Rotation autour d`un axe mobile : théor`emes généraux
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Chapitre 7 Rotation autour d’un axe mobile : théorèmes généraux Pour étudier le mouvement général d’un solide, on le décompose en un déplacement de son centre de masse et une rotation du solide sur lui même, étudiée dans le référentiel barycentrique. C’est donc une combinaison d’une translation et d’une rotation, comme pour les référentiels en mouvement. Il suffit de penser à une roue qui roule ou à un boomeran. . . L’étude de ces mouvements repose sur l’utilisation de grandeurs les grandeurs cinétiques, à savoir, la quantité de mouvement, le moment cinétique et l’énergie qu’il va falloir décomposer de la même façon. Puis, nous allons voir ce que deviennent alors les théorèmes généraux de la mécanique pour un mouvement quelconque, en essayant de tirer profit de ce que nous avons appris en mécanique du point et dans les chapitres précédents. 7.1 Cinématique : champ de vitesse d’un solide en mouvement Le mouvement d’un solide peut être décomposé en une translation de son centre de masse, caractérisée par ~vG et d’une rotation du solide dans le référentiel barycentrique caractérisée par ! ~ . Chacun de ces deux vecteurs ont, a priori, trois coordonnées indépendantes : trois coordonnées de translation suivant Ox, Oy et Oz, ainsi que trois angles de rotation autour de ces mêmes axes. Pour les exemples d’application, nous nous limiterons à des mouvements plus simples. La vitesse d’un point A quelconque du solide s’écrit donc, ⇤ ~vA = ~vG + ~vA , (7.1) ⇤ en utilisant les lois de composition des vitesses. Ici ~vA est la vitesse relative de A dans le référentiel du centre de masse. Ce mouvement étant une rotation de vitesse angulaire ! ~ , on a finalement ! ~vA = ~vG + ! ~ ^ GA, (7.2) On peut écrire la même relation pour un point B quelconque et soustraire, pour obtenir une relation plus générale ne faisant pas intervenir le centre de masse, ! ~vB = ~vA + ! ~ ^ AB. (7.3) Grâce à cette relation, appelée formule de Varignon (Caen 1654 - 1722), en connaissant la vitesse d’un point particulier du solide et ! ~ , on peut déterminer facilement la vitesse de n’importe quel autre point. Le centre de masse ne joue pas un rôle privilégié en cinématique. Un champ de vitesses ayant de telles propriétés est appelé torseur. Nous n’étudierons pas les propriétés mathématiques des torseurs. Finalement, la description du déplacement d’un solide nécessite, a priori, de connaı̂tre 6 degrés de liberté (3 de translation pour ~vA et 3 de rotation pour ! ~ ) et pas plus, car les solides étudiés sont considérés comme indéformables. 66 CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : THÉORÈMES GÉNÉRAUX 7.2 67 Théorèmes de König Nous allons maintenant calculer les grandeurs cinétiques en séparant le mouvement de translation du centre de masse, du mouvement de rotation dans le référentiel du centre de masse. Ce référentiel relatif est en translation par rapport au référentiel d’étude, supposé galiléen. Son origine, le centre de masse G, n’a pas forcément un mouvement rectiligne uniforme. Il n’y a donc aucune raison pour que le référentiel barycentrique soit aussi galiléen. 7.2.1 Quantité de mouvement Nous l’avons déjà vu, la quantité de mouvement totale se réduit à p~ = m~vG . (7.4) Elle ne prend donc pas en compte la rotation du solide sur lui-même. Elle n’est sensible qu’au déplacement du centre de masse. 