Cycle Ingénieur 1A – janvier 2012 Examen d'optique instrumentale _____________________ durée 3h formulaire A4 recto-verso manuscrit et calculatrice autorisés les exo-terres sont-elles bleues comme des oranges ? La recherche de planètes type Terre situées hors du système solaire (exo-planètes) est un domaine de l'astrophysique très actif. En particulier le développement de systèmes optiques efficaces est un challenge technologique auquel les grandes agences spatiales à travers le monde s'attellent. Le satellite européen COROT et plus récemment le satellite américain KEPLER sont des missions en cours de fonctionnement et donnent déjà des résultats probants concernant cette recherche. Le 5 décembre dernier KEPLER a détecté une planète ayant de fortes probabilités d'avoir les conditions nécessaires au développement de la vie telle qu'on la connait sur notre Terre. Pour accélérer cette quête et identifier d'autres candidates, des solutions de plus grande envergure sont en phase d'étude. Le problème se propose d'étudier cette problématique et un système optique équivalent à celui développé pour le satellite COROT. A. Préambule à la problématique (environ 5 points) L'étoile "Proxima Centuri" est l'étoile la plus proche de notre système solaire. Elle est située à 4,22 années lumière soit 4.1016 m. Son diamètre est estimé à 2.108 m. 1. Déterminer sous quel diamètre angulaire on voit cette étoile à l'oeil nu de la Terre. Vous donnerez le résultat en radians et en arc-secondes. Pour observer cette étoile, on souhaite utiliser un télescope de focale f' couplé à un capteur matriciel de taille 5000 pixels par 5000 pixels (un pixel = 10 µm) 2. On souhaite dans un premier temps obtenir une image de l'étoile de diamètre égal au côté du capteur. Quelle focale faut-il avoir pour notre télescope ? 3. Que devient la focale du télescope si l'image de l'étoile est égale à un seul pixel ? 4. Dans ce dernier cas, déterminer le diamètre de la pupille d'entrée du télescope pour que la résolution du système optique ne soit pas dégradée par la diffraction. La longueur d'onde est 500 nm. Déterminer le nombre d'ouverture N de ce télescope. 1 Le flux total émis dans tout l'espace par cette étoile est de l'ordre de 1027 W. L'étoile est considérée comme ponctuelle. 5. Calculer le flux reçu sur le capteur CCD dans le cas d'un télescope ayant la focale déterminée à la question 3 et une ouverture déterminée à la question 4. Cette petite étude montre qu'il est extrêmement difficile de faire de l'imagerie directe des étoiles et donc encore plus des planètes gravitant autour. Des projets futurs s'orientant sur cette voie seront basés sur des interféromètres géants dans l'espace (projet DARWIN de l'agence spatiale européenne). B. Le télescope COROT revisité (environ 15 points) Au lieu de chercher à résoudre directement l'exo-planète, les astronomes essaient de mesurer les effets qu'elle induit sur son étoile, en particulier les variations de flux reçu sur Terre par cette dernière. C'est la méthode du transit. Le passage répété d’une planète devant son étoile provoque une diminution périodique de la luminosité de l’étoile. Les satellites COROT et KEPLER fonctionnent dans ce mode de transit photométrique. Lorsqu'une planète passe devant son étoile, la variation relative de flux ΔF / F engendrée est simplement reliée au rapport des deux surfaces. Pour une planète de type Terre et une étoile de type Soleil, on trouve que ΔF / F = 10 −6 . Il est donc nécessaire d'éviter tout flux parasite provenant essentiellement de la Terre. Un baffle €extrêmement performant doit donc être positionné à l'entrée du système d'imagerie. Les contraintes sont de l'ordre d’un photon parasite pour 1012 photons utiles. € Nous vous proposons d'étudier un système optique dont l'architecture est équivalente à celle développée pour le satellite COROT. Elle présente deux parties. La première partie est un système afocal dioptrique. La seconde partie est un télescope à miroirs de type Cassegrain permettant d'imager le ciel sur le capteur CCD. La figure ci-dessous donne un aperçu du système total (échelle non respectée). 2 Les données connues des différents éléments sont les suivantes : Lentille L1 focale 50 mm Lentille L2 focale 25 mm Pupille du système diamètre 100 mm Miroir concave M1 rayon de courbure 100 mm Miroir convexe M2 rayon de courbure 40 mm Distance M2-M1 +35 mm Capteur 26 mm par 26 mm (pixel de 13 microns de côté) 1. Quelle doit être la distance entre les 2 lentilles pour obtenir un système afocal ? Donner le grossissement G AFOCAL et le grandissement transversal de ce système. Le grandissement dépend-il de la conjugaison ? 2. Déterminer la focale du télescope Cassegrain fCASSEGRAIN constitué des deux miroirs M1 € et M2. A quelle distance du miroir M2 se situe le capteur ? 3. Montrer que la focale fTOTALE de tout le système (L1+L2+M1+M2) s'écrit en fonction € du grossissement G AFOCAL de la partie afocale (L1+L2) et de la focale fCASSEGRAIN du télescope Cassegrain (M1+M2). € 4. Quelle est la taille de l'image d'un objet vu sous un angle de 1 seconde d'arc ? € € La pupille du système total est un diaphragme circulaire situé dans le plan focal image de la lentille L2. 5. Déterminer la position et la taille de la pupille d'entrée. En déduire le nombre d'ouverture du système. 6. Déterminer la résolution objet du système complet pour une longueur d'onde de 500 nm. 7. On positionne la pupille du système au centre de courbure du miroir M1. Déterminer la position et la taille de la pupille de sortie du système. 8. Sur la feuille quadrillée fournie (le foyer objet F1 de L1 et le plan de L1 sont positionnés), réaliser un schéma à l'échelle ×1 en longitudinal et ×1/2 en transversal, et positionner l'ensemble des éléments (lentilles, diaphragme, miroirs, foyers et centre de courbure). Tracer deux rayons traversant l'instrument dans sa totalité et s'appuyant sur les bords de la pupille d'entrée. 3 On souhaite que le diamètre du champ de pleine lumière image soit égal à 26 mm. 9. Déterminer les valeurs numériques du champ de pleine lumière dans tous les autres espaces. 10. Sur votre schéma, tracer deux rayons pertinents qui s'appuient sur le bord du champ de pleine lumière image et qui traversent tout l’instrument. 11. Déterminer analytiquement les diamètres des lentilles L1 et L2 du système afocal pour observer le champ de pleine lumière déterminé ci-dessus. 12. Déterminer analytiquement ou graphiquement les diamètres du miroir M1, du trou percé en son centre et du miroir M2 pour observer le champ de pleine lumière déterminé ci-dessus. En déduire le taux d'obturation du télescope. 13. Quel doit être le diamètre d'un diaphragme circulaire, positionné dans le plan focal image de L1, pour éliminer le champ de contour ? 14. Calculer le flux reçu par un pixel du capteur pour une étoile émettant dans tout l'espace 1027 W. 15. Exprimer le flux reçu sur un pixel pour un objet étendu supposé à l'infini de luminance L = 1nW / m2 /sr € 4