Chapitre Nombres entiers et rationnels 3 ème ➢ Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire. ➢ Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. ➢ Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Chapitre Nombres entiers et rationnels 3 ème 1) Diviseurs communs et P.G.C.D a) Définition Un diviseur commun à deux nombres entiers naturels (c'est-à-dire positifs ou nuls) est un nombre entier qui divise chacun de ces deux nombres. Exemples: 3 est un diviseur commun à 27 et 45. Les diviseurs de 27 sont: 1, 3, 9 et 27. Les diviseurs de 45 sont: 1, 3, 5, 9, 15 et 45. Les diviseurs communs à 27 et 45 sont: 1, 3 et 9. 9 est le plus grand diviseur commun à 27 et à 45. Le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres est appelé le « P.G.C.D » de ces nombres . Pour calculer le P.G.C.D de deux entiers naturels, on peut utiliser un algorithme. Remarque: « Algorithme » signifie « procédé de calcul », ce mot vient du nom du mathématicien arabe Al-Khwarizmi (780-850 après J.-C.). b) Algorithme d'Euclide Méthode de calcul permettant de trouver le Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers naturels. Exemple 1: Calculer le P.G.C.D de 2002 et 420. On effectue des divisions euclidiennes successives. 2002= 4 ×420 322 (le P.G.C.D de 2002 et 420 divise également le reste 322) 420= 1× 322 98 (le P.G.C.D de 420 et 322 divise également le reste 98) 322= 3 ×98 28 (le P.G.C.D de 322 et 98 divise également le reste 28) 98= 3 × 28[14] (le P.G.C.D de 98 et 14 divise également le reste 14) 28= 2 ×14 0 (le P.G.C.D de 2002 et 420 est donc le dernier reste non nul qui est 14) On note P.G.C.D (2002 ; 420)=14. Vérification: 2002 420 = 143 et = 30 . 14 14 Exemple 2: Calculer le P.G.C.D de 1 573 et 11 022. On effectue des divisions euclidiennes successives. 11 022= 7 ×1 573 11 (le P.G.C.D de 11 022 et 1 573 divise également le reste 11) 1 573= 143×11 0 (le P.G.C.D de 11 022 et 1 573 est donc le dernier reste non nul qui est 11) On note P.G.C.D (11 022 ; 1 573)=11. Vérification: 11 022= 11×1 002 et 1 573 =11 ×143 . Remarque: On utilise l'algorithme d'Euclide surtout pour déterminer le P.G.C.D de grands nombres. 2) Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles: a) Définition On dit que deux entiers naturels sont « premiers entre eux » lorsque leur seul diviseur commun est 1. Exemple: Les diviseurs de 12 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les diviseurs de 25 sont: 1, 5 et 25. Le seul diviseur commun à 12 et à 25 est 1. Les nombres 12 et 25 sont donc premiers entre eux. Remarque: Deux entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur P.G.C.D est égal à 1. b) Définition On dit qu'une fraction est « irréductible » lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemples: Les nombres 12 et 25 sont premiers entre eux donc La fraction 221 294 12 25 est irréductible. est-elle irréductible? On cherche le P.G.C.D(294 ; 221): 294= 1× 221 73 221= 3 ×73 2 73 = 36 × 2 1 2= 2 ×1 0 Le P.G.C.D de 294 et 221 est donc le dernier reste non nul qui est 1. Le seul diviseur commun à 221 et à 294 est 1 donc La fraction Peut-on réduire la fraction 85 221 221 294 ? On cherche le P.G.C.D de 221 et 85: 221= 2 ×85 51 85 = 1× 51 34 51 =1 × 34 17 34 =2 ×17 0 P.G.C.D (221 ; 85)=17. On a 85 85 : 17 5 = = 221 221 : 17 13 et on obtient une fraction irréductible. est irréductible. 3) Nombres entiers, nombres rationnels: Définition Un nombre « rationnel » est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers relatifs. Exemples: Les nombres décimaux sont des nombres rationnels. Les nombres 0 ; en effet 0= −3 0 2 ; ; 7 11 −2 3 −3 −3 = 1 ; et 3,2 sont des nombres rationnels, 3,2= ; 32 . 10 2 ne sont pas des nombres rationnels, Les nombres et on dit que ces nombres sont « irrationnels ». Remarque:(pour votre culture générale) Les démonstrations permettant de prouver qu'un nombre est irrationnel sont souvent subtiles. Par exemple, pour prouver que « Supposons que 2 n'est pas un nombre rationnel: 2 est un nombre rationnel »: (on veut prouver que cette proposition est fausse) Il existerait, dans ce cas, une fraction irréductible telle que: 2= ab avec a et b On aurait alors Le nombre a 2 entiers. 22 = 2 a b donc a2 = 2 et finalement a2 = 2× b 2 . 2 b serait pair. a serait également pair puisque seul un entier pair peut avoir un carré pair. On pourrait écrire a = 2× k avec k entier . 2 2 En reportant cette valeur dans l'égalité a = 2× b , on obtiendrait: 2 × k 2 = 2× b 2 soit 4 × k 2 =2 × b2 d'où en divisant par 2 les deux membres de cette égalité, 2× k 2 = b2 . Le nombre b2 serait lui aussi pair. Par le même raisonnement, on en déduirait que b serait pair. a Or, si a et b étaient tous les deux pairs, la fraction pourrait être simplifiée en divisant par 2 son b L'entier numérateur et son dénominateur , cette fraction ne serait donc pas irréductible. On a donc une contradiction !C'est donc que la supposition de départ est fausse, nombre rationnel, c'est un nombre « irrationnel ». 2 n'est pas un Cette démonstration de l'irrationalité de 2 dite « par le pair et l'impair » date d'Aristote (384-322 avant J.-C.) et a été reprise par Euclide (vers 300 avant J.-C.). Remarques: La démonstration ci-dessus est une démonstration par contradiction (on dit aussi « par l 'absurde »), ce type de preuve est souvent utilisée en mathématique. Vous verrez d'autres propriétés des nombres irrationnels au lycée...