7.2.2 Moment cinétique Pour le moment cinétique, on repart de sa définition, ZZZ ! ~o = OM ^ ~v (M ) dm (7.5) S puis, on sépare le mouvement du centre de masse du mouvement dans le référentiel du centre de masse, ZZZ ZZZ ! ! ~o = OG ^ ~v (M ) dm + GM ^ ~v (M ) dm (7.6) S ✓Z Z Z ◆ ZSZ Z ! ! = OG ^ ~v (M ) dm + GM ^ ~v (M ) dm S S ZZZ ! ! = OG ^ m~vG + GM ^ ~v (M ) dm. (7.7) S Le premier terme correspond au moment cinétique du centre de masse par rapport à O. Quant au deuxième terme, il fait apparaı̂tre le moment par rapport à G de la vitesse absolue, ce qui n’a pas de sens. Nous allons faire apparaı̂tre la vitesse relative par rapport au référentiel barycentrique, ~v ⇤ (M ), ~v (M ) = ~vG + ~v ⇤ (M ), (7.8) ce qui donne, ~o ZZZ = ! OG ^ m~vG + = ! OG ^ m~vG + ( = Z Z ZS ! ⇤ OG ^ m~vG + ~ G , avec ⇤ ~G = ! GM ^ ~vG dm + S ZZZ ZZZ S ! ⇤ GM dm) ^ ~vG + ~ G ! GM ^ ~v ⇤ (M ) dm (7.9) (7.10) S ! GM ^ ~v ⇤ (M ) dm. (7.11) Le premier terme correspond au moment cinétique du centre de masse dans le référentiel absolu, alors que le deuxième correspond au moment cinétique relatif dans le référentiel barycentrique. Nous venons de démontrer que ces deux moments cinétiques s’ajoutent simplement pour obtenir le moment cinétique global. Il s’agit du premier théorème de König (souvent noté Koenig dans les livres de physique), qui est très important car il permet de découpler les mouvements relatifs et d’entraı̂nement. Si l’on applique ce résultat au mouvement de la Terre, on trouve que le moment cinétique associé à la rotation du centre de la Terre autour du Soleil et le moment cinétique associé à la rotation de la Terre sur elle-même s’ajoutent simplement. CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : THÉORÈMES GÉNÉRAUX 7.2.3 68 Energie cinétique Le deuxième théorème de König concerne l’énergie cinétique avec laquelle on a le même découplage, ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ 1 1 1 2 2 ⇤2 Ec = v (M ) dm = vG (M ) dm + v (M ) dm + ~vG .~v ⇤ (M ) dm (7.12) 2 2 2 S S S S 1 = mv 2 + Ec⇤ , (7.13) 2 G avec Ec⇤ = 1 2 ZZZ v ⇤2 (M ) dm. (7.14) S Le dernier terme de l’équation (7.12) est nul car, par définition du centre de masse, une généralisation de ce qui a été vu pour le système à deux corps. 7.2.4 RRR S ~v ⇤ (M ) dm = ~0. On a là Conclusion En conclusion, le mouvement d’un solide peut être décomposé en une translation de son centre de masse et une rotation sur lui-même dans le référentiel barycentrique et les trois grandeurs cinétiques usuelles de la mécanique peuvent être alors calculées plus simplement, p~ = m~vG ~o = ! ⇤ OG ^ m~vG + ~ G Ec = 1 2 2 mvG + Ec⇤ ⇤ avec ~ G = avec Ec⇤ = 1 2 RRR S RRR S ! GM ^ ~v ⇤ (M ) dm (7.15) v ⇤2 (M ) dm. Cette simple addition des contributions du mouvement de translation et de rotation relatif n’est possible que parce que nous avons choisi le centre de masse qui a des propriétés particulières. La grande nouveauté par rapport à la mécanique du point est le mouvement de rotation dans le référentiel barycentrique, auquel on pourra souvent appliquer ce que nous avons appris en étudiant un solide tournant autour d’un axe. Mais l’étude d’un mouvement quelconque peut être complexe car l’axe de rotation dans le référentiel barycentrique n’est pas forcément fixe. C’est le cas de la toupie pirouette ou de la Terre. Nous y reviendrons. A partir de ces relations simples, nous allons essayer de simplifier aussi les théorèmes généraux de la mécanique. 7.3 7.3.1 Théorèmes généraux de la mécanique du solide Rappels Nous avons vu dans les chapitres précédents que d~ pG dt d~ o dt = = X X F~ext , (7.16) ~ ~ M Fext /O , (7.17) où G est le centre de masse du système et O un point fixe dans un référentiel galiléen. La première équation donne accès à la position du centre de masse du solide et la deuxième, à la rotation du système sur lui-même. Dans un chapitre précédent, où nous avons étudé le mouvement autour d’un axe fixe, il suffisait de prendre O sur l’axe de rotation. De même quand le solide tournait autour d’un point fixe. Mais pour un mouvement quelconque, un point fixe O, loin du solide, n’est pas très pratique et il vaudrait mieux connaı̂tre le moment cinétique dans le