à 1. Notons le plus petit des diviseurs de distincts de 1. Alors est premier. En effet, s’il ne l’était pas, il existerait un diviseur de tel que 1 < < . Et serait un diviseur de différent de 1 et strictement inférieur à (qui est le plus petit d’entre eux), ce qui est impossible. La propriété est donc également démontrée. Conséquence : Tout entier naturel , autre que 0 et 1, et non premier admet au moins un diviseur premier que : 2≤ ≤√ . tel Preuve : On sait que admet un diviseur premier , son plus petit diviseur autre que 1. avec un entier naturel. On a donc = Ainsi est un diviseur de , on a donc ≤ ( est le plus petit des diviseurs de ). On a donc : ≤ ⇔ ≤ . D’où : 2 ≤ ≤ √ . Test de primalité : Si un entier naturel n’est divisible par aucun nombre premier dont le carré lui est inférieur ou égal, alors est premier. Exemple : 173 est premier. En effet : 173 = 2 × 86 + 1, donc 173 n’est pas divisible par 2 ; 173 = 2 × 57 + 2, donc 173 n’est pas divisible par 3 ; 173 = 5 × 34 + 3, donc 173 n’est pas divisible par 5 ; 173 = 7 × 24 + 5, donc 173 n’est pas divisible par 7 ; 173 = 11 × 15 + 8, donc 173 n’est pas divisible par 11 ; 173 = 13 × 13 + 4, donc 173 n’est pas divisible par 13. Ensuite 17 > 173, donc 173 est bien premier. On remarque que dans la liste des divisions euclidiennes successives le quotient devient supérieur ou égal au diviseur. Cela signifie que s’il existait un diviseur à 173 il aurait déjà été trouvé. 3°) Infinité de nombres premiers Il existe une infinité de nombres premiers. Preuve : Afin de prouver ce résultat il suffit de démontrer que pour tout nombre premier il existe un nombre premier plus grand que . On considère donc un nombre premier . On pose alors : + = 2 × 3 × 5 × … × + 1. 2 × 3 × 5 × … × est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à . Si + est premier, comme + > , on a trouvé un nombre premier strictement supérieur à . Si + n’est pas premier. Alors on sait qu’il admet au moins un diviseur premier . Or aucun nombre premier inférieur ou égal à ne divise +. En effet le reste de la division euclidienne de + par l’un quelconque des nombres : 2, 3, 5, …, est 1. On a donc trouvé est un nombre premier strictement supérieur à . II) Théorème de décomposition. Tout entier naturel strictement supérieur à 1 s’écrit de manière unique (à l’ordre près) sous la forme d’un produit de facteurs premiers. Preuve : Admis Exemple : Décomposition en facteurs premiers de 616. Disposition pratique : 616 2 Liste des 308 2 quotients 154 2 successifs. On obtient : 616 = 2- × 7 × 11. 77 7 Liste des diviseurs 11 11 premiers dans 1 l’ordre croissant. Remarques : On considère qu’un nombre premier est déjà écrit sous la forme d’un produit de facteurs de nombres premiers. Si . est un entier naturel supérieur ou égal à 2, . peut s’écrire sous la forme : . = / × × ⋯ × 1 , ou /, , …, 1 sont des nombres premiers. Certains de ces facteurs pouvant être égaux. Par « regroupement » on peut obtenir une écriture du type : . = / 23 × 24 × ⋯ × 5 26 , dans laquelle tous les /, , …, 5 sont des nombres premiers distincts deux à deux et 7/ , 7 , …, 75 sont des entiers naturels. Ecrire un entier . sous la forme . = / 23 × 24 × ⋯ × 5 26 , c’est effectuer la décomposition en facteurs premiers de .. III) Les diviseurs d’un entier naturel. Soient . et deux entiers strictement supérieur à 1. est un diviseur de . si, et seulement si tous les facteurs de la décomposition de de . avec des exposants au moins égaux. figurent dans celle Preuve : On note . = / 23 × 24 × ⋯ × 5 26 la décomposition en facteurs premiers de .. On considère un entier , tel que = / 83 × 84 × ⋯ × 5 86 , avec pour tout 9 : 0 ≤ :; ≤ 7; . 83 23 =83 On peut alors écrire : . = < / × / > × < 84 × 24 =84 > × ⋯ × < 5 86 × =? / 83 × 23 =83 84 × ⋯× 24 =84 5 86 @< / 23 =83 × 24 =84 26 =86 × ⋯× 5 26 =86 5 > 26 =86 > = < / × ×⋯× 5 >. 23 =83 × 24 =84 × ⋯ × 5 26 =86 est un Et comme toutes les puissances 7; − :; sont positives, / entier et donc . est divisible par . On considère maintenant un entier diviseur de .. Dans ce cas il existe un entier naturel ′ tel que . = ′. Le produit des décompositions en facteurs premiers de et de ′ est alors une décomposition en produit de facteurs premiers de .. Cette dernière étant unique, il s’agit donc de la décomposition en produit de facteurs premiers de .. Ainsi les seuls diviseurs premiers de sont les ; et ils ne peuvent intervenir qu’avec un exposant inférieur ou égal à 7; . Par conséquent ne peut être que de la forme : = / 83 × 84 × ⋯ × 5 86 avec 0 ≤ :; ≤ 7; . Application : Comment déterminer la liste des diviseurs d’un entier naturel . ? Si la décomposition en facteurs premiers de . est . = / 23 × 24 × ⋯ × On considère alors les listes : 1, /, / , … / 23 ; , … 24 ; 1, , . . . . . . . . . 5 26 . . . . 1, 5 , 5 , … 5 26 . puis on multiplie tous les nombres de la première liste, par tous ceux de la deuxième liste, ensuite on multiplie tous les nombres de la nouvelle liste obtenue par ceux de la troisième liste, ainsi de suite … Conséquence : Si la décomposition en produit de facteurs premiers de . est : . = / 23 × le nombre de diviseurs de . est : C7/ + 1D × C7 + 1D × ⋯ × C75 + 1D. 24 × ⋯× 5 26 alors