référentiel barycentrique. C’est ce que nous allons faire. CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : THÉORÈMES GÉNÉRAUX 7.3.2 69 Théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique Le théorème du moment cinétique s’écrit explicitement, X ! d~ o = OAi ^ F~i , dt i (7.18) où Ai est le point d’application de la force F~i . Nous allons calculer le terme du gauche en utilisant le théorème de König, ! ⇤ ~ o = OG ^ m~vG + ~ G . En dérivant cette relation, on obtient, ! ! ! X~ d~ o dOG d~vG d~ ⇤ d~ ⇤ =m ^ ~vG + OG ^ m + G = OG ^ Fext + G . dt dt dt dt dt Le terme de droite du théorème du moment cinétique donne, X ! X ! ! X~ OAi ^ F~i = OG ^ Fext + GAi ^ F~i . i (7.19) (7.20) (7.21) i En comparant les relations (7.20) et (7.21), on a immédiatement ⇤ X X ! d~ G ~ ~ = M GAi ^ F~i . Fext /G = dt i (7.22) Le théorème du moment cinétique est donc applicable dans le référentiel barycentrique en prenant le centre de masse comme point de référence, que ce référentiel soit galiléen ou pas. Il s’agit d’un résultat important qui vient compléter le théorème de la résultante cinétique, équation (7.17), appliquée au centre de masse. La résultante des forces déplace donc le centre de masse et la résultante de leur moment fait tourner le solide sur lui-même. 7.3.3 Théorème de l’énergie cinétique On peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique car il découle directement de la relation fondamentale de la dynamique. Seules les forces extérieures sont à prendre en compte, car, pour un solide indéformable, les forces intérieures ne travaillent pas. Il faut cependant veiller, pour chacune de ces forces, à bien prendre en compte le déplacement de leur point d’application. Ainsi, pour un solide quelconque en déplacement, on a X dEc = F~i .~v (Ai )dt, (7.23) i où Ai est le point d’application de la force F~i . Dans le cas de forces s’appliquant à tout le volume du solide, comme la pesanteur, il faut remplacer cette somme par une intégrale. On peut aussi écrire cette relation sous une forme intégrée par rapport au temps pour obtenir Ec . Pour utiliser cette relation, il faut déterminer la vitesse de chacun des points d’application d’une force Ai , ce qui n’est pas toujours très simple. En se rappelant de la formule de Varignon, équation (7.3), chacune de ces vitesses peut être exprimée en fonction des autres. Il suffit alors de choisir un point particulier A, a priori commode, pour avoir, X X X ! ! dEc = F~i .(~v (A) + ! ~ ^ AAi ) dt = ( F~i ).~v (A) dt + ( AAi ^ F~i ).~ ! dt, (7.24) i i i en utilisant les propriétés de permutation du produit mixte. Cette expression, qui ne fait intervenir que la résultante des forces et des moments, a le mérite d’être beaucoup plus simple. Elle fait aussi apparaı̂tre ce que l’on pourrait appeler un travail de translation et un travail de rotation. Comme en mécanique du point, dans le cas de forces conservatives, on peut introduire une énergie potentielle et une énergie mécanique. Dans le cas de la pesanteur, l’énergie potentielle vaut Ep = mgzG où Oz est un axe vertical orienté vers le haut. CHAPITRE 7. ROTATION AUTOUR D’UN AXE MOBILE : THÉORÈMES GÉNÉRAUX 7.3.4 70 Applications Nous allons donc appliquer ces théorèmes généraux à des cas où l’axe de rotation se déplace. Là encore, par souci de simplicité, nous ne considèrerons qu’un cas : celui d’un axe en translation simple dans le chapitre suivant. 7.4 English vocabulary and summary 7.4.1 English vocabulary Composition des vitesses d’un solide Formule de Varignon 7.4.2 Velocity composition in a solid Varignon’s formula Summary For arbitrary motion of a rigid body, divide the motion into a linear motion of the centre of mass, plus rotation about the centre of mass. Then : X F = maCM (7.25) X ⌧CM = ICM ↵ (7.26) K = Ktrans + Krot = 1 1 mv 2 + ICM ! 2 . 2 CM 2 (7.27